• Articles

    Manage articles

    -_-
    Diskusi dan pembahasan soal dapat dibahas di sini
    Diketahui $x-y=10$ dan $xy=10$. Nilai $x^4 +y^4$ adalah... Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita juga diberikan sebagian informasi sebagai berikut: Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan Adi bukan juara pertama Cokro kalah dari Budi
    Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah... Banyaknya bilangan asli $k$ yang memenuhi $k|(n^7-n)$ untuk semua bilangan asli $n$ adalah... Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari titik O dan talibusur AC berjarak $5\sqrt{2}$ dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka kuadrat dari panjang BC adalah... Jika $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$, maka nilai dari $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ adalah... Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah $p$ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah $q$ dengan $p-q=\frac{23}{37}$. Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah... Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$. Banyaknya bilangan asli $n$ anggota ${1,2,...,100}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah... Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari $r$ yang sudut pusatnya $60$ derajat. Jika persegi diletakkan secara simetris di dalam juring, maka nilai $\frac{r^2}{s^2}$ adalah... Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah... Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang terisi tamu adalah... Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$, berlaku $f(m)<f(n)$. Jika diketahui $f(8!)=11$, maka nilai dari $f(2016)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=\frac{1}{2}(AB+BC)$. Misalkan $K$ dan $M$ berturut-turut titik tengah $AB$ dan $BC$. Titik $L$ terletak pada sisi $AC$ sehingga $BL$ adalah garis bagi sudut $ABC$. Jika $\angle{ABC}=72$ derajat, maka besarnya sudut $KLM$ sama dengan... Misalkan $P(x)$ suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di $x=0$ dan $x=2$. Jika $P(1)=2017$, maka nilai $P(3)$ adalah... Terdapat enam anak A,B,C,D,E dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah... Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah... Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus, maka nilai minimum dari cot B + cot C adalah... Misalkan $a,b,c$ dan $d$ bilangan-bilangan bulat positif. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$  memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$ adalah... Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran itu adalah... Untuk sebarang bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$, maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,BC=5$ dan $AC=13$. Misalkan $P$ suatu titik pada garis bagi $\angle A$ yang terletak di dalam $ABC$ dan misalkan $M$ suatu titik pada sisi $AB$ (dengan $A\neq M\neq B$). Garis $AP$ dan $MP$ memotong $BC$ dan $AC$ berturut-turut di $D$ dan $N$, Jika $\angle MPB=\angle PCN$ dan $\angle NPC = \angle MBP$, maka nilai $\frac{AP}{PD}$ adalah...

    -_-

    KSM MTs 2017

    By -_-, in Lomba Nasional,

    Hari Pertama
    1. Tentukan nilai dari $1+2-3-4+5+6-7-8+\dotsc+2013+2014-2015-2016+2017!$
    2. Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $1:3$. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio $5:6$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $\dotsc$
    3. Adakah bilangan kuadrat sempurna empat angka berbentuk $abab$? Jelaskan.
    4. Bilangan-bilangan $A,B,C,$ dan $D$ adalah bilangan bulat positif tiga digit. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari $A$ dan $B$ sama dengan FPB dari $C$ dan $D$ . FPB dari $A$ dan $C$ tiga kali $FPB$ dari $C$ dan $D$. FPB dari $B$ dan $D$ lima kali FPB dari $C$ dan $D$
    Tentukan satu kemungkinan nilai dari 4-tupel $(A,B,C,D)$ yang memenuhi. Tentukan 4-tupel bilangan yang jumlah keempat bilangan tersebut paling besar. 5. Diketahi dua lingkaran saling lepas berpusat di $P$ dan $Q$. Misalkan $A,B,C$ dan $D$ adalah titik-titik potong antara dua garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran dengan dua garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran. Buktikan bahwa $A,B,C,D$ terletak pada satu lingkaran.

    Rimba Erlangga
    Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.

    Rimba Erlangga
    Untuk setiap persegi satuan pada papan berukuran $5 \times 9$ dituliskan angka $1$ atau $0$. Kemudian dihitung jumlah semua bilangan pada setiap kolom dan juga pada setiap barisnya sehingga diperoleh $14$ bilangan. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi bilangan-bilangan tersebut. Tentukan maksimum dari banyak anggota $H$!

