Jump to content
Sign in to follow this  
Ricky TheIsing

Ineq pecahan akar

Recommended Posts

Untuk setiap bilangan real positif $a,b,c$ yang memenuhi $a+b+c = 1$. Buktikan bahwa berlaku

\[\frac{a}{\sqrt{a+2b}} + \frac{b}{\sqrt{b+2c}} + \frac{c}{\sqrt{c+2a}} < \sqrt{\frac{3}{2}} \]

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Observasi bahwa ,

a/V(a+2b) + b/V(b+2c) + c/V(c+2a)=a^2/(a+2b) + b^2/(b+2c) + c^2/(c+2c)>=(a+b+c)^2/3(a+b+c)=1/3

Jadi V(3/2) > a/V(a+2b) + b/V(b+2c) + c/V(c+2a) >=1/3

Share this post


Link to post
Share on other sites

Observasi bahwa ,

a/V(a+2b) + b/V(b+2c) + c/V(c+2a)=a^2/(a+2b) + b^2/(b+2c) + c^2/(c+2c)>=(a+b+c)^2/3(a+b+c)=1/3

Jadi V(3/2) > a/V(a+2b) + b/V(b+2c) + c/V(c+2a) >=1/3

?

tidak mengerti. Kalau bisa tolong diperjelas :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Observasi bahwa ,

a/V(a+2b) + b/V(b+2c) + c/V(c+2a)=a^2/(a+2b) + b^2/(b+2c) + c^2/(c+2c)>=(a+b+c)^2/3(a+b+c)=1/3

Jadi V(3/2) > a/V(a+2b) + b/V(b+2c) + c/V(c+2a) >=1/3

misalkan persamaan diatas bernilai A . dan disuruh membuktikan bahwa A<3/2. kok kamu membuktikan A>1/3 dan bisa langsung berkesimpulan bahwa 3/2 >A.  mungkin ada teman teman lain yang bisa memperjelas :smile:

Share this post


Link to post
Share on other sites

Saya cuma bs ampe $\sqrt{2} > \sqrt{\frac{3}{2}}$  :/


 


Dengan CS 


 


\[\left( \sqrt{\frac{a}{a+2b }} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{\frac{b}{{b+2c} }} \cdot \sqrt{b} + \sqrt{\frac{c}{\sqrt{c+2a} } } \cdot \sqrt{c} \right)^2 \leq \left({\frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{c+2a} } \right) ({a+b+c})\]


 


 


Sedangkan dengan reverse CS-Engle


 


\[\begin{align*} {\frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{c+2a} } &= 3- \left( \frac{2b}{a+2b} + \frac{2c}{b+2c} + \frac{2a}{c+2a} \right) \\ &\leq 3 - \frac{2(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2) + (ab+ac+bc)} \\ &<  2 \end{align*} \]


 


$2(a+b+c)^2 = 2(a^2+b^2+c^2 ) + 4(ab+ac+bc) > 2(a^2+b^2+c^2) + ab+ac+bc$.  (Tanda sama dengan terjadi ketika $ab+ac+bc=0$ ,yakni ketika dua variabel sama dengan nol,  dan pada kasus soal ini tidak bisa terjadi )


 


 


Remark:


 


Ketaksamaan


 


\[\frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{c+2a} < \frac{3}{2}\]


 


salah, dengan counter-example $(a,b,c) = (200/701, 1/701, 500/701)$ :)  Jadi cara diatas ga bisa nyampe setajam soal. 


Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

saya mau nanya, ekspresi LHS di soal menuju RHS kapan sih? atau ineq di soal lemah? as in ada better constant buat RHS 


Edited by sayakalah

Share this post


Link to post
Share on other sites

saya mau nanya, ekspresi LHS di soal menuju RHS kapan sih? atau ineq di soal lemah? as in ada better constant buat RHS 

 

 

Tidak pernah nyampe, justru itu yg bikin kuat...  expresi di soal itu (LHS)  punya range yang sangat tipis yaitu hanya berada di interval $\left[1, \sqrt{\frac{3}{2}} \right)$ i.e (bisa dibuktikan ternyata $LHS \geq 1$ )

 

 

So far saya br dapet $[1 , \sqrt{2}) \supset \left[1, \sqrt{\frac{3}{2}} \right)$

