• Sign in to follow this  

    Tes 1 2016


    -_-

    1. Diberikan sebuah bilangan prima $p\geq 5$. Tentukan banyaknya polinomial berbentuk $$1+pX^k+pX^l+X^p$$ dengan $1\leq k \leq l\leq p-1$ yang irreducible di $\mathbb{Z}\:[X\:]$

    2. Diberikan lingkaran $\Gamma$ yang berpusat di titik $O$, dengan $AB$ sebagai diameternya. Titik $P$ terletak pada garis singgung $\Gamma$ di titik $B$. Garis $PA$ memotong $\Gamma$ untuk kedua kalinya di titik $C$. Misalkan $D$ titik simetri dari $C$ terhadap $O$. Garis $PD$ memotong $\Gamma$ untuk kedua kalinya di titik $E$.

    • Buktikan bahwa garis-garis $AE$, $BC$, dan $PO$ melalui satu titik (sebut titik $M$).
    • Tentukan lokasi titik $P$ sehingga luas segitiga $ABM$ maksimum. Selanjutknya, hitung luas maksimum segitiga $ABM$, yang dinyatakan dalam radius $\Gamma$.

    3. Cari bilangan cacah terkecil $n$ sehingga terdapat fungsi $f:\mathbb{Z} \rightarrow \[0,\infty)$ tak konstan yang memenuhi sifat berikut sekaligus untuk setiap bilangan bulat $x$ dan $y$:

    • $f(xy)=f(x)f(y)$
    • $2f(x^2+y^2)-f(x)-f(y) \in \{0,1,...,n\}$.

    Untuk $n$ tersebut, cari semua fungsi $f:\mathbb{Z} \rightarrow \[0,\infty)$ tak konstan yang memenuhi.

    4. Tersedia topi-topi dengan tiga jenis warna: merah, hijau, dan biru. Ada tiga orang penyihir dan tiap-tiap penyihir dipasangkan satu buah topi secara acak di mana topi tersebut bisa berwarna merah, hijau, ataupun biru masing-masing dengan peluang yang sama. Ketika sinyal diberikan, tiap-tiap penyihir harus secara serentak menyebutkan satu jenis warna atau memilih untuk pass (tidak memberikan jawaban). Para penyihir menang jika dan hanya jika paling sedikit satu diantara mereka menyebutkan warna topinya dengan benar dan tidak ada satupun yang menebak topinya dengan salah. Para penyihir boleh berembuk untuk menerapkan satu strategi sebelum permainan dimulai. Strategi yang digunakan harus bersifat deterministik, yaitu hanya bergantung kepada warna topi yang dipakai oleh penyihir lain. Tentukan strategi optimal yang bisa digunakan para penyihir, yakni strategi dengan probabilitas kemenangan terbesar diantara semua 27 kasus pemasangan topi yang mungkin.

    Sign in to follow this