Jump to content
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade.org November 2015: Bagian A

Recommended Posts

  1. Misalkan $a, b, c, d, e$ adalah lima suku berturutan dari sebuah barisan aritmetika dan $a+b+c+d+e = 30$. Ada tepat satu variabel dari $a, b, c, d, e$ yang nilainya bisa ditentukan hanya dengan informasi ini. Tentukanlah nilai tersebut.
  2. Suatu grup paduan suara terdiri dari beberapa anak laki-laki dan perempuan mengamen untuk menggalang dana untuk mendanai kegiatan konser mereka. Pada mulanya, 40% grup ini adalah anak laki-laki. Namun, setelah dua anak laki-laki keluar dari grup dan dua anak perempuan masuk ke grup, anak laki-laki menjadi 30% grup. Tentukan banyak anak laki-laki pada mulanya.
  3. Diberikan sebuah persegi $ABCD$ dengan panjang sisi 10. Diberikan segitiga sama kaki $ABK$ dengan alas $AK = BK$ sehingga luas daerah bersama segitiga $ABK$ dan persegi $ABCD$ ini adalah 80. Tentukan jarak titik $K$ ke sisi $AB$.
  4. Tentukan banyaknya bilangan asli $n \in \{1, 2, 3, \dotsc, 1000\}$ ynag memenuhi 7 habis membagi $n^2 + 5$.
  5. Panjang sisi sebuah segi-$n$ beraturan adalah $1$ dan rasio nilai keliling dan luasnya adalah $\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Tentukanlah nilai $n$.
  6. Pada sebuah kotak terdapat $2$ apel, $3$ mangga, $3$ jambu, dan $4$ melon. Dari kotak tersebut akan dipilih $4$ buah secara acak. Peluang bahwa di antara buah-buah yang terpilih terdapat dua buah yang sama jenis dapat ditulis dalam bentuk $m/n$, dengan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah nilai dari $m+n$.
  7. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan real $(a,b,c)$ yang memenuhi $$a^4+b^4+c^4+1=4abc.$$
  8. Tentukan dua digit terakhir dari penulisan basis 4 untuk bilangan $2015^{2015^{2015}}$.
  9. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ sehingga suku banyak (polinomial) $1+x+x^2+\dots+x^n$ habis membagi polinomial $x^{1000}-1$.
  10. Misalkan $ABCD$ adalah sebuah segiempat konveks sehingga $\angle ABD=40^{\circ}$, $\angle DBC$$=70^{\circ}$, $\angle BDA=80^{\circ}$, dan $\angle BDC=50^{\circ}$. Tentukan besar $\angle CAD$ dalam derajat.
  11. Tentukan banyaknya bilangan kuadrat sempurna yang habis membagi $$1! \cdotp 2! \cdotp 3! \cdotp \dots  \cdotp 8! \cdotp 9!.$$
  12. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$  memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Diketahui bahwa $a,b,c,d$ merupakan bilangan asli. Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$.
  13. Fungsi $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ memenuhi sifat bahwa $$f(x)f(y)-f(xy)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$$ untuk semua bilangan real positif $x$ dan $y$. Hasil jumlah semua nilai yang mungkin untuk $f(10)$ dapat ditulis dalam bentuk $m/n$, dengan $m,n$ merupakan bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah nilai dari $m+n$.
  14. Pada segitiga $ABC$, diketahui $\angle ABC=45^{\circ}$. Titik $D$ terletak pada sisi $BC$ sedemikian sehingga $CD=2BD$ dan $\angle DAB=15^{\circ}$. Carilah besar sudut $\angle ACB$ dalam derajat.
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

no.2 jawabanya 8 orang laki2.perempuanNya 12 total 20 orang.pncariaan pake pemIsalan x = lakI2 dan y = perEmpuan.x/(x+y) ×100%=40% maka 5x /(x+y)=2 didpt 3x=2y. Maka x=2/3y dari kalimat keDua.x-2/(x+y) × 100= 30% maka 10x -20=3x +3y maka 7x-3y=20 tinggal substitusi DidApat y=12 dan x=8

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, tyas nurlail said:

No.4 jawabanya 7  .dan nmr 11.27

Lho.. kok nomor 4 jawabannya  7.. 
bukannya bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang berbentuk $4 + 7k$ jadi hasilnya 143 
$k = 1, 2, 3, ...$

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 3 berarti luas persekutuannya bentuknya trapesium ya (soalnya kalau cuman segitiga luasnya ntar maksimal cuman 50).

 

No 5 iya, idenya aku rasa sih bagi aja segi-$n$ nya jadi $n$ buah segitiga.

Share this post


Link to post
Share on other sites

1). a+b+c+d+e = 30 

      Misalkan a = n;  b = n+1;  c = n+2;  d = n+3;  e = n+4  sehingga menjadi a+b+c+d+e = 30 <=> n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = 30 <=> 5n + 10 = 30 <=> n = 4.

Dengan demikian, a = 4 ; b = 5; c = 6; d = 7; dan e = 8.  

a = 4.

Edited by Cahyono S W
salah ketik.

Share this post


Link to post
Share on other sites

13). f(x)f(y) - f(xy) = (x/y) + (y/x)

        x,y  tidak boleh nol.

