• Sign in to follow this  

    Simulasi OSN Matematika KTO Mei 2017


    -_-

    1. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $f(n)$ sebagai banyaknya angka 1 yang muncul pada representasi desimal semua bilangan asli dari $1$ sampai dengan $n$. Sebagai contoh, $f(7)=1$ dan $f(17)=10$. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$, berlaku \[f\left(10^n\right)=n10^{n-1}+1.\]

    2. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$ sedemikian sehingga \[a^2+f(a)b+(f(b))^2\] adalah bilangan kuadrat sempurna untuk setiap bilangan bulat $a$ dan $b$.

    3. Diberikan bilangan real positif $a$, $b$, dan $c$ yang memenuhi $a+b+c=1$. Buktikan bahwa \[\frac{c}{\sqrt{ab+1-c}}+\frac{a}{\sqrt{bc+1-a}}+\frac{b}{\sqrt{ca+1-b}} \geq \frac{3}{\sqrt{7}}.\]

    4. Diberikan segitiga $XYZ$ yang memenuhi $XY\neq XZ$. Misalkan lingkaran singgung luar segitiga $XYZ$ yang berseberangan terhadap $X$ (katakan lingkaran tersebut $\omega$) menyentuh $YZ$, $ZX$, dan $XY$ berturut-turut di $U$, $V$, dan $W$. Misalkan $R$ dan $S$ berturu-turut adalah titik pada segmen $XZ$ dan $XY$ sedemikian sehingga $RS$ dan $YZ$ sejajar, dan misalkan $\Gamma$ adalah lingkaran yang melewati $R$ dan $S$ dan bersinggunan di luar terhadap $\omega$ di $T$. Buktikan bahwa $VW$, $UT$, dan $RS$ bertemu di satu titik.

    5. Misalkan $X$ adalah himpunan bilangan real positif takkosong dengan properti sebagai berikut: untuk setiap $p,q,r\in X$, $pq+qr+rp$ adalah bilangan rasional. Buktikan bahwa $\frac{p}{q}$ adalah bilangan rasional untuk setiap $p,q\in X$.

    6. Diberikan segitiga $ABC$ yang siku-siku di $C$ dengan pusat lingkaran dalam $I$. Titik $D$ terletak pada $AB$ sedemikian hingga $CD$ tegak lurus terhadap $AB$. Titik $I_1$ dan $I_2$ merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga $ACD$ dan $BCD$, berturut-turut. Apabila lingkaran dengan jari-jari $IC$ yang berpusat di $I$ memotong $CB$ dan $AC$ di $E$ dan $F$, berturut-turut, buktikan bahwa $EF$ sejajar dengan $I_1I_2$.

    7. Tentukan semua triple bilangan prima $(p_1,p_2,p_3)$ sedemikian sehingga \[p_i-1\mid p_1p_2p_3-1\quad \text{dan}\quad p_i+1\mid p_1p_2p_3+1\] untuk setiap $i=1,2,3$.

    8. Diberikan sebuah papan catur berukuran $n\times n$. Sebuah pion diletakkan pada kotak paling kiri bawah. Dua pemain, Jihyun dan Ziying, bergantian menggerakkan pion tersebut dengan Jihyun mendapatkan giliran pertama. Pada setiap giliran, pion hanya bisa digerakkan ke kotak yang bertetangga (dua kotak dikatakan bertetangga jika dan hanya jika dua kotak tersebut berbeda dan memiliki sisi persekutuan) dan belum pernah ditempati sebelumnya. Pemain yang tidak bisa menggerakkan pion dinyatakan kalah. Tentukan semua nilai $n$ sedemikian sehingga Jihyun memiliki strategi untuk menang.

    Edited by -_-

    Sign in to follow this