KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade.org November 2015: Bagian A

Recommended Posts

No. 1 jawabannya 6 ya. Dan juga, ga bisa sembarangan $a, b, c, d, e$ berurutan loh, bisa aja $b$ paling kecil $a$ paling besar gitu kan.

 

On 01/12/2015, 2:02:37, Cahyono S W said:

13). f(x)f(y) - f(xy) = (x/y) + (y/x)

        x,y  tidak boleh nol.

        Misalkan: x = 1; y = 1; substitusikan pada fungsi menjadi  f(1)f(1) - f(1) = 2  <=> (f(1))^2 - f(1) - 2 = 0  <=>  (f(1) - 2) (f(1) + 1) = 0;  

 f(1) = 2  atau   f(1) = -1.

*   Jika   x = 1  maka f(1) = 2  <=> f(1)f(y) - f(1.y) = (1/y) + (y/1)  <=>  2f(y) - f(y) = (1/y) + y  <=>  f(y) = (1/y) + y.

 

** Jika x = 1  maka f(1) = -1  <=> f(1)f(y) - f(1.y) = (1/y) + (y/1)  <=>  -f(y) - f(y) = (1/y) + y  <=> -2f(y) = (1/y) + y  <=>       f(y) = -(1/2)*((y^(2)+1)/y).

 

f(10) untuk  f(y) = (1/y) + y  <=>  f(10) = (1/10) + 10  = 101/10  ... (i)

f(10) untuk  f(y) = -(1/2)*((y^(2)+1)/y)  <=>  f(10) = -(101/20)  ...(ii)

Jika dijumlahkan maka nilai-nilai f(10) di (i) + (ii) adalah (101/10) - (101/20) = 101/20 

jika m = 101 ;  n = 20 maka jumlah m+n = 101 + 20 = 121.

 

Benar gak nih?

 

Kamu sudah cek kalau $f(x) = -\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$ itu memenuhi? :p

Share this post


Link to post
Share on other sites
49 minutes ago, donjar said:

No. 1 jawabannya 6 ya. Dan juga, ga bisa sembarangan a,b,c,d,e berurutan loh, bisa aja b paling kecil a paling besar gitu kan.

 

 

Kamu sudah cek kalau f(x)=12(x2+1x) itu memenuhi? :p

maaf, setelah dicek ternyata tidak memenuhi f(x)f(y) - f(xy) = (x/y) + (y/x).

* f(x) = (1/x) + x . 

  f(10) = 101/10

m = 101 ; n =10 sehingga m + n = 101 + 10 = 111.

Kalau yang ini apa masih kurang pas?

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 11. Gmana caranya ya?

Tentukan banyaknya bilangan kuadrat sempurna yang habis membagi

1!2!3!8!9!
Edited by Anwar

Share this post


Link to post
Share on other sites
19 hours ago, Rahmat Esar Salsabil said:

yg nomor 10 gimana???

segi empat konveks klo g salah perpotongan diagonalnya berbentuk siku2

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Anwar said:

No 11. Gmana caranya ya?

Tentukan banyaknya bilangan kuadrat sempurna yang habis membagi

1!2!3!8!9!

Cari faktorisasi primanya dulu. Misalkan

$N={p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}...{p_n}^{q_n}$

Banyak bilangan kuadrat sempurna yang membagi $N$ adalah

$\left ( \left \lfloor \frac{q_1}{2} \right \rfloor+1\right)\left ( \left \lfloor \frac{q_2}{2} \right \rfloor+1\right)...\left ( \left \lfloor \frac{q_n}{2} \right \rfloor+1\right)$

Edited by Pebrudal Zanu

Share this post


Link to post
Share on other sites

Coba nomor 14 deh, semoga gak salah :3
 

Spoiler

 

$\angle ADC = 15^{\circ} + 45^{\circ} = 60^{\circ}$

$\angle ACD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle CAD = 120^{\circ} - \angle CAD$

Berdasarkan aturan sinus,

$\frac{CD}{AD} = \frac{sin(\angle CAD)}{sin(\angle ACD)}$

 

$\frac{2BD}{AD} = \frac{sin(\angle CAD)}{sin(120^{\circ} - \angle CAD)}$ ...(1)

 

Selain itu,

$\frac{BD}{AD} = \frac{sin(\angle BAD)}{sin(\angle ABD)}$ ...(2)

 

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh,

$\frac{sin(\angle CAD)}{sin(120^{\circ})*cos(\angle CAD) - cos(120^{\circ})*sin(\angle CAD)} = \frac{2*sin(15^{\circ})}{sin(45^{\circ})}$

 

$\frac{2*sin(\angle CAD)}{\sqrt{3}*cos(\angle CAD) + sin(\angle CAD)} = \frac{2*((\sqrt{6}-\sqrt{2})/4)}{(\sqrt{2}/2)}$

 

$\frac{2*sin(\angle CAD)}{\sqrt{3}*cos(\angle CAD) + sin(\angle CAD)} = \sqrt{3} - 1$

 

$2*sin(\angle CAD) = 3*cos(\angle CAD) + \sqrt{3}*sin(\angle CAD) - \sqrt{3}*cos(\angle CAD) - sin(\angle CAD)$

 

$(3-\sqrt{3})*sin(\angle CAD) = (3-\sqrt{3})*cos(\angle CAD)$

 

$tan(\angle CAD) = 1$

$\angle CAD = 45^{\circ}$

Akibatnya $\angle ACB = 120^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}$

 

Dan lucunya saya malah jawab $45^{\circ}$ ._.

 

Screenshot from 2015-12-04 21:05:40.png

Edited by Ardan
Banyak salah ketiknya ._.