    Rimba Erlangga
    $\textbf{Bagian Isian}$
     
    Dua bilangan real tidak nol $a$ dan $b$ memenuhi $ab = a-b$. Nilai $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$ yang mungkin adalah ...
      Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat $5$ orang wanita dan $6$ orang pria. Kelurahan meminta $6$ orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih $6$ orang sebagai delegasi RW, dengan komposisi $3$ orang wanita dan $3$ orang pria, yang salah satu diantaranya adalah Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah ...
      Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13$, $AC = 15$, dan panjang garis tinggi ke $\overline{BC}$ adalah $12$. Jumlah semua panjang $BC$ yang mungkin adalah ...
      Bilangan prima dua digit $p = \overline{ab}$ yang memenuhi $\overline{ba}$ juga prima ada sebanyak ...
      Misalkan $f$ fungsi real yang memenuhi $f(\frac{x}{3}) = x^2+2x+3$. Jumlah semua nilai $z$ yang memenuhi $f(3z) = 12$ adalah ...
      Ita memilih bilangan di antara $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ dan mengatakan kepada Budi hasil kelima bilangan tersebut. Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan bilangan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali lima bilangan yang dimiliki Ita adalah ...
      Misalkan $ABCD$ sebuah persegi dengan panjang sisi $2017$. Titik $E$ terletak pada segmen $CD$ sehingga $CEFG$ merupakan persegi dengan panjang sisi $1702$, dengan $F$ dan $G$ terletak di luar $ABCD$. Jika lingkaran luar segitiga $ACF$ memotong $BC$ lagi di titik $H$, maka panjang $CH$ adalah ...
      Banyaknya pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan \[x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\] adalah ...
      Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2y^2+4x^2+y^2+1 = 6xy.\] Jika $M$ dan $m$ berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y$, maka nilai dari $M-m$ adalah ...
      Diberikan $2017$ lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaaan padam. Pada setiap menit, Ani harus menekan tepat $5$ saklar. Setiap saklar ditekan, lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu, Ani paling sedikit membutuhkan ... menit.
      Diberikan bilangan real positif $k$. Pada suatu segitiga $ABC$, titik-titik $D$, $E$, dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ sehingga \[\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=k.\] Jika $[ABC]$ dan $[DEF]$ berturut-turut menyatakan luas segitiga $ABC$ dan $DEF$, maka $\frac{[DEF]}{[ABC]} = $...
      Untuk sebarang bilangan asli $k$, misalkan $I_k = 10\dots064$ dengan $0$ di antara $1$ dan $6$ sebanyak $k$. Jika $N(k)$ menyatakan banyaknya faktor $2$ pada faktorisasi prima dari $I_k$, maka nilai maksimum untuk $N(k)$ adalah ...
      Jika $x$, $y$, dan $z$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi \[x+\frac{1}{y} = 4, y+\frac{1}{z} = 1, z+\frac{1}{x} = \frac{7}{3},\] maka nilai $xyz$ adalah ...
      Sepuluh siswa mempunyai tinggi badan yang berbeda. Guru olahraga menginginkan mereka berbaris menyamping, dengan syarat tidak ada siswa diapit oleh dua siswa lebih tinggi dari dirinya. Banyaknya cara membuat barisan seperti itu adalah ...
      Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tau$ sebagai lingkaran luarnya. Tali busur $AD$ adalah garis bagi dalam sudut $BAC$ yang memotong $BC$ di titik $L$. Tali busur $DK$ tegak lurus pada $AC$ dan memotong $AC$ di titik $M$. Jika $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$, maka nilai dari $\frac{AM}{MC}$ adalah ...
      Bilangan asli empat-digit $n$ habis dibagi oleh $7$. Bilangan asli $k$, yang diperoleh dengan menuliskan digit-digit $n$ dari belakang ke depan, juga habis dibagi oleh $7$. Selain itu, diketahui bahwa $n$ dan $k$ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh $37$. Jika $k>n$, maka jumlah dari semua $n$ yang memenuhi adalah ...
      Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\left \lfloor{x}\right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$. Diketahui $\{a_i\}_{i\geq1}$ barisan bilangan real dengan $a_1=20,17$. Jika \[a_1, a_2, ... , a_{11}  \textrm{ dan} \left \lfloor{a_1}\right \rfloor, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{10}}\right \rfloor\]masing-masing merupakan barisan aritmetika; sedangkan $\left \lfloor{a_1}\right \rfloor\, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{11}}\right \rfloor$ bukan barisan aritmetika, maka nilai minimum dari $a_2-a_1-\left \lfloor{a_2-a_1}\right \rfloor$ adalah ...
      Di suatu Pusat Jajanan terdapat empat kedai yang masing-masing menjual tiga jenis makanan. Ada $n$ orang yang masing-masing membeli tepat satu makanan pada setiap kedai. Untuk setiap tiga pembeli, ada paling sedikit satu kedai yang ketiga jenis makanannya terbeli. Nilai $n$ maksimum yang mungkin adalah ...
      Diketahui segi tujuh beraturan $ABCDEFG$. Jarak dari $A$ ke garis $BC$, $BE$, $CF$, dan $EF$ berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$, dan $d$. Nilai $\frac{ad}{bc}$ adalah ...
      Diketahui $f(x)$ polinom berderajat $n$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat yang memenuhi $f(0) = 39$ dan $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = ... = f(x_n) = 2017$, dengan $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ semua berbeda. Bilangan $n$ terbesar yang mungkin adalah ...  
    $\textbf{Bagian Uraian}$
     
