KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade.org Oktober 2015: Bagian A

Recommended Posts

  1. Untuk setiap bilangan real $a$, nyatakan $\lfloor a \rfloor$ sebagai bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari $a$. Sebagai contoh, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$ dan $\lfloor 2 \rfloor = 2$. Jika sebuah bilangan real $x$ memenuhi $x+\lfloor 2x \rfloor = 3.14$, tentukan nilai dari $100x$.
  2. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(m,n)$ yang memenuhi persamaan $$4(n^2+m)=mn.$$
  3. Tentukan banyaknya cara mengacak huruf-huruf K, K, T, T, O, dan O sedemikian rupa sehingga huruf-huruf K, T, dan O tidak terletak bersebelahan dalam urutan tersebut.
  4. Misalkan $ABCD$ adalah sebuah segiempat konveks yang memenuhi $AB=10$, $CD=3\sqrt 6$, $\angle ABD=60^\circ$, $\angle BDC=45^\circ$, dan $BD=13+3\sqrt 3$. Tentukan panjang $AC$.
  5. Diberikan sebuah polinomial $P(x)=1-x+x^2-x^3+\dots+x^{14}-x^{15}$. Tentukanlah tiga digit (angka) terakhir dari koefisien $x^4$ pada polinomial $P(x-1)$.
  6. Misalkan $N$ adalah banyaknya tuple bilangan bulat terurut $(a,b,c,d)$ dengan $a,b,c,$ $d \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ yang memenuhi $ab-cd$ habis dibagi $11$. Tentukan tiga digit (angka) pertama dari $N$.
  7. Misalkan $E$ adalah sebuah titik yang terletak di luar sebuah bujur sangkar $ABCD$. Jika jarak $E$ ke $AC$ adalah $6$, jarak $E$ ke $BD$ adalah $17$, dan jarak $E$ ke titik sudut bujur sangkar yang terdekat adalah $10$, tentukanlah luas terkecil yang mungkin bagi bujur sangkar tersebut.
  8. Nilai terbesar untuk $\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-51}+\sqrt{199-3x}$ di interval $\frac{153}{6} \le x \le \frac{398}{6}$ adalah $s$; nilai tersebut terjadi pada saat $x$ bernilai $t$. Hitunglah $s+t$.
  9. Tentukan banyaknya pasangan terurut $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ dengan $a_i \in \{-1,0,1\}$ untuk setiap $i=1,2,3,4,5,6$ demikian sehingga $$a_1 \cdotp 5+a_2  \cdotp 5^2+a_3 \cdotp 5^3 + a_4 \cdotp 5^4 + a_5 \cdotp 5^5+a_6 \cdotp 5^6$$ bernilai positif.
  10. Misalkan $C$ dan $D$ adalah titik-titik pada lingkaran dengan titik pusat $O$ dan diameter $AB$, di mana $C$ dan $D$ berada pada sisi yang berbeda terhadap diameter $AB$. Misalkan $H$ adalah kaki tegak lurus dari $B$ ke $CD$. Jika $AO=13$, $AC=24$, dan $HD=12$, tentukanlah besar $\angle DCB$ dalam derajat.
  11. Sebuah bilangan asli disebut spesial jika bilangan tersebut habis dibagi oleh tiap-tiap digit (angka)-nya yang bukan $0$. Ada berapa paling banyak bilangan-bilangan berurutan yang semuanya spesial?
  12. Misalkan $E$ adalah sebuah titik di dalam sebuah belah ketupat $ABCD$ demikian sehingga $AE=EB$, $\angle EAB=12^{\circ}$, dan $\angle DAE=72^{\circ}$. Tentukanlah besar $\angle CDE$ dalam derajat.
  13. Pada sebuah papan berukuran $3 \times 3$, dua kotak diwarnai biru dan dua kotak lainnya diwarnai merah demikian sehingga dua kotak yang sama warna selalu tidak sekolom maupun sebaris. Tentukan banyak pewarnaan yang demikian.
  14. Untuk setiap dua bilangan real $x$ dan $y$ dengan $xy=1$, berlaku ketaksamaan $$((x+y)^2+4)((x+y)^2-2) \ge A(x-y)^2.$$. Tentukan nilai terbesar bagi $A$ yang mungkin.
Edited by donjar
  • Upvote 3

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 11: Jawabannya 13. Dari 111.111.111.111.111.111.000 sampai 111.111.111.111.111.111.012.


Perhatikan bahwa kalau $x$ belakangnya 9, $x$ dan $x + 4$ sama-sama ga mungkin spesial.


  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 11: Jawabannya 13. Dari 111.111.111.111.111.111.000 sampai 111.111.111.111.111.111.012.

Perhatikan bahwa kalau $x$ belakangnya 9, $x$ dan $x + 4$ sama-sama ga mungkin spesial.

 

nemunya gimana coba, :headbang: :headbang: :headbang:

 

 

no 14 coba deh.

$A=5$.

$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = (x+y)^2 - 4$. Misalkan $x+y = t$ maka ketaksamaannya jadi

 

$$

( t^2 + 4 ) ( t^2 -2) \ge A (t^2 - 4)

$$

 

tapi

$$

( t^2 + 4 ) ( t^2 -2) = (t^2 -4 + 8)( t^2 -2)\\

= (t^2 -4)( t^2 -2) + 8( t^2 -2)\\

= (t^2 -4)( t^2 -2) + 8( t^2 -4) + 16

$$

 

sehingga dengan sedikit manipulasi aljabar dan $AM-GM$ di akhir, didapat.

\begin{align*}

\frac{( t^2 + 4 ) ( t^2 -2)}{t^2 - 4 } &= \frac{( t^2 - 4 ) ( t^2 -2)}{t^2 - 4 } + \frac{8( t^2 -4)}{t^2 - 4 } + \frac{16}{(t^2 - 4)} \\

&= t^2 - 2 + 1 + \frac{16}{t^2 - 4} \\

&= \left( (t^2 -4) + \frac{16}{(t^2 - 4)} \right) + 3 \\

&\ge 2 + 3 =5

\end{align*}

semua argumen di atas menggunakan asumsi bahwa $t^2 \neq 4$. Karena benar untuk setiap $x,y$ ya pilih saja $x,y$ yang enggak mengakibatkan $t^2 =4$, ada banyak kok tenang saja.  

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

No. 11: Jawabannya 13. Dari 111.111.111.111.111.111.000 sampai 111.111.111.111.111.111.012.

Perhatikan bahwa kalau $x$ belakangnya 9, $x$ dan $x + 4$ sama-sama ga mungkin spesial.

 

nemunya gimana coba, :headbang: :headbang: :headbang:

 

 

no 14 coba deh.

$A=5$.

$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = (x+y)^2 - 4$. Misalkan $x+y = t$ maka ketaksamaannya jadi

 

$$

( t^2 + 4 ) ( t^2 -2) \ge A (t^2 - 4)

$$

 

tapi

$$

( t^2 + 4 ) ( t^2 -2) = (t^2 -4 + 8)( t^2 -2)\\

= (t^2 -4)( t^2 -2) + 8( t^2 -2)\\

= (t^2 -4)( t^2 -2) + 8( t^2 -4) + 16

$$

 

sehingga dengan sedikit manipulasi aljabar dan $AM-GM$ di akhir, didapat.

\begin{align*}

\frac{( t^2 + 4 ) ( t^2 -2)}{t^2 - 4 } &= \frac{( t^2 - 4 ) ( t^2 -2)}{t^2 - 4 } + \frac{8( t^2 -4)}{t^2 - 4 } + \frac{16}{(t^2 - 4)} \\

&= t^2 - 2 + 1 + \frac{16}{t^2 - 4} \\

&= \left( (t^2 -4) + \frac{16}{(t^2 - 4)} \right) + 3 \\

&\ge 2 + 3 =5

\end{align*}

semua argumen di atas menggunakan asumsi bahwa $t^2 \neq 4$. Karena benar untuk setiap $x,y$ ya pilih saja $x,y$ yang enggak mengakibatkan $t^2 =4$, ada banyak kok tenang saja.  

 

Terus gunanya $xy = 1$ apa? 

 

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

No. 11: Jawabannya 13. Dari 111.111.111.111.111.111.000 sampai 111.111.111.111.111.111.012.

Perhatikan bahwa kalau $x$ belakangnya 9, $x$ dan $x + 4$ sama-sama ga mungkin spesial.

 

nemunya gimana coba, :headbang: :headbang: :headbang:

 

 

essencenya kan $100x + 0$ sampai $100x + 12$. si $x$ ini digit-digitnya cuman 1 sama 0 gitu. trus diatur supaya $x$ habis dibagi 7, 9, 11. :D

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 5/11/2015 11:57:04, donjar said:

 

essencenya kan 100x+0 sampai 100x+12 . si x ini digit-digitnya cuman 1 sama 0 gitu. trus diatur supaya x habis dibagi 7, 9, 11. :D

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 5/11/2015 11:57:04, donjar said:

8. s bernilai maksimum jika sqrt(x-1) = sqrt(2x-51) = sqrt(199-3x). 

Dari persamaan tersebut diperoleh bahwa s = 21 dengan x=t=50. Dengan demikian s+t = 21+50=71.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 9
jawabannya 364 
jika $a_6$ adalah 1 maka yang lain dapat diatur menjadi $3^5 =243$ 
jika $a_5$ adalah 1 maka $a_6 = 0$ sehingga yang lain dapat diatur menjadi $3^4 = 81$ 
maka selanjutnya didapat $3^3$ $3^2$ $3^1$ dan $3^0$ 
sehingga 
$243+81+27+9+3+1 = 364$ 

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 06/11/2015, 6:02:43, Cahyono Sastro Syamsihuda said:

8. s bernilai maksimum jika sqrt(x-1) = sqrt(2x-51) = sqrt(199-3x). 

Dari persamaan tersebut diperoleh bahwa s = 21 dengan x=t=50. Dengan demikian s+t = 21+50=71.

 

Dari mana ini kak? Kok tau maksimumnya pas 3-3nya sama? :)

Share this post


Link to post
Share on other sites
16 hours ago, donjar said:

 

Dari mana ini kak? Kok tau maksimumnya pas 3-3nya sama? :)

 

16 hours ago, donjar said:

 

Dari mana ini kak? Kok tau maksimumnya pas 3-3nya sama? :)

Misalkan f(x) = sqrt(x-1) + sqrt(2x-51) + sqrt(199-3x). Fungsi f(x) bernilai mksimum jika f'(x)=0.

f'(x) = 1/sqrt(x-1) + 2/sqrt(2x-51) - 3/sqrt(199-3x). 

f'(x) = [sqrt((2x-51)*(199-3x)) + 2*sqrt((199-3x)*(x-1)) - 3*sqrt((x-1)*(2x-51))] / [sqrt((x-1)*(2x-51)*(199-3x))] = 0 jika sqrt((2x-51)*(199-3x)) + 2*sqrt((x-1)*(199-3x)) = 3*sqrt((x-1)*(2x-51)). 

Dengan catatan bahwa (x-1) = (2x-51) = (199-3x). 

Nilai x = 50 yang memenuhi persamaan tsb. 

Dengan x=50 maka f(50)=21. 

Jadi nilai maksimumnya adalah 21. 

s = 21 dan t=50 sehingga s + t = 21 + 50 = 71.

Share this post


Link to post
Share on other sites
15 hours ago, PeterGustav said:

$(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$(a+b+c)23(a2+b2+c2)

 

Nice! :)

 

5 hours ago, Cahyono Sastro Syamsihuda said:

 

Misalkan f(x) = sqrt(x-1) + sqrt(2x-51) + sqrt(199-3x). Fungsi f(x) bernilai mksimum jika f'(x)=0.

f'(x) = 1/sqrt(x-1) + 2/sqrt(2x-51) - 3/sqrt(199-3x). 

f'(x) = [sqrt((2x-51)*(199-3x)) + 2*sqrt((199-3x)*(x-1)) - 3*sqrt((x-1)*(2x-51))] / [sqrt((x-1)*(2x-51)*(199-3x))] = 0 jika sqrt((2x-51)*(199-3x)) + 2*sqrt((x-1)*(199-3x)) = 3*sqrt((x-1)*(2x-51)). 

Dengan catatan bahwa (x-1) = (2x-51) = (199-3x). 

Nilai x = 50 yang memenuhi persamaan tsb. 

Dengan x=50 maka f(50)=21. 

Jadi nilai maksimumnya adalah 21. 

s = 21 dan t=50 sehingga s + t = 21 + 50 = 71.

 

Turunan caranya straightforward sih tapi tetap bener kok (y)

Share this post


Link to post
Share on other sites
On Tue Nov 17 2015 21:56:51 GMT+0800, nicozhou said:

Soal no 3 bagaimana cara jawabnya? Mohon bantuan

 

Bagi kasus saja…

KTOXXX ada 6

XKTOXX ada 6

XXKTOX ada 6

XXXKTO ada 6

 

Tapi, kan bisa KTOKTO yang kehitung dua kali. brarti perlu dikurang 1. jadi totalnya 23 :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

$x+\lfloor{2x} \rfloor = 3.14$

$\lfloor{2x} \rfloor = 3.14 - x$

Nilai $3.14 - x$ haruslah merupakan bilangan bulat. Nilai x haruslah $0 < x < 3$. Jika $x \ge 3.14$, maka nilai $3.14 - x$ negatif dan tidak memenuhi.

Kasus 1

Jika $x = 0,14$, maka $\lfloor{2x} \rfloor = 0$. Maka pada kasus ini tidak memenuhi.

Kasus 2

Jika $x = 1.14$, maka $\lfloor{2x} \rfloor = 2$. Pada kasus ini terpenuhi. Sehingga nilai $100x = 114$.

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now