KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade.org November 2015: Bagian A

Recommended Posts

  1. Misalkan $a, b, c, d, e$ adalah lima suku berturutan dari sebuah barisan aritmetika dan $a+b+c+d+e = 30$. Ada tepat satu variabel dari $a, b, c, d, e$ yang nilainya bisa ditentukan hanya dengan informasi ini. Tentukanlah nilai tersebut.
  2. Suatu grup paduan suara terdiri dari beberapa anak laki-laki dan perempuan mengamen untuk menggalang dana untuk mendanai kegiatan konser mereka. Pada mulanya, 40% grup ini adalah anak laki-laki. Namun, setelah dua anak laki-laki keluar dari grup dan dua anak perempuan masuk ke grup, anak laki-laki menjadi 30% grup. Tentukan banyak anak laki-laki pada mulanya.
  3. Diberikan sebuah persegi $ABCD$ dengan panjang sisi 10. Diberikan segitiga sama kaki $ABK$ dengan alas $AK = BK$ sehingga luas daerah bersama segitiga $ABK$ dan persegi $ABCD$ ini adalah 80. Tentukan jarak titik $K$ ke sisi $AB$.
  4. Tentukan banyaknya bilangan asli $n \in \{1, 2, 3, \dotsc, 1000\}$ ynag memenuhi 7 habis membagi $n^2 + 5$.
  5. Panjang sisi sebuah segi-$n$ beraturan adalah $1$ dan rasio nilai keliling dan luasnya adalah $\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Tentukanlah nilai $n$.
  6. Pada sebuah kotak terdapat $2$ apel, $3$ mangga, $3$ jambu, dan $4$ melon. Dari kotak tersebut akan dipilih $4$ buah secara acak. Peluang bahwa di antara buah-buah yang terpilih terdapat dua buah yang sama jenis dapat ditulis dalam bentuk $m/n$, dengan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah nilai dari $m+n$.
  7. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan real $(a,b,c)$ yang memenuhi $$a^4+b^4+c^4+1=4abc.$$
  8. Tentukan dua digit terakhir dari penulisan basis 4 untuk bilangan $2015^{2015^{2015}}$.
  9. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ sehingga suku banyak (polinomial) $1+x+x^2+\dots+x^n$ habis membagi polinomial $x^{1000}-1$.
  10. Misalkan $ABCD$ adalah sebuah segiempat konveks sehingga $\angle ABD=40^{\circ}$, $\angle DBC$$=70^{\circ}$, $\angle BDA=80^{\circ}$, dan $\angle BDC=50^{\circ}$. Tentukan besar $\angle CAD$ dalam derajat.
  11. Tentukan banyaknya bilangan kuadrat sempurna yang habis membagi $$1! \cdotp 2! \cdotp 3! \cdotp \dots  \cdotp 8! \cdotp 9!.$$
  12. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$  memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Diketahui bahwa $a,b,c,d$ merupakan bilangan asli. Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$.
  13. Fungsi $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ memenuhi sifat bahwa $$f(x)f(y)-f(xy)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$$ untuk semua bilangan real positif $x$ dan $y$. Hasil jumlah semua nilai yang mungkin untuk $f(10)$ dapat ditulis dalam bentuk $m/n$, dengan $m,n$ merupakan bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah nilai dari $m+n$.
  14. Pada segitiga $ABC$, diketahui $\angle ABC=45^{\circ}$. Titik $D$ terletak pada sisi $BC$ sedemikian sehingga $CD=2BD$ dan $\angle DAB=15^{\circ}$. Carilah besar sudut $\angle ACB$ dalam derajat.
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

no.2 jawabanya 8 orang laki2.perempuanNya 12 total 20 orang.pncariaan pake pemIsalan x = lakI2 dan y = perEmpuan.x/(x+y) ×100%=40% maka 5x /(x+y)=2 didpt 3x=2y. Maka x=2/3y dari kalimat keDua.x-2/(x+y) × 100= 30% maka 10x -20=3x +3y maka 7x-3y=20 tinggal substitusi DidApat y=12 dan x=8

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, tyas nurlail said:

No.4 jawabanya 7  .dan nmr 11.27

Lho.. kok nomor 4 jawabannya  7.. 
bukannya bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang berbentuk $4 + 7k$ jadi hasilnya 143 
$k = 1, 2, 3, ...$

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 3 berarti luas persekutuannya bentuknya trapesium ya (soalnya kalau cuman segitiga luasnya ntar maksimal cuman 50).

 

No 5 iya, idenya aku rasa sih bagi aja segi-$n$ nya jadi $n$ buah segitiga.

Share this post


Link to post
Share on other sites

1). a+b+c+d+e = 30 

      Misalkan a = n;  b = n+1;  c = n+2;  d = n+3;  e = n+4  sehingga menjadi a+b+c+d+e = 30 <=> n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = 30 <=> 5n + 10 = 30 <=> n = 4.

Dengan demikian, a = 4 ; b = 5; c = 6; d = 7; dan e = 8.  

a = 4.

Edited by Cahyono S W
salah ketik.

