SoaL UAS-1 Kalkulus ITB 2007/2008

Last edited by mhar_teens on Sat Jan 05, 2008 7:33 am; edited 1 time in total

soal UAS 1 Kalkulus ITB 2007

1
Gunakan konsep diferensial untuk mengaproksimasi nilai $e^{-0,1}$

2
Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva $x\ln{y}+3^xy-1=0$ di titik dengan absis $0$

3
diberikan fungsi $f(x)=\frac{1}{k}\tan^{-1}(x)+\tan^{-1}(kx)$ dengan $k$ konstanta, Tentukan nilai $k$ jika $f'(0)=2$

4
diketahui fungsi $f(x)=\int{\sqrt[3]{t(1+t^2)}dt$
Tentukan interval terbesar $I$ yang memuat titik $-1$ sehingga $f$ mempunyai invers!

Posted: Sat Jan 05, 2008 7:13 am Post subject: lanjutan...

5
Diberikan sebuah segitiga siku2 $KLM$ yang panjang sisi-sisinya $3,4,5$ cm. Di dalam segitiga tersebut dibuat persegi panjang $ABCD$ dengan sebuah sisinya (yakni $AB$ ) berada pada sisi $KLM$ yang $5$ cm (sorry aku gak sempat buat gambarnya. Misalkan $AB=x$
a. Tunjukkan bahwa luas persegi panjang tersebut $L=\frac{12}{5}x-\frac{12}{25}x^2$
b. Tentukan nilai $x$ agar luas persegi panjang tersebut maksimal.

6
diberikan sebuah daerah tertutup yg dibatasi oleh grafik $y=\sqrt{x}$ , sumbu $x$ , dan garis lurus yang melalui titik $(4,2)$ dan $(6,0)$ . tentukan volume yang terbentuk bila daerah yang dimaksud diputar terhadap garis $x=-1$ !

7
Hukum perbandingan Newton menyatakan "laju perubahan temperatur sebuah objek berbanding lurus terhadap perbedaan antara temperatur objek tersebut dengan temperatur lingkungannya". Sepotong besi yang temperaturnya $Q(0)=100^oC$ diletakkan pada sebuah ruangan yang temperaturnya konstan $P$ (keberadaan besi tidak mengubah temperatur ruangan). Sesudah $5$ menit, $Q(5)=40^oC$ dan sesudah $10$ menit $Q(10)=16^oC$ . Tentukan temperatur ruangan tersebut...

thanks for the attention.. Embarassed

Game Trophies

Jawaban soal nomor 2,
saat $x=0$ , $y=1$ , sehingga tarik $\frac {d...}{dx}$ untuk memperoleh :
$x.\frac {1}{y}.y' + ln y + y'.3^x + y.3^x.ln 3 = 0$
$y'.1 + ln 3 = 0$
$y' = -ln 3$
$y = -ln 3 x + 1$
Dari properti bahwa garis tersebut melalui $(0,1)$

Game Trophies

Akan dihitung $\frac {d(arctan (kx))}{dx}$
$y = arctan kx$
$tan y = kx$
$y'.sec^2y = k$
$y' = \frac {k}{1+(kx)^2}$
Maka dari situ $g(x) = \frac {d(f(x))}{dx} = \frac {1}{k}.\frac {1}{1+x^2} + \frac {k}{1+(kx)^2}$
Dari situ : $g(0) = \frac {1}{k} + k = 2$
$1 + k^2 = 2k$
$k^2 - 2k + 1 = 0$
$(k-1)^2 = 0$
$k=1$

Game Trophies

$L' = 2,4 - 0,96x = 0$
$x = 2,5 cm$

Game Trophies

Hintnya adalah sebagai berikut :
$Q(t)$ memenuhi persamaan sebagai berikut :
$Q(t) = aQ'(t) + c$
Maka untuk setiap $x_0$ dan $x_1$ berlaku bahwa :
$Q(x_0) = aQ'(x_0) + c$
$Q(x_1) = aQ'(x_1) + c$
Nah sekarang untuk $x_0$ mendekati $x_1$ kita punya bahwa :
$Q(x_0) - Q(x_1) = a(Q'(x_0) - Q(x_1))$
Akibatnya
$\frac {Q(x_0) - Q(x_1)}{x_0-x_1}={a(Q'(x_0) - Q(x_1))}{x_0-x_1}$
$Q'(x) = aQ''(x)$
$ln Q'(x) = ax + b$
$Q'(x) = {e}^{ax + b}$
$Q(x) = \frac {1}{a}.{e}^{ax+b} + c$
Dari sini kita akan mencari nilai $c$ .

