KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade.org Agustus 2015: Bagian A

Recommended Posts

  1. Diketahui $p, q, r$ bilangan prima yang memenuhi $p+q = r$. Jika $p$ anggota $\{ 1, 2, \dotsc, 100 \}$ tentukan nilai terbesar $p$ yang mungkin.
  2. Diberikan bilangan real positif $a, b, c$ yang memenuhi $$ab+a+b=5 \\ ac+a+c=9 \\ bc+b+c=14.$$ Carilah nilai $a+b+c$.
  3. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(k, l, m)$ demikian sehingga $k+2l+m=2k+l-2m=2015.$
  4. Jika $a$ merupakan bilangan real terbesar yang memenuhi persamaan $$x^2+\frac{1}{x}=2,$$ tentukanlah nilai $a^2+a+1$.
  5. Diberikan persegi $ABCD$. Misalkan $E$ dan $F$ berturut-turut titik tengah dari sisi $AD$ dan $A$ dan misalkan pula $G$ merupakan titik potong antara garis $CE$ dan $DF$. DIketahui bahwa luas segitiga $DEG$ adalah 1. Hitung luas persegi $ABCD$.
  6. Fungsi $f$ memenuhi persamaan $$f(2^x) + xf(2^{-x}) = 1$$ untuk sembarang bilangan real $x$. Hitunglah nilai $$\frac{1}{f(2^{1+\sqrt{2}})}+\frac{1}{f(2^{3+\sqrt{7}})}.$$
  7. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $A_1, B_1, C_1$ berturut-turut merupakan titik tengah sisi $BC, CA$, dan $AB$. Misalkan $D$ adalah kaki tegak lurus dari titik $A$ ke sisi $BC$ di mana $D$ terletak di antara $B$ dan $A_1$. Diketahui bahwa $B_1D$ tegak lurus dengan $A_1C_1$. DIketahui bahwa $A_1C_1 = 10$ dan luas segitiga $ABC$ adalah 150. Tentukan luas segitiga $A_1C_1D$.
  8. Tentukan banyaknya pasangan terurut $(a, b, c)$ demikian sehingga $$a-bc^2 \equiv 1 {\pmod {13}} \\ ac+b \equiv 4 {\pmod {13}}$$ di mana $0 \ge a < 13, 0 \ge b < 13$ dan $0 \ge c < 13$.
  9. Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$. Tentukan banyaknya fungsi $f: A \to A$ yang memenuhi $f(f(x)) = x$ untuk setiap $x \in A$.
  10. Definisikan barisan $a_n$ sebagai $a_n = \lceil (9 + \sqrt{69})^n \rceil$. Tentukan banyak bilangan dari $a_1, a_2, \dotsc, a_{1000}$ yang habis dibagi 9.
  11. Misalkan $ABCD$ merupakan trapesium demikian sehingga $A, B, C, D$ terletak pada sebuah lingkaran dan sisi $A$ sejajar sisi $CD$. Diagonal $AC$ dan $BD$ berpotongan di titik $M$ dan $\angle AMD = 60^{\circ}$. Diketahui $MO = 10$. Diketahui bahwa selisih panjang $AB$ dan $CD$ apat ditulis dalam bentuk $m\sqrt{n}$ di mana $m, n$ adalah bilangan asli dan $n$ tidak habis dibagi oleh kuadrat suatu bilangan prima. Hitunglah nilai $m+n$.
  12. Tentukanlah banyaknya permutasi $(a_1, a_2, \dotsc, a_{10})$ dari $1, 2, 3, \dotsc, 10$ yang memenuhi $$|a_1 - 1| + |a_2 - 2| + \dotsb + |a_{10} - 10| = 4.$$
  13. Misalkan $N$ bilangan asli terbesar yang tidak dapat dinyatakan sebagai $2^a + 11b$, dimana $a$ dan $b$ bilangan bulat nonnegatif. Tentukan $\lfloor \frac{N}{10} \rfloor$.
  14. Misalkan $I$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$ dan $O$ adalah titik pusat excircle terhadap titik $B$. Jika $BI = 12, OI = 18$ dan $BC = 15$, hitunglah panjang $AB$.
Edited by Kontes Terbuka

Share this post


Link to post
Share on other sites

karena $p$, $q$, dan $r$ adalah prima dengan 
$p+q=r$ 
maka salah satu dari p dan q adalah bilangan genap, dan kita ambil $q=2$
lalu
$p=r-2$
dengan teknik coba coba  :rofl:  saya dapat nilai terbesar p adalah $p=71$ dan $q=73$ 

Share this post


Link to post
Share on other sites

karena $p$, $q$, dan $r$ adalah prima dengan 

$p+q=r$ 

maka salah satu dari p dan q adalah bilangan genap, dan kita ambil $q=2$

lalu

$p=r-2$

dengan teknik coba coba  :rofl:  saya dapat nilai terbesar p adalah $p=71$ dan $q=73$

Kalau $p=71$ dan $q=73$ maka $r=144$ berarti $r$ bukan prima.

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

karena $p$, $q$, dan $r$ adalah prima dengan 

$p+q=r$ 

maka salah satu dari p dan q adalah bilangan genap, dan kita ambil $q=2$

lalu

$p=r-2$

dengan teknik coba coba  :rofl:  saya dapat nilai terbesar p adalah $p=71$ dan $q=73$

Kalau $p=71$ dan $q=73$ maka $r=144$ berarti $r$ bukan prima.

 

salah tulis seharusnya $p=71$ dan $r=73$ kan sebelumnya saya sudah tulis $q=2$ 

maaf 

Share this post


Link to post
Share on other sites

$ab + a + b = 5$

$ (a+1)(b+1) = 6 ...(1$

$ac+a+c = 9$

$(a+1)(c+1) = 10 ...(2$

$bc+b+c= 14$

$(b+1)(c+1)=15 ...(3$

$(1 \times (2 \times (3$

$[(a+1)(b+1)(c+1)]^2 = 6 \times 10 \times 15$

$(a+1)(b+1)(c+1) = 30 ...(4$

Pers. $(4$ dibagi dngn pers. $(1$.

$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{(a+1)(b+1)} = \frac{30}{6}$

$c+1 = 5$

$c = 5$

Pers. $(4)$ dibagi pers. $(2$

Kita dapatkan $b=2$

Pers. $(4$ dibagi pers. $(3$

Kita dapatkan $c=1$

Maka $a+b+c=5+2+1=8$

 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now