• Sign in to follow this  
    Followers 0

    OSN SMA 2017


    -_-

    Hari Pertama

    SOAL 1. Melalui titik sudut $A$ dari jajargenjang $ABCD$, dibuat suatu garis $g$. Buktikan bahwa jarak dari $C$ ke garis $g$ adalah jumlah atau selisih jarak dari $B$ dan $D$ ke $g$.

     

    SOAL 2. Lima orang siswa bertemu di sebuah tempat. Sebuah trio adalah pasangan tiga siswa $(A,B,C)$ sehingga $A$ berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ berjabat tangan dengan $C$ atau $A$ tidak berjabat tangan dengan $B$ dan $B$ tidak berjabat tangan dengan $C$. Jika trio (A,B,C) dan (C,B,A) dianggap sebagai trio yang sama, berapa paling sedikit banyaknya trio yang mungkin?

     

    SOAL 3.  Suatu bilangan asli $d$ disebut istimewa jika setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai $a^2+b^2-dc^2$ untuk suatu bilangan bulat $a,b,c$

    • Tentukan bilangan asli terkecil yang tidak istimewa
    • Tunjukkan bahwa 2017 bilangan istimewa

     

    SOAL 4. Tentukan semua pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $$x^{100}-y^{100}=2^{99}(x-y)$$ $$x^{200}-y^{200}=2^{199}(x-y)$$ dengan $x$ dan $y$ berbeda.

    Hari Kedua

    SOAL 5. Diberikan polinom $P$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat.
    Misalkan diketahui bahwa persamaan $P\left( x\right) =0$ mempunyai
    sedikitnya $9$ solusi bilangan bulat berbeda. Misalkan juga $n$ adalah sebarang
    bilangan bulat dengan sifat $\left\vert P\left( n\right) \right\vert <2017.$
    Buktikan bahwa $P\left( n\right) =0.$

     

    SOAL 6. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang tidak lebih besar dari $2017$ sedemikian sehingga $n$ habis membagi $20^n+17k$ untuk suatu bilangan asli $k$.

     


    SOAL 7. Diberikan jajargenjang $ABCD$. Titik $E$ dan titik $F$ dipilih berturut-turut pada sisi $BC$ dan $CD$ sedemikian rupa sehingga segitiga $ABE$ dan segitiga $BCF$ mempunyai luas yang sama. Diagonal $BD$ memotong $AE$ dan $AF$ berturut-turut di $M$ dan $N$. Buktikan terdapat segitiga yang panjang sisi-sisinya sama dengan $BM$, $MN$, dan $ND$.

     

    SOAL 8. Lantai dari sebuah aula ditutupi dengan $2017\times2017$ ubin satuan. Luffy mempunyai sejumlah detektor. Setiap detektor yang diletakkan di atas ubin akan menyala jika tepat dibawahnya terdapat emas, dan tidak bereaksi apapun jika tidak ada emas di bawahnya. Luffy meletakkan $k$ buah detektor tepat di atas $k$ buah ubin kemudian dia keluar ruangan. Kemudian Sanji memilih suatu daerah persegi yang ditutupi oleh $1500 \times 1500$ ubin satuan dan menyembunyikan tepat satu koin emas di bawah setiap ubin.  Ketika Luffy kembali dan melihat detektor yang tadi dia pasang, dia dapat menentukan letak semua koin yang tadi di tanam Sanji.


     Tentukan nilai $k$ terkecil agar Luffy selalu dapat menentukan letak semua koin tak peduli daerah manapun yang dipilih Sanji.

    0


    Sign in to follow this  
    Followers 0