Jump to content
The search index is currently processing. Activity stream results may not be complete.

All Activity

This stream auto-updates     

  1. Earlier
  2. IMO 2018 No 6

    Suatu segiempat konveks \(ABCD\) memenuhi \(AB ·CD = BC ·DA\). Titik \(X\) terletak di dalam \(ABCD\) sehingga \(\angle XAB = \angle XCD\) dan \(\angle XBC = \angle XDA.\) Buktikan bahwa \(\angle BXA +\angle DXC = 180^{\circ}\).
  3. IMO 2018 No 5

    Misalkan \(a_{1},a_{2},...\) suatu barisan tak hingga bilangan bulat positif. Misalkan terdapat bilangan bulat \(N > 1\) sehingga untuk setiap \(n ≥ N,\) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{a_{2}}{a_{3}}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{n}}+\frac{a_{n}}{a_{1}}\) merupakan bilangan bulat. Buktikan bahwa terdapat suatu bilangan bulat positif \(M\) sehingga \(a_{m} = a_{m+1}\) untuk setiap \(m ≥ M\).
  4. IMO 2018 No 4

    Suatu situs adalah sebarang titik \((x,y)\) di bidang dengan \(x\) dan \(y\) bilangan bulat positif tidak lebih dari \(20\). Mula-mula, masing-masing dari \(400\) situs tidak ditempati. Amy dan Ben bergiliran menempatkan batu dengan Amy pada giliran pertama. Pada gilirannya, Amy menempatkan sebuah batu merah baru pada suatu situs yang kosong sedemikian sehingga jarak setiap dua situs yang berisi dua batu merah tidak sama dengan \(\sqrt{5}\). Pada gilirannya, Ben menempatkan sebuah batu biru baru pada suatu situs yang kosong. (Sebuah situs yang ditempati oleh batu biru boleh berjarak berapapun dari situs lain yang sudah ditempati.) Mereka berhenti bermain setelah ada pemain yang tidak bisa menempatkan batu. Tentukan \(K\) terbesar sehingga Amy dapat menjamin bahwa dia dapat menempatkan sedikitnya \(K\) buah batu merah, tidak peduli bagaimana Ben menempatkan batu-batu birunya.
  5. IMO 2018 No 3

    Suatu segitiga anti-Pascal adalah susunan bilangan dalam bentuk segitiga sehingga setiap bilangan selain bilangan pada baris terbawah merupakan nilai mutlak dari selisih dua bilangan tepat dibawahnya. Sebagai contoh, susunan berikut merupakan segitiga anti-Pascal yang terdiri dari empat baris dan mengandung semua bilangan dari \(1\) sampai dengan \(10\). Apakah terdapat suatu segitiga anti-Pascal dengan 2018 baris yang mengandung semua bilangan dari \(1\) sampai dengan \(1 + 2 +···+ 2018?\)
  6. IMO 2018 No 2

    Tentukan semua bilangan bulat \(n ≥ 3\) sehingga terdapat bilangan real \(a_{1},a_{2},...,a_{n+2}\) sehingga \(a_{n+1} = a_{1}, a_{n+2} = a_{2}\) dan \(a_{i}a_{i+1} + 1 = a_{i+2}\) untuk setiap \(i = 1,2,...,n.\)
  7. IMO 2018 No 1

    Misalkan \(Γ\) lingkaran luar suatu segitiga lancip \(ABC\). Titik \(D\) dan \(E\) berturut-turut terletak pada segmen \(AB\) dan \(AC\) sehingga \(AD\) = \(AE\). Garis sumbu segmen \(BD\) dan \(CE\) memotong busur minor \(AB\) dan \(AC\) pada \(Γ\) berturut-turut di \(F\) dan \(G\). Buktikan bahwa garis \(DE\) dan \(FG\) paralel (atau berimpit).
  8. First timer created Topic