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

ekuivalen dengan ini:


$a+b+c=3$, $0<a,b,c$, $a-b,b-c,c-a>-1$


prove $\frac{a+1}{\sqrt{b}}+\frac{b+1}{\sqrt{c}}+\frac{c+1}{\sqrt{a}}<3\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}$


 


ternyata jelek sekali setelah diperhatikan


Edited by sayakalah

Share this post


Link to post
Share on other sites

a/√(a+2b)+b/√(b+2c)+c/√(c+2a)


=(√(a^2 (b+2c)(c+2a))+√(b^2 (a+2b)(c+2a))+√(c^2 (a+2b)(b+2c)))/√((a+2b)(b+2c)(c+2a))


≤ √((c+2a+a+2b+b+2c)(a^2 (b+2c)+b^2 (c+2a)+c^2 (a+2b)))/√((a+2b)(b+2c)(c+2a))


=√((3(a^2 (b+2c)+b^2 (c+2a)+c^2 (a+2b)))/((a+2b)(b+2c)(c+2a)))


=√(3/2-27abc/((a+2b)(b+2c)(c+2a)))


<√(3/2)(kesamaan tidak mungkin terjadi karena a,b,c>0)


  • Upvote 4

Share this post


Link to post
Share on other sites

a/√(a+2b)+b/√(b+2c)+c/√(c+2a)

=(√(a^2 (b+2c)(c+2a))+√(b^2 (a+2b)(c+2a))+√(c^2 (a+2b)(b+2c)))/√((a+2b)(b+2c)(c+2a))

≤ √((c+2a+a+2b+b+2c)(a^2 (b+2c)+b^2 (c+2a)+c^2 (a+2b)))/√((a+2b)(b+2c)(c+2a))

=√((3(a^2 (b+2c)+b^2 (c+2a)+c^2 (a+2b)))/((a+2b)(b+2c)(c+2a)))

=√(3/2-27abc/((a+2b)(b+2c)(c+2a)))

<√(3/2)(kesamaan tidak mungkin terjadi karena a,b,c>0)

 

 

Nice!

 ...  

Saya coba bikin latex nya biar yg lain bacanya lbh enak (dan tambahin beberapa penjelasan ) :

 

 

\[LHS = \frac{a \sqrt{(b+2c)(c+2a)} + b \sqrt{(c+2a)(a+2b)} + c \sqrt{(a+2b)(b+2c)}  }{\sqrt{(a+2b) (b+2c) (c+2a) }}\]

 

Dengan menggunakan ketaksamaan CS

 

\begin{align*}\sqrt{a^2(b+2c)} \cdot  \sqrt{(c+2a)} +\sqrt{b^2(c+2a)} \cdot \sqrt{(a+2b)} + \sqrt{c^2(a+2b)} \cdot \sqrt{(b+2c)} &\leq \left(\sqrt{a^2 (b+2c) + b^2 (c+2a) + c^2 (a+2b)}\right) \,  \left(\sqrt{(c+2a) + (a+2b) +( b+2c) } \right) \\ &= \left(\sqrt{a^2b+b^2c+c^2a +2ab^2+2bc^2+2ca^2}\right) \,  \left(\sqrt{3(a+b+c)} \right) \\ &= \sqrt{3(a^2b+ b^2c+ c^2a) +6( ab^2+bc^2+ca^2)}  \end{align*}

 

Dengan identitas $(a+2b) (b+2c) (c+2a) = 2 (a^2b+b^2c+c^2a) + 4(ab^2 + bc^2+ca^2) + 9abc$ diperoleh

 

 

\begin{align*} LHS \leq \frac{\sqrt{3a^2b+ 3b^2c+ 3c^2a +6ab^2+6bc^2+6ca^2}}{\sqrt{(a+2b) (b+2c) (c+2a) } } &= \sqrt{\frac{\frac{3}{2} (a+2b) (b+2c) (c+2a) - \frac{27}{2}abc  }{(a+2b) (b+2c) (c+2a) } }\\  &= \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{27abc}{2(a+2b) (b+2c) (c+2a)} }  \\ &< \sqrt{\frac{3}{2}}  \end{align*}

 

 

Edited by Adri
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×