    Untuk setiap persegi satuan pada papan berukuran $5 \times 9$ dituliskan angka $1$ atau $0$. Kemudian dihitung jumlah semua bilangan pada setiap kolom dan juga pada setiap barisnya sehingga diperoleh $14$ bilangan. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi bilangan-bilangan tersebut. Tentukan maksimum dari banyak anggota $H$!
     
    Bilangan asli $k>2$ dikatakan $\textbf{cantik}$ jika untuk setiap bilangan asli $n \geq 4$ dengan $5n+1$ bilangan kuadrat sempurna, dapat ditemukan bilangan asli $a_1, a_2, ... , a_k$ sehingga \[n+1 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2.\] Tentukan bilangan cantik terkecil.
     
    Diberikan segitiga $ABC$ yang ketiga garis tingginya berpotongan di titik $H$. Tentukan semua titik $X$ pada sisi $BC$ sehingga pencerminan $H$ terhadap titik $X$ terletak pada lingkaran luar segitiga $ABC$.
     
    Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan-bilangan real yang nilai mutlaknya tidak lebih besar dari $1$. Buktikan bahwa \[\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|} \leq 2+\sqrt{2}\].
     
    Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.

     

    akun
    1. Sebutlah \(5\)-tupel bilangan bulat aturable jika elemen-elemennya dapat diberi label \(a, b, c, d, e\) dalam urutan tertentu sehingga \(a - b + c - d + e = 29\). Tentukan semua \(2017\)-tupel bilangan bulat \(n_1,n_2,...,n_{2017}\) sehingga jika kita menempatkan bilangan tersebut dalam lingkaran dengan urutan searah jarum jam, maka sebarang \(5\)-tupel bilangan dalam posisi yang berurutan pada lingkaran dapat disusun.
     
    2. Misalkan segitiga \(ABC\) dengan \(AB<AC\). Misalkan \(D\) adalah titik potong dari garis bagi dalam sudut \(BAC\) dan lingkaran luar \(ABC\). Misalkan \(Z\) adalah titik potong dari garis sumbu \(AC\) dengan garis bagi luar sudut \(\angle BAC\). Buktikan bahwa titik tengah segmen \(AB\) berada di lingkaran luar segitiga \(ADZ\).
     
    3. Misalkan \(A(n)\) menyatakan jumlah dari barisan \(a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\) dari bilangan bulat positif dimana \(a_1+a_2+\cdots +a_k=n\) dan setiap \(a_i+1\) adalah pangkat dari dua\((i=1,2,\cdots ,k)\). Misalkan \(B(n)\) menyatakan jumlah dari barisan \(b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{m}\) dari bilangan bulat positif dimana \(b_1+b_2+\cdots +b_m=n\) dan setiap pertidaksamaan \(b_{j}\geq 2b_{j+1}\) berlaku \((j=1,2,\cdots ,m-1)\).
         Buktikan bahwa \(A(n) = B(n)\) untuk semua bilangan bulat positif \(n\).
     