    Misalkan $a$ adalah bilangan bulat positif sehingga: \[FPB(an+1,2n+1)=1\] untuk setiap bilangan bulan $n$. (a) Tunjukkan bahwa $FPB(a-1,2n+1)=1$ untuk setiap bilangan bulat $n$. (b) Cari semua $a$ yang mungkin. Misalkan $\Gamma_{1}$ dan $\Gamma_{2}$ dua lingkaran yang bersinggungan di titik $A$ dengan $\Gamma_{2}$ di dalam $\Gamma_{1}$. Misalkan $B$ titik pada $\Gamma_{2}$ dan garis $AB$ memotong $\Gamma_{1}$ di titik $C$. Misalkan $D$ titik pada $\Gamma_{1}$ dan $P$ sebarang titik pada garis $CD$ (boleh pada perpanjangan segmen $CD$). Garis $BP$ memotong $\Gamma_{2}$ di titik $Q$. Tunjukkan bahwa $A$, $D$, $P$, dan $Q$ terletak pada satu lingkaran. *huh panjang* Pada suatu permainan Andi dan komputer melangkah secara bergantian. Awalnya komputer menampilkan suatu polinom $x^2+mx+n$ dengan $m,n \in \mathbb{Z}$ yang tidak memiliki akar real. Andi kemudian memulai permainan tersebut. Pada setiap gilirannya, Andi mengganti polinom $x^2+ax+b$ yang muncul di layar dengan salah satu dari $x^2+(a+b)x+b$ atau $x^2+ax+(a+b)$. Andi hanya boleh memilih polinom yang akar-akarnya real. Sedangkan komputer pada setiap gilirannya menukar koefisien $x$ dan konstanta dari polinom yang dipilih Andi. Andi akan kalah jika dia tidak bisa melanjutkan langkahnya. Tentukan semua pasangan $(m,n)$ agar Andi pasti kalah.]
  9. Perkenalan

    Hai, semua. Perkenalkan saya Wilbert dari Manado. Salam kenal ^^
  10. OSP Matematika 2018

    1. Banyaknya pasangan terurut bilangan bulat $(a,b)$ sehingga $a^2 + b^2-a+b$ adalah .... 2. Diberikan trapesium $ABCD$, dengan $AD$ sejajar $BC$. Diketahui $BD = 1, \angle DBA = 23^{\circ}$, dan $\angle BDC = 46^{\circ}$. Jika perbandingan $BC:AD = 9:5$ , maka panjang sisi $CD$ adalah ... 3. Misalkan $A>0$ dan $0<r_{1}<r_{2}<1$ sehingga $a+ar_{1}+ar_{1}^2+...$ dan $a+ar_{2}+ar_{2}^2+...$ adalah dua deret geometri tak hingga dengan jumlah berturut-turut $r_{1}$ dan $r_{2}$. Nilai $r_{1}$ dan $r_{2}$ adalah ... selanjutnya akan diupdate ya hehe
  11. Bilangan kompleks

    We know that $(a-b)^2\geq0$. Then \begin{align*}a^2+b^2&\geq2ab\\ab&\leq\frac{a^2+b^2}{2}\\ab&\leq\frac{7}{2}.\end{align*} From the equation given, \begin{align*}(a^2+b^2)(a+b)&=a^3+b^3+ab(a+b)\\7(a+b)&=10+ab(a+b)\\7(a+b)&\leq10+\frac{7}{2}(a+b)\\\frac{7}{2}(a+b)&\leq10\\a+b&\leq\frac{20}{7}.\end{align*} So, the maximum value of $a+b$ is $\boxed{\frac{20}{7}}$.
  12. mencari bentuk sederhana (teori bilangan)

    \begin{align*}\frac{(2^3-1)(3^3-1)(4^3-1)\cdots(100^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1)\cdots(100^3+1)}&=\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}(k^3-1)}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}(k^3+1)}\\&=\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k-1)(k^2+k+1)\right\}}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k+1)(k^2-k+1)\right\}}\\&=\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left[(k-1)\left\{(k+1)^2-(k+1)+1\right\}\right]}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k+1)(k^2-k+1)\right\}}\\&=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots99}{3\cdot4\cdot5\cdots101}\cdot\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k+1)^2-(k+1)+1\right\}}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left(k^2-k+1\right)}\\&=\frac{2}{100\cdot101}\cdot\frac{(3^2-3+1)(4^2-4+1)\cdots(101^2-101+1)}{(2^2-2+1)(3^2-3+1)\cdots(100^2-100+1)}\\&=\frac{1}{50\cdot101}\cdot\frac{101^2-100}{4-1}\\&=\frac{10101}{3\cdot50\cdot101}\\&=\frac{3367}{50\cdot101}\\&=\boxed{\frac{3367}{5050}}.\end{align*}
  13. mencari bentuk sederhana (teori bilangan)

