• UTS 2 Matematika IIA ITB 2017


    salmanhiro

    Bagian A

     

    1. Tunjukkan bahwa \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\) tidak ada

     

    2. Tentukan turunan berarah dari \(f(x,y)=ye^{2x}\) di titik \((0,2)\) dengan arah \(\left \langle 1,2 \right \rangle\)

     

    3Jika \(w = t^{2} - t \: \; tan \, s \) , \(t = x\) dan  \(s = \pi x\), tentukan \(\frac{dw}{dx}\) ketika \(x= \frac{1}{4}\) 

     

    4. Diberikan 

     

    \(R_{1}=\left \{ (x,y)|0\leq x\leq 2,\: \, 0\leq y\leq 1 \right \},\;\)

    \(R_{2}=\left \{ (x,y)|\, 0\leq x\leq 2,\: 1\leq y\leq 2 \right \}, \:\: \;\)

    \(R =\left \{ (x,y)|0\leq x\leq 2,\: 0\leq y\leq 2 \right \} .\)

     

    Jika \(\iint_{R} \: g(x,y)dA = 5\) dan \(\iint_{R_{1}} \: g(x,y)dA = 2\) ,

     

    hitunglah

    \(\iint_{R_{2}} \: (2g(x,y)+3)dA.\)

     

    5Hitunglah \(\int_{0}^{2}\int_{0}^{y}(xy+y^{2})\: dx\, dy.\)

     

    6Nyatakan integral lipat dua untuk volume benda pejal di bawah permukaan \(f(x,y)=\sqrt{9-2x^{2}-2y^{2}}\) dan diatas daerah S pada gambar menggunakan koordinat polar. (Tidak perlu dihitung)

     

     

    download (1).png

     

    7. Solusi umum dari persamaan diferensial \(y^{"} + 3y^{'} -4y=x+1\) adalah \(y(x)=c_{1}e^{-4x}+c_{2}e^{x}\). Tentukan solusi tak homogennya.

     

    Bagian B

     

    1Tentukan nilai minimum dan titik pembuat minimum dari \(f(x,y)=x^{2}-4xy+y^{2}\) dengan kendala \(x^{2}+y^{2}=1\) .

     

    2. Misal S daerah yang dibatasi oleh grafik  \(y = -x \)\(y = 3\), dan sumbu y.

     

    a. Gambarkan daerah S

    b. Tuliskan integral lipat yang menyatakan volume benda pejal di bawah permukaan \(z = e^{y^{2}}\) dan diatas daerah S.

    c. Hitung volume yang diintegralkan di bagian b. 

     

    3. Tinjau persamaan orde dua diferensial tak homogen \(y" + 9y = x + 2\, sin\: x\) .

    a. Tentukan solusi dari persamaan diferensial homogennya.

    b. Tentukan solusi persamaan diferensial diatas yang memenuhi syarat \(y(0) = 1\)\(y'(0)= \frac{1}{9}\).