Share this post


Link to post
Share on other sites

13). f(x)f(y) - f(xy) = (x/y) + (y/x)

        x,y  tidak boleh nol.

        Misalkan: x = 1; y = 1; substitusikan pada fungsi menjadi  f(1)f(1) - f(1) = 2  <=> (f(1))^2 - f(1) - 2 = 0  <=>  (f(1) - 2) (f(1) + 1) = 0;  

 f(1) = 2  atau   f(1) = -1.

*   Jika   x = 1  maka f(1) = 2  <=> f(1)f(y) - f(1.y) = (1/y) + (y/1)  <=>  2f(y) - f(y) = (1/y) + y  <=>  f(y) = (1/y) + y.

 

** Jika x = 1  maka f(1) = -1  <=> f(1)f(y) - f(1.y) = (1/y) + (y/1)  <=>  -f(y) - f(y) = (1/y) + y  <=> -2f(y) = (1/y) + y  <=>       f(y) = -(1/2)*((y^(2)+1)/y).

 

f(10) untuk  f(y) = (1/y) + y  <=>  f(10) = (1/10) + 10  = 101/10  ... (i)

f(10) untuk  f(y) = -(1/2)*((y^(2)+1)/y)  <=>  f(10) = -(101/20)  ...(ii)

Jika dijumlahkan maka nilai-nilai f(10) di (i) + (ii) adalah (101/10) - (101/20) = 101/20 

jika m = 101 ;  n = 20 maka jumlah m+n = 101 + 20 = 121.

 

Benar gak nih?  

Share this post


Link to post
Share on other sites

no satu
karena a + b + c + d + e merupakan barisan aritmatika, maka dapat ditulis dalam bentuk:
n - 2b + n - b + n + n + b + n + 2b = 30
5n = 30
n = 6
Jadi nilai yang pasti berapapun bedanya adalah 6

 

Edited by Anwar

Share this post


Link to post
Share on other sites
9 minutes ago, Anwar said:

no satu
karena a + b + c + d + e merupakan barisan aritmatika, maka dapat ditulis dalam bentuk:
n - 2b + n - b + n + n + b + n + 2b = 30
5n = 30
n = 6
Jadi nilai yang pasti berapapun bedanya adalah 6

 

Jika berurutan maka bedanya 1 angka. 

Ingat rumus deret aritmatika : Un =  a + (n-1)b , n  = 1,2,3,...

Jika ditulis urutannya menjadi: a , a+b, a+2b, a+3b, a+4b, ...   sehingga menjadi a, a+1, a+2, a+3, a+4, ...  

a = a ; b = a+1 ; c = a+2; d = a+3 ; e = a+4

a+b+c+d+e = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) => 5a + 10 = 30 <=> 5a = 20 <=> a = 4.

Benar gak ya?

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Cahyono S W said:

Jika berurutan maka bedanya 1 angka. 

Ingat rumus deret aritmatika : Un =  a + (n-1)b , n  = 1,2,3,...

Jika ditulis urutannya menjadi: a , a+b, a+2b, a+3b, a+4b, ...   sehingga menjadi a, a+1, a+2, a+3, a+4, ...  

a = a ; b = a+1 ; c = a+2; d = a+3 ; e = a+4

a+b+c+d+e = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) => 5a + 10 = 30 <=> 5a = 20 <=> a = 4.

Benar gak ya?

 

Yang ditulis di soalnya itu 5 suku berurutan lho,  bukan 5 bilangan bulat berurutan._. 

*jadi ya bisa aja barisannya jadi kek (2,4,6,8,10), (0,3,6,9,12), (6 - 2 sin 69, 6- sin 69, 6, 6 + sin 69, 6+ 2 sin 69) dst... 

Share this post


Link to post
Share on other sites
50 minutes ago, -_- said:

Yang ditulis di soalnya itu 5 suku berurutan lho,  bukan 5 bilangan bulat berurutan._. 

*jadi ya bisa aja barisannya jadi kek (2,4,6,8,10), (0,3,6,9,12), (6 - 2 sin 69, 6- sin 69, 6, 6 + sin 69, 6+ 2 sin 69) dst... 

50 minutes ago, -_- said:

Yang ditulis di soalnya itu 5 suku berurutan lho,  bukan 5 bilangan bulat berurutan._. 

*jadi ya bisa aja barisannya jadi kek (2,4,6,8,10), (0,3,6,9,12), (6 - 2 sin 69, 6- sin 69, 6, 6 + sin 69, 6+ 2 sin 69) dst... 

a+2b=6 <=> a=6-2b

6-2b + 6-b + 6 + 6+b + 6+2b = 30

Ini jawabannya? 

Beda dari deret aritmatika tsb brapa saja, ttap ada angka 6 di tengahnya gtu. 

Jawabannya 6.

Bnr gak? 

Share this post


Link to post
Share on other sites
17 hours ago, Resita Sri Wahyuni said:

Saya dapatnya 286, karena bilangannya berbentuk 7k+3 dan 7k-3.

Pakai modulo juga bisa, nanti dapat polanya. Hasilnya 286

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now