    Tinggal corat coret
  14. mencari bentuk sederhana (teori bilangan)

    lanjutanya bagaimana ?
  15. Tidak bisa reply

    Anda kenapa?
  16. Titik-titik konsiklis

    Siiip
  17. mencari bentuk sederhana (teori bilangan)

    Iya.. terus perhatikan bahwa \(n^2+n+1=(n+1)^2-(n+1)+1\)
  18. Tidak bisa reply

    Saya ga bisa reply topik orang. Ngetes apakah bisa ngerrply topik sendiri
  19. Titik-titik konsiklis

    oke semangat wildan ospnya :D
  20. Titik-titik konsiklis

    Oh iya saya lupa buat kasus 1 nya ._.
  21. Titik-titik konsiklis

    Bagi dua kasus, Kasus 1 Misal $E$ berada di luar lingkaran Perhatikan bahwa segitiga $ACE$ dan segitiga $DBE$ sebangun. Maka, $\frac{AC}{BD}=\frac{EC}{BE}$ Perhatikan pula bahwa segitiga $EAD$ sebangun dengan segitiga $ECB$. Maka, $\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{EC}$ Kalikan kedua persamaan sehingga didapat persamaan soal. Kasus 2 Misal $E$ berada di dalam lingkaran Perhatikan bahwa segitiga $ACE$ dan segitiga $DEB$ sebangun. Maka, $\frac{AC}{BD}=\frac{AE}{ED}$ Di sisi lain, segitiga $AED$ sebangun dengan segitiga $CEB$. Maka, $\frac{AD}{CB}=\frac{ED}{EB}$ Kalikan kedua persamaan sehingga didapat persamaan soal. QED :D
  22. Titik-titik konsiklis

    Mendapatkan $\frac{AE}{AB}$ dengan menggunakan luas segitiga bagaimana caranya?
  23. Titik-titik konsiklis

    AC.AD/(BC.BD)=Luas ACD/Luas BCD = AE/BE
  24. Titik-titik konsiklis

    Jika titik $A,B,C,$ dan $D$ adalah titik-titik konsiklis dan ruas garis $AB$ memotong ruas garis $CD$ di titik $E$, buktikan bahwa \[ \frac{AC}{BC} \cdot \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{BE} \]
  25. CS kah?

    Waw mantab penuh dengan variabel :'v
  26. CS kah?

    Pertama, akan dibuktikan bahwa \[\frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{x^4+y^4+z^4} \le x+y+z\] untuk \(x,y,z \in \mathbb{R^+}\). Perhatikan bahwa pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan \[x^2y^3+x^2z^3+x^3y^2+y^2z^3+x^3z^2+y^3z^2 \le xy^4+xz^4+x^4y+yz^4+x^4z+y^4z\] \[xy(x^2y+xy^2)+xz(x^2z+xz^2)+yz(y^2z+yz^2) \le xy(x^3+y^3)+xz(x^3+z^3)+yz(y^3+z^3)\] yg jelas benar menurut AM-GM, yaitu \(x^3+x^3+y^3 \ge 3x^2y\) dan \(x^3+y^3+y^3 \ge 3xy^2\), dimana jika dijumlahakan didapatkan \(3x^3+3y^3 \ge 3x^2y+3xy^2 \) => \(xy(x^2y+xy^2) \le xy(x^3+y^3)\) Dengan demikian, terbukti. Lalu, tinggal substitusi \(x+y+z=2017\), didapat deh..
  1. Load more activity
×