• Prihandoko

    1. Albert, Bernard dan Cheryl sedang bermain kelereng. Di awal permainan, masing-masing membawa 5 kelereng merah, 7 kelereng hijau dan 13 kelereng biru, sedangkan di kotak kelereng ada tak berhingga banyaknya kelereng. Pada satu langkah setiap anak diberi kebebasan membuang dua kelereng yang berbeda warna, kemudian menggantinya dengan dua kelereng dengan warna ketiga. Sebagai contoh, satu kelereng hijau dan satu kelereng merah dibuang, kemudian dua kelereng biru diambil dari kotak. Setelah serangkaian langkah (banyaknya langkah yang dilakukan masing-masing anak boleh berbeda) terjadilah percakapan berikut.

    Albert: "Saya hanya membawa kelereng berwarna merah."
    Bernard: "Saya hanya membawa kelereng berwarna biru."
    Cheryl: "Saya hanya membawa kelereng berwarna hijau."

    Siapa sajakah yang pasti berbohong?

     

    2. Untuk setiap bilangan asli $a$ dan $b$ notasikan dengan $[a,b]$ kelipatan persekutuan terkecil dari $a$ dan $b$ dan notasikan dengan $(a,b)$ faktor persekutuan terkecil dari $a$ dan $b$. Tentukan semua bilangan asli $n$ yang memenuhi $$4\sum_{k=1}^{n}[n,k] = 1 + \sum_{k=1}^{n}(n,k) + 2n^{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n,k)}.$$

     

    3. Diberikan segitiga lancip ABC. Lingkaran $\Gamma_B$ adalah lingkaran yang melewati $AB$ dan menyinggung $AC$ pada $A$ dan berpusat di $O_B$. Definisikan yang serupa untuk $\Gamma_C$ dan $O_C$. Misalkan garis tinggi segitiga $ABC$ dari $B$ dan $C$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ pada $X$ dan $Y$. Buktikan $A$, titik tengah $XY$, dan titik tengah $O_BO_C$ segaris.

     

    4. Misalkan pasangan fungsi $f, g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ memenuhi persamaan fungsi $$f(g(x)y+f(x))=(y+2015)f(x)$$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}^+$.

    a. Buktikan bahwa $f(x)=2015g(x)$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}^+$.
    b. Berikan sebuah contoh pasangan fungsi yang memenuhi persamaan di atas dan $f(x), g(x) \ge 1$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}^+$.

     

    5. Misalkan $a,b,c,d$ adalah bilangan asli sehingga $a|c^d$ dan $b|d^c$ buktikan bahwa $$ab|(cd)^{maks\{a,b\}}$$

    Catatan : $maks\{a,b\}$ menyatakan nilai terbesar $a$ atau $b$.

     

    6. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik pusat lingkaran luar $O$. Garis $AO$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ lagi di titik $D$. Misalkan $P$ titik pada sisi $BC$. Garis melalui $P$ yang tegak lurus $AP$ memotong garis $DB$ dan $DC$ berturut-turut di titik $E$ dan $F$. Garis melalui $D$ tegak lurus $BC$ memotong $EF$ di titik $Q$. Buktikan bahwa $EQ = FQ$ jika dan hanya jika $BP = CP$.

     

    7. Untuk $a,b,c$ bilangan real positif, buktikan ketaksamaan
    $$\sqrt{\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{c}{a+b} +\frac{a}{b+c}} \geq 3$$

     

    8. Diketahui ada 3 gedung berbentuk sama yang lokasinya membentuk segitiga sama sisi. Masing-masing gedung memiliki 2015 lantai dengan setiap lantainya tepat memiliki 1 jendela. Di semua gedung tersebut, setiap lantainya tepat mempunyai satu penghuni kecuali lantai 1 yang tidak berpenghuni.
    Semua kusen jendela ini akan diwarnai dengan salah satu dari merah, hijau, atau biru. Dari setiap lantai, sang penghuni dapat melihat warna jendela kedua gedung lainnya untuk lantai yang sama dan satu lantai tepat di bawahnya. Misalnya, penghuni lantai 10 dapat melihat jendela lantai 9 dan 10 untuk kedua gedung lainnya, sehingga totalnya 4 jendela. Tetapi, sang penghuni tidak dapat melihat warna jendelanya sendiri maupun jendela lantai lain di gedungnya sendiri.
    Kita ingin mewarnai jendela-jendela tersebut agar setiap penghuni dapat melihat paling sedikit 1 jendela dari setiap warna. Ada berapa cara mewarnai jendela tersebut?