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Ardan said:

Request nomor 10 dengan 12 dong :3

No.10. Misalkan titik $E$ diluar bidang empat sehingga terbentuk segitiga $\Delta BEA$ dengan $\angle BEA=60^{\circ}$. Sehingga diperoleh $\angle EAB=50^{\circ}$. Kemudian titik $F$ diluar bidang empat sehingga terbentuk segitiga $\Delta DFA$ dengan $\angle DFA=60^{\circ}$. Sehingga diperoleh $\angle DAF=50^{\circ}$.

misalkan $\angle BAC=x$ dan $\angle DAC=y$. Sehingga kita peroleh 2 persamaan berkut

$\sin \angle CAE=\sin \angle CAF \Rightarrow \sin(50+x)=\sin(70+y)$ dan $x+y=60^{\circ}$. Selanjutnya Obvious diperoleh $x=40^{\circ}$ dan $y=20^{\circ}$ atau $x=50^{\circ}$ dan $y=10^{\circ}$. Tapi yang memenuhi adalah $x=10^{\circ}. Jadi, $\angle DAC=10^{\circ}$

 

 

Edited by Pebrudal Zanu

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 12/2/2015 11:42:13, donjar said:

111 sudah benar :)

 

On 12/2/2015 11:42:13, donjar said:

111 sudah benar :)

 

On 12/2/2015 11:42:13, donjar said:

111 sudah benar :)

 

On 12/2/2015 11:42:13, donjar said:

111 sudah benar :)

 

On 12/2/2015 11:42:13, donjar said:

111 sudah benar :)

Bagaiman dngan f(x) = -1

Atau x =5 dan y=2

X=2 y =5

Bukankah yg ditanyakan jumlah smua f(10) yg mungin

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

no 10

Pilih titik E pada AB sehingga ∠ ADE=60 dan ∠ EDB=20. Maka ADE segitiga sama sisi dan BCDE segi empat talibusur. Dari ∠ CED=∠CDE=70, maka CDE segitiga sama kaki. Dari S A S atau S S S, segitiga ACE kongruen segitiga ACD. Jadi ∠ DAC=30.

Edited by PeterGustav
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

 no 9 begini kali ya

Misalkan w adalah (n+1)th root of unity. Maka 1 + x + ... + x^n membagi x^(1000) -1 jika dan hanya jika n+1 membagi 1000. Jadi ada 15 bilangan asli n yang memenuhi. 

Edited by PeterGustav

Share this post


Link to post
Share on other sites
13 hours ago, Pebrudal Zanu said:

No.10. Misalkan titik E diluar bidang empat sehingga terbentuk segitiga ΔBEA dengan BEA=60 . Sehingga diperoleh EAB=50 . Kemudian titik F diluar bidang empat sehingga terbentuk segitiga ΔDFA dengan DFA=60 . Sehingga diperoleh DAF=50 .

misalkan BAC=x dan DAC=y . Sehingga kita peroleh 2 persamaan berkut

sinCAE=sinCAFsin(50+x)=sin(70+y) dan x+y=60 . Selanjutnya Obvious diperoleh x=40 dan y=20 atau x=50 dan y=10 . Tapi yang memenuhi adalah x=10.Jadi, \angle DAC=10^{\circ}$

 

Itu "

obvious " knp ya? sebenarnya persamaan yang terakhir punya tak hingga solusi, karena kalo di subs jadi kalimat yang pasti benar.

Spoiler
Quote

Obvious is the most dangerous word in mathematics. E.T.Bell

 

 

Edited by PeterGustav

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, PeterGustav said:

 no 9 begini kali ya

Misalkan w adalah (n+1)th root of unity. Maka 1 + x + ... + x^n membagi x^(1000) -1 jika dan hanya jika n+1 membagi 1000. Jadi ada 15 bilangan asli n yang memenuhi. 

Kak, bisa tolong jelasin bagian "1 + x + ... + x^n membagi x^(1000) -1 jika dan hanya jika n+1 membagi 1000", saya tidak ngeh ._.

Share this post


Link to post
Share on other sites
14 hours ago, Muh Ridha said:

 

 

 

 

Bagaiman dngan f(x) = -1

Atau x =5 dan y=2

X=2 y =5

Bukankah yg ditanyakan jumlah smua f(10) yg mungin

 

Kalau $f(x) = -1$ kan tidak memenuhi persamaannya. Kalau dimasukin kan jadinya $-1 \times -1 - (-1) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ untuk semua $x, y \in \mathbb{R}$, itu kan salah. Jadi di sini tuh kamu harus cari fungsinya dulu.

Kalau $x = 5, y = 2$ itu maksudnya apa? Kamu harus ketemu fungsinya; ini bukan masalah variabel $x$ dan $y$ :)

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, Ardan said:

Kak, bisa tolong jelasin bagian "1 + x + ... + x^n membagi x^(1000) -1 jika dan hanya jika n+1 membagi 1000", saya tidak ngeh ._.

saya juga g ngert

Share this post


Link to post
Share on other sites
On Wed Dec 02 2015 21:12:30 GMT+0800, DickJessen said:

Nomor 8 

 

Perhatikan basis 16, maka 2015 = -1 mod 16

 

20152015 kan ganjil , maka 2015^2015^2015 = -1 mod 16 = 15 mod 16 = 33( basis 4)

gmana caranya ya

15 mod 16 = 33(basis 4)

Share this post


Link to post
Share on other sites
7 hours ago, donjar said:

 

Kalau f(x)=1 kan tidak memenuhi persamaannya. Kalau dimasukin kan jadinya 1×1(1)