Game Trophies

OK, jawaban nomor 4 adalah $(-\infinity,0]$
Perhatikan bahwa suatu fungsi mempunyai invers jikalau untuk setiap $x$ di $[a,b]$ , $f'(x) >0$ atau untuk setiap $x$ di $[a,b]$ , $f'(x) <0$
Perhatikan bahwa $f'(t) = {(t(1+t^2))}^{\frac {1}{3}}$
Dan jika :
${(t(1+t^2))}^{\frac {1}{3}} < 0$ , maka :
${(t(1+t^2))} < 0$
Karena $1+t^2>1+0>0$ , jadi :
$t<0$ dan $-1$ berada di interval $t<0$ tersebut

untuk $x \rightarrow 0$ , $e^x \approx 1+x \Rightarrow e^{-0,1}\approx 1- 0,1 \approx 0,9$
$y=-x\ln{3}+1$
$k=1$
$f'_{(t)}=\sqrt[3]{t\left(1+t^2\right)}$
kalau fungsi punya invers -> fungsi gak pernah berganti tanda:
$f'_{(t)}\le 0$ atau $f'_{(t)}\ge 0$ sehingga $t\le 0$ atau $t\ge 0$ , yang ada t=-1, berarti: $x\le 0$
$CD = \frac{12}{5} \left(1-\frac{x}{5}\right)$ trus bisa ditrusin sndiri...
diputar berapa radian? nih klo $2\pi$ : garisnya: $y+x=6$
,trus: $dV = \pi \Delta (r^2) . dy = \pi \left[\left(1 + (6-y)\right)^2 - \left(1 + y^2\right)^2 \right]dy$
$V= \pi \int_0^2{\left[\left(7-y\right)^2 - \left(1 + y^2\right)^2 \right]}dy$
$= \left[ 3y^2-\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4 \right]_0^2 = \frac{944\pi}{5}$
$\frac{dQ}{dt}=k(P-Q) \Rightarrow Q=P+\left(Q_{(0)}-P\right) e^{-kt}$
,masukin yang diketahui2, jadinya: $P=\frac{Q_{(0)}Q_{(10)}-Q^2_{(5)}}{Q_{(0)}+Q_{(10)}-2Q_{(5)}}=0^o C$

ABC wrote (View Post): ›

untuk $x \rightarrow 0$ , $e^x \approx 1+x \Rightarrow e^{-0,1}\approx 1- 0,1 \approx 0,9$
$y=-x\ln{3}+1$
$k=1$
$f'_{(t)}=\sqrt[3]{t\left(1+t^2\right)}$
kalau fungsi punya invers -> fungsi gak pernah berganti tanda:
$f'_{(t)}\le 0$ atau $f'_{(t)}\ge 0$ sehingga $t\le 0$ atau $t\ge 0$ , yang ada t=-1, berarti: $x\le 0$
$CD = \frac{12}{5} \left(1-\frac{x}{5}\right)$ trus bisa ditrusin sndiri...
diputar berapa radian? nih klo $2\pi$ : garisnya: $y+x=6$
,trus: $dV = \pi \Delta (r^2) . dy = \pi \left[\left(1 + (6-y)\right)^2 - \left(1 + y^2\right)^2 \right]dy$
$V= \pi \int_0^2{\left[\left(7-y\right)^2 - \left(1 + y^2\right)^2 \right]}dy$
$= \left[ 3y^2-\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4 \right]_0^2 = \frac{944\pi}{5}$
$\frac{dQ}{dt}=k(P-Q) \Rightarrow Q=P+\left(Q_{(0)}-P\right) e^{-kt}$
,masukin yang diketahui2, jadinya: $P=\frac{Q_{(0)}Q_{(10)}-Q^2_{(5)}}{Q_{(0)}+Q_{(10)}-2Q_{(5)}}=0^o C$

thanks for replying...

tapi aku pengen nanya dikit...
dari soal nomor 7, karena blm pasti $Q<P$ atau $P<Q$
apakah benar bila kita tulis $\frac{dQ}{dt}=k(P-Q)$
apakah tidak sebaiknya $\frac{dQ}{dt}=k|Q-P|$ ?
thanks

gak masalah, udah bener kok.

kan klo P>Q dQ/dt>0 --> Q naik. klo P<Q dQ/dT<0 ---> Q turun

saya kira kita akan menemukan nilai $P$ yg lain bila dibuat menjadi mutlak...
atau saya yg salah ya!? Embarassed

btw,, yg volume itu saya rasa agak salah integralnya...
thanks

ya...salah itung...
[*] $dV = \pi \Delta (r^2) . dy = \pi \left[\left(1 + (6-y)\right)^2 - \left(1 + y^2\right)^2 \right]dy$
$V= \pi \int_0^2{\left[\left(7-y\right)^2 - \left(1 + y^2\right)^2 \right]}dy$
$= \left[ 48 + 14y^2-\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4 \right]_0^2 = \frac{184\pi}{3}$