    4. Sebuah bilangan rasional \(r\) disebut kuat jika \(r\) dapat diekspresikan dalam bentuk \(\frac{p^{k}}{q}\) untuk beberapa bilangan bulat relatif prima \(p,q\) dan beberapa bilangan bulat \(k>1\). Misalkan \(a,b,c\) adalah bilangan rasional positif dimana \(abc=1\). Anggap ada bilangan bulat positif \(x,y,z\) dimana \(a^{x}+b^{y}+c^{z}\) adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa semua \(a,b,c\) kuat.
     
    5. Misalkan \(n\) adalah bilangan bulat positif. Sepasang \(n\)-tupel \((a_1,\cdots ,a_n)\) dan \((b_1,\cdots ,b_n)\) dengan anggota bilangan bulat disebut pasangan istimewa jika
    \(\left | a_1b_1+\cdots +a_nb_n \right |\leq 1.\)
    Tentukan jumlah maksimum dari \(n\)-tupel berbeda dengan anggota bilangan bulat dimana sebarang dua dari mereka membentuk pasangan istimewa.
     

    salmanhiro
    Bagian A
     
    1. Tunjukkan bahwa \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\) tidak ada
     
    2. Tentukan turunan berarah dari \(f(x,y)=ye^{2x}\) di titik \((0,2)\) dengan arah \(\left \langle 1,2 \right \rangle\)
     
    3. Jika \(w = t^{2} - t \: \; tan \, s \) , \(t = x\) dan  \(s = \pi x\), tentukan \(\frac{dw}{dx}\) ketika \(x= \frac{1}{4}\) 
     
    4. Diberikan 
     
    \(R_{1}=\left \{ (x,y)|0\leq x\leq 2,\: \, 0\leq y\leq 1 \right \},\;\)
    \(R_{2}=\left \{ (x,y)|\, 0\leq x\leq 2,\: 1\leq y\leq 2 \right \}, \:\: \;\)
    \(R =\left \{ (x,y)|0\leq x\leq 2,\: 0\leq y\leq 2 \right \} .\)
     
    Jika \(\iint_{R} \: g(x,y)dA = 5\) dan \(\iint_{R_{1}} \: g(x,y)dA = 2\) ,
     
    hitunglah
    \(\iint_{R_{2}} \: (2g(x,y)+3)dA.\)
     
    5. Hitunglah \(\int_{0}^{2}\int_{0}^{y}(xy+y^{2})\: dx\, dy.\)
     
    6. Nyatakan integral lipat dua untuk volume benda pejal di bawah permukaan \(f(x,y)=\sqrt{9-2x^{2}-2y^{2}}\) dan diatas daerah S pada gambar menggunakan koordinat polar. (Tidak perlu dihitung)
     
     

     
    7. Solusi umum dari persamaan diferensial \(y^{"} + 3y^{'} -4y=x+1\) adalah \(y(x)=c_{1}e^{-4x}+c_{2}e^{x}\). Tentukan solusi tak homogennya.
     
    Bagian B
     
    1. Tentukan nilai minimum dan titik pembuat minimum dari \(f(x,y)=x^{2}-4xy+y^{2}\) dengan kendala \(x^{2}+y^{2}=1\) .
     
    2. Misal S daerah yang dibatasi oleh grafik  \(y = -x \), \(y = 3\), dan sumbu y.
     
    a. Gambarkan daerah S
    b. Tuliskan integral lipat yang menyatakan volume benda pejal di bawah permukaan \(z = e^{y^{2}}\) dan diatas daerah S.
    c. Hitung volume yang diintegralkan di bagian b. 
     
    3. Tinjau persamaan orde dua diferensial tak homogen \(y" + 9y = x + 2\, sin\: x\) .
    a. Tentukan solusi dari persamaan diferensial homogennya.
    b. Tentukan solusi persamaan diferensial diatas yang memenuhi syarat \(y(0) = 1\), \(y'(0)= \frac{1}{9}\).