        Misalkan: x = 1; y = 1; substitusikan pada fungsi menjadi  f(1)f(1) - f(1) = 2  <=> (f(1))^2 - f(1) - 2 = 0  <=>  (f(1) - 2) (f(1) + 1) = 0;  

 f(1) = 2  atau   f(1) = -1.

*   Jika   x = 1  maka f(1) = 2  <=> f(1)f(y) - f(1.y) = (1/y) + (y/1)  <=>  2f(y) - f(y) = (1/y) + y  <=>  f(y) = (1/y) + y.

 

** Jika x = 1  maka f(1) = -1  <=> f(1)f(y) - f(1.y) = (1/y) + (y/1)  <=>  -f(y) - f(y) = (1/y) + y  <=> -2f(y) = (1/y) + y  <=>       f(y) = -(1/2)*((y^(2)+1)/y).

 

f(10) untuk  f(y) = (1/y) + y  <=>  f(10) = (1/10) + 10  = 101/10  ... (i)

f(10) untuk  f(y) = -(1/2)*((y^(2)+1)/y)  <=>  f(10) = -(101/20)  ...(ii)

Jika dijumlahkan maka nilai-nilai f(10) di (i) + (ii) adalah (101/10) - (101/20) = 101/20 

jika m = 101 ;  n = 20 maka jumlah m+n = 101 + 20 = 121.

 

Benar gak nih?  

Share this post


Link to post
Share on other sites

no satu
karena a + b + c + d + e merupakan barisan aritmatika, maka dapat ditulis dalam bentuk:
n - 2b + n - b + n + n + b + n + 2b = 30
5n = 30
n = 6
Jadi nilai yang pasti berapapun bedanya adalah 6

 

Edited by Anwar

Share this post


Link to post
Share on other sites
9 minutes ago, Anwar said:

no satu
karena a + b + c + d + e merupakan barisan aritmatika, maka dapat ditulis dalam bentuk:
n - 2b + n - b + n + n + b + n + 2b = 30
5n = 30
n = 6
Jadi nilai yang pasti berapapun bedanya adalah 6

 

Jika berurutan maka bedanya 1 angka. 

Ingat rumus deret aritmatika : Un =  a + (n-1)b , n  = 1,2,3,...

Jika ditulis urutannya menjadi: a , a+b, a+2b, a+3b, a+4b, ...   sehingga menjadi a, a+1, a+2, a+3, a+4, ...  

a = a ; b = a+1 ; c = a+2; d = a+3 ; e = a+4

a+b+c+d+e = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) => 5a + 10 = 30 <=> 5a = 20 <=> a = 4.

Benar gak ya?

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Cahyono S W said:

Jika berurutan maka bedanya 1 angka. 

Ingat rumus deret aritmatika : Un =  a + (n-1)b , n  = 1,2,3,...

Jika ditulis urutannya menjadi: a , a+b, a+2b, a+3b, a+4b, ...   sehingga menjadi a, a+1, a+2, a+3, a+4, ...  

a = a ; b = a+1 ; c = a+2; d = a+3 ; e = a+4

a+b+c+d+e = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) => 5a + 10 = 30 <=> 5a = 20 <=> a = 4.

Benar gak ya?

 

Yang ditulis di soalnya itu 5 suku berurutan lho,  bukan 5 bilangan bulat berurutan._. 

*jadi ya bisa aja barisannya jadi kek (2,4,6,8,10), (0,3,6,9,12), (6 - 2 sin 69, 6- sin 69, 6, 6 + sin 69, 6+ 2 sin 69) dst... 

Share this post


Link to post
Share on other sites
50 minutes ago, -_- said:

Yang ditulis di soalnya itu 5 suku berurutan lho,  bukan 5 bilangan bulat berurutan._. 

*jadi ya bisa aja barisannya jadi kek (2,4,6,8,10), (0,3,6,9,12), (6 - 2 sin 69, 6- sin 69, 6, 6 + sin 69, 6+ 2 sin 69) dst... 

50 minutes ago, -_- said:

Yang ditulis di soalnya itu 5 suku berurutan lho,  bukan 5 bilangan bulat berurutan._. 

*jadi ya bisa aja barisannya jadi kek (2,4,6,8,10), (0,3,6,9,12), (6 - 2 sin 69, 6- sin 69, 6, 6 + sin 69, 6+ 2 sin 69) dst... 

a+2b=6 <=> a=6-2b

6-2b + 6-b + 6 + 6+b + 6+2b = 30

Ini jawabannya? 

Beda dari deret aritmatika tsb brapa saja, ttap ada angka 6 di tengahnya gtu. 

Jawabannya 6.

Bnr gak? 

Share this post


Link to post
Share on other sites
17 hours ago, Resita Sri Wahyuni said:

Saya dapatnya 286, karena bilangannya berbentuk 7k+3 dan 7k-3.

Pakai modulo juga bisa, nanti dapat polanya. Hasilnya 286

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 8 

 

Perhatikan basis 16, maka 2015 = -1 mod 16

 

$2015^2015$ kan ganjil , maka 2015^2015^2015 = -1 mod 16 = 15 mod 16 = 33( basis 4)

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×