Jump to content
Sign in to follow this  
Prihandoko

Ketaksamaan jangan dibongkar

Recommended Posts

Tunjukan bahwa untuk sebarang bilangan real positif $a,b,c$ berlaku


 


$$ \frac{(b+c)^2}{a^2 + bc} + \frac{(c+a)^2 }{b^2 + ca} + \frac{(a+b)^2}{c^2 +ab} \ge 6$$


Share this post


Link to post
Share on other sites

Solusi tidak bagus:


 


CS-Engel langsung memang bakal gagal.. tapi CS-Engel yang dimodifikasi kayak ini bisa:


 


\[LHS = \frac{(b+c)^4}{ (a^2 + bc)(b+c)^2} + \frac{(a+c)^4}{(b^2+ca)(c+a)^2} + \frac{(a+b)^4}{(c^2+ab)(a+b)^2} \geq \frac{\left(\sum (b+c)^2 \right)^2}{\sum (b^2+ac)(a+c)^2}.\]


 


Sekarang tinggal buktikan bahwa


\[\frac{\left(\sum (b+c)^2 \right)^2}{\sum (b^2+ac)(a+c)^2} \geq 6\]


 


Saya sudah punya bukti ini benar dengan mixing variable (saya sembunyikan karena malu :p) : 


 



(Ada bantuan SW* atau MA*LE :rofl:  ), dimana dimisalkan \[f(a,b,c) =\left(\sum (b+c)^2 \right)^2 -6 \sum (b^2+ac)(a+c)^2\] dan $a=\min(a,b,c)$ dan WLOG $a+b+c=3$. Nanti dapat \[f(a,b,c)-f\left(a, \frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2} \right) = \frac{1}{4} (b-c)^2 (8b^2+20bc+ab+8c^2+ca-14a^2) \geq 0\]


\[f\left(a, \frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2} \right) = f\left(a, \frac{3-a}{2}, \frac{3-a}{2} \right) = \frac{9}{4} (a-1)^2 (9-a)a \geq 0\]


Karena $a= \min(a,b,c) \leq \frac{a+b+c}{3} =1 < 9$. 


 



 


Harunsya ada bukti bagus nya, karena identitas2nya match sebagai berikut:


 


Jika kita misalkan $X= (b+c)^2$, $Y=(a+b)^2$, dan $Z=(a+c)^2$ , lalu misalkan $U=a^2+bc$, $V=c^2+ab$, dan $Z=b^2+ac$. Maka diperoleh $X+Y+Z = 2(U+V+W)$. Dan kita tinggal membuktikan (mirip Chebishev)


 


\[uX + VY + WZ \leq \frac{(U+V+W)(X+Y+Z)}{3}\]


 


 


 


  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

dimisalkan \[f(a,b,c) =\left(\sum (b+c)^2 \right)^2 -6 \sum (b^2+ac)(a+c)^2\]

 

Boleh juga karena $f(a,b,0)\geq 0$ dan $f(a,a,1)\geq 0$ untuk sebarang $a,b\geq 0$, maka $f(a,b,c)\geq 0$ untuk sebarang $a,b,c\geq 0$ :)

Edited by candhakkeplekkegebuk

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

dimisalkan \[f(a,b,c) =\left(\sum (b+c)^2 \right)^2 -6 \sum (b^2+ac)(a+c)^2\]

 

Boleh juga karena $f(a,b,0)\geq 0$ dan $f(a,a,1)\geq 0$ untuk sebarang $a,b\geq 0$, maka $f(a,b,c)\geq 0$ untuk sebarang $a,b,c\geq 0$ :)

 

saya ga ngerti implikasi yang ini pak, mohon pencerahan..

$$ f(a,b,0) \ge 0, f(a,a,1) \ge 0 \then f(a,b,c) \ge 0 $$

Share this post


Link to post
Share on other sites

$LHS-RHS = \sum_{cyc} \frac{b^2+c^2-2a^2}{a^2+bc} = \sum_{cyc} (b^2-a^2) (\frac{1}{a^2+bc} - \frac{1}{b^2+ca}) = \frac{1}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}\sum_{cyc} (a+b)(a+b-c)(c^2+ab)(b-a)^2$

 

WLOG, misal $a \geq b \geq c > 0$

$S_a = (b+c)(b+c-a)(a^2+bc)$, $S_b = (a+c)(a+c-b)(b^2+ca)$, $S_c = (a+b)(a+b-c)(c^2+ab)$. Karena $b^2S_a + a^2S_b \geq 0$, $S_b \geq 0$, dan $S_c \geq 0$; maka $LHS \geq RHS$ 

Edited by BoesFX

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×