KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade.org September 2015: Bagian A

Recommended Posts

  1. Sebuah kue berbentuk persegi panjang akan dipotong beberapa kali secara horizontal dan beberapa kali secara vertikal dengan jarak setiap dua potongan berdekatan adalah sama (sehingga menghasilkan potongan-potongan kue yang sama besar). Kue ini dipotong menjadi tepat 2015 potongan kue. Tentukan banyak potongan minimal yang diperlukan.

  2. Tentukan tiga digit terakhir dari $$\frac{1+n^2+n^4}{1+n+n^2}$$ untuk $n = 2015.$

  3. Diadakan sebuah turnamen yang diikuti oleh 74 peserta. Pada mulanya, setiap peserta memiliki kesempatan 3 kali kalah. Turnamen ini dilakukan dengan mempertandingkan dua buah peserta yang masih bertahan di turnamen; di setiap pertandingan, tepat satu peserta kalah. Jika seorang peserta telah kalah tiga kali, ia keluar dari turnamen. Diketahui bahwa setelah mengadakan tepat $N$ pertandingan, hanya tersisa 1 orang pemain dan ia dinobatkan sebagai pemenang. Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $N$.

  4. Diketahui bahwa $A (20, 10)$ dan $C (-18, 2)$ adalah dua buah titik sehingga $AC$ merupakan diagonal dari suatu persegi $ABCD$. Titik $B$ dan $D$ berturut-turut memiliki koordinat $(-p, q)$ dan $(r, -s)$ di mana $p, q, r, s$ merupakan bilangan asli. Hitunglah $p+q+r+s$.

  5. Diketahui bahwa terdapat sebanyak $n$ garis pada bidang di mana setiap garis memotong tepat 20 garis lainnya. Tentukan hasil jumlah semua kemungkinan nilai $n$.

  6. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $(a, b)$ demikian sehingga $a \times b = 15^{15}$.

  7. Pada sebuah pesta, akan hadir 1000 tamu. Setiap tamu mengenal tepat 40 tamu lainnya dengan asumsi bahwa jika $A$ mengenal $B$, $B$ mengenal $A$. Diketahui bahwa dari $n$ tamu pertama yang hadir, tidak ada dari mereka yang saling mengenal. Tentukan nilai terbesar $n$ yang mungkin.

  8. $C_{1}$ dan $ C_{2}$ adalah dua buah lingkaran yang bersinggungan luar dengan diameter $AB$ dan $BC$, titik pusat $D$ dan $E$, berturut-turut. Misalkan $F$ adalah titik potong antara garis singgung $C_2$ dari $A$ dan garis singgung $C_1$ dari $C$ di mana kedua garis singgung berada pada sisi yang sama terhadap garis $AC$. Jika $BD=BE=\sqrt{2}$, maka luas segitiga $AFC$ dapat ditulis dalam bentuk $m\sqrt{n}$ di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli dan $n$ tidak habis dibagi oleh kuadrat suatu bilangan prima. Hitunglah $m+n$.

  9. Barisan $a_1, a_2, \dotsc$ didefinisikan dengan $a_k = (k^2 + k + 1)k!$ untuk $k = 1, 2, \ldots$. Misalkan $$\frac{1+a_1+a_2+\dotsb + a_{24}}{a_{25}} = \frac{m}{n}$$ dengan $m, n$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah $m + n$.

  10. Diberikan segitiga $ABC$ demikian sehingga $AB = 1, AC = \sqrt{2}$, dan $BC = \sqrt{3}$. Diberikan titik $P$ dan $Q$ demikian sehingga $PB = QB = 1, PC = QC = 2$ dan $PA > QA$. Nilai $\frac{PA}{QA}$ dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ di mana $m$ dan $n$ merupakan bilangan asli yang tidak habis dibagi kuadrat suatu bilangan prima. Hitunglah $m + n$.

  11. Untuk setiap bilangan asli $n$, misalkan $t(n)$ menyatakan pembagi ganjil terbesar dari $n$. Sebagai contoh, $t(48) = 3$ dan $t(49) = 49$. Hitunglah tiga digit terakhir dari hasil jumlah $$\sum_{k = 1}^{128} t(k).$$

  12. Diketahui bahwa untuk setiap bilangan real $x$, berlaku $ax^2+bx+c\ge 0$ di mana $a, b, c$ merupakan bilangan real yang tidak semuanya 0 dan $a < b$. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari $$\frac{a+5b+3c}{b-a}.$$

  13. Misalkan $E, F, G$ adalah titik-titik pada sisi $AB, BC, CD$ dari sebuah persegi panjang $ABCD$, berturut-turut, demikian sehingga $BF = FG, \angle FGE = 90^{\circ}, BC = \frac{4}{5}\sqrt{3}$, dan $EF = \sqrt{5}$. Panjang $BF$ dapat dituliskan dalam bentuk $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{c}$ di mana $a, b, c$ merupakan bilangan asli dengan $a$ dan $b$ tidak habis dibagi kuadrat suatu bilangan prima. Hitunglah nilai $a+b+c$.

  14. Misalkan $$N = \left\lfloor\frac{7}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{7^2}{5}\right\rfloor + \dotsb + \left\lfloor\frac{7^{2015}}{5}\right\rfloor$$ dan misalkan $M$ adalah sisa pembagian $7^{2016}$ oleh $N$. Tuliskan tiga digit terakhir dari $M$.

Edited by Kontes Terbuka

Share this post


Link to post
Share on other sites

mau ngerjain nomor 2... :)


 


$1+n^2+n^4=1+2n^2+n^4-n^2=(1+n^2)^2-n^2=(1+n^2-n)(1+n^2+n)$


 


sehingga


 


ekspresi tersebut sama dengan $1-n+n^2$. untuk $n=2015$, diperoleh $1-2015+2015^2=4058211$ sehingga tiga digit terakhirnya adalah 211.


  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Coba no 1 ah :-)

Perkalian $2015$

$1*2015$ (ada $2014$ pemotongan)

$5*403$ (ada $4+402=406$ pemotongan)

$13*165$ (ada $12+164=176$ pemotongan)

$31*65$ (ada $30+64=94$ pemotongan)

Jadi banyak pemotongan minimal $94$

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 11 saya dapat 5462.. jadi 3 digit terakhirnya 462 
mau tulis prosesnya tapi panjang..  
yang jelas caranya pertama seluruh $k= bil.ganjil$ ditambah 
terus untuk genapnya itu difaktorkan dengan $2$ dulu 
yang hasilnya ganjil ditambah lagi
terus yang masih genap difaktorkan dengan $2^2=4$
yang hasilnya ganjil ditambah lagi
terus yang masih genap difaktorkan dengan $2^3=8$
yang hasilnya ganjil ditambah lagi 
dan seterusnya 
 

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 3: untuk dapat 1 orang pemenang, jelas 73 orang lain harus kalah terlebih dahulu, jadi ke73 orang tersebut minimum harus kalah 3 kali => minimum butuh 219 pertandingan

Kemudian, tinggal lihat aja bahwa turnamennya bisa diatur biar ke73 orang itu masing masing kalah tepat 3 kali (contoh turnamen: 1 orang dewa disuruh lawan 73 orang tersebut sebanyak 73 kali :3)

Jdi,minimum ada 219 pertandingan

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 9 saya jawab 676

a1 = 3 , a2 = 14 , a3 = 78 , a4 = 504

Kita buat persamaan menjadi lebih sederhana sambil melihat pola apa yg dipakai pada Persamaan tersebut.

Untuk Pembagi = a2 Nilai m + n = 9

Untuk Pembagi = a3 Nilai m + n = 16

Untuk Pembagi = a4 Nilai m + n = 25

sehingga didapat Pola yaitu

jika pembagi nya aN , Nilai m + n = (N + 1)^2

Jadi untuk N = 25 , Nilai m + n = 676

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 9 saya jawab 676

a1 = 3 , a2 = 14 , a3 = 78 , a4 = 504

Kita buat persamaan menjadi lebih sederhana sambil melihat pola apa yg dipakai pada Persamaan tersebut.

Untuk Pembagi = a2 Nilai m + n = 9

Untuk Pembagi = a3 Nilai m + n = 16

Untuk Pembagi = a4 Nilai m + n = 25

sehingga didapat Pola yaitu

jika pembagi nya aN , Nilai m + n = (N + 1)^2

Jadi untuk N = 25 , Nilai m + n = 676

Kalau pake teleskoping kenapa dapatnya 677 ya? :'-(

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 9 saya jawab 676

a1 = 3 , a2 = 14 , a3 = 78 , a4 = 504

Kita buat persamaan menjadi lebih sederhana sambil melihat pola apa yg dipakai pada Persamaan tersebut.

Untuk Pembagi = a2 Nilai m + n = 9

Untuk Pembagi = a3 Nilai m + n = 16

Untuk Pembagi = a4 Nilai m + n = 25

sehingga didapat Pola yaitu

jika pembagi nya aN , Nilai m + n = (N + 1)^2

Jadi untuk N = 25 , Nilai m + n = 676

Kalau pake teleskoping kenapa dapatnya 677 ya? :'-(
Mungkin saja Ada kesalahan di Pertambahan atau pengurangan atau mungkin lupa mengurangkan dengan angka 1 Edited by FermatTheorem

Share this post


Link to post
Share on other sites

5) mis kumpulan garis sejajar(dg nilai gradien yg sama) adl A_i dg i=1 sp n; dg byk elemenny a_i.

2 garis akan brpotongan jika dan hy jika mrk ga paralel.

Jd soal dpt diekuivalenkan dg:

(a_1a_2+a_3+...a_n)-a_i=20 utk stp i=1-n.

dr sini dpt disimpulkb a_i semuanya bernilai sama.

shg (n-1)a_i=20.

dr sini n-1|20, krn syarat minimal cm n>1 maka semua nilai a adl faktor dr 20, yaitu 1,2,4,5,10,20

dan total garis ad sejumlah n.a_i=20n/(n-1)=20+20/(n-1)=20+a.

jd hasil jumlah semua byk garis yg mgkn adl $/sum{20+a}=20.6+(1+2+4+5+10+20)=162$ eh

Edited by Hisagi

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 9 saya jawab 676

a1 = 3 , a2 = 14 , a3 = 78 , a4 = 504

Kita buat persamaan menjadi lebih sederhana sambil melihat pola apa yg dipakai pada Persamaan tersebut.

Untuk Pembagi = a2 Nilai m + n = 9

Untuk Pembagi = a3 Nilai m + n = 16

Untuk Pembagi = a4 Nilai m + n = 25

sehingga didapat Pola yaitu

jika pembagi nya aN , Nilai m + n = (N + 1)^2

Jadi untuk N = 25 , Nilai m + n = 676

Kalau pake teleskoping kenapa dapatnya 677 ya? :'-(
Mungkin saja Ada kesalahan di Pertambahan atau pengurangan atau mungkin lupa mengurangkan dengan angka 1
Sepertinya anda yg paling banyak benar di isian singkat. Mungkin bisa di share semua jawaban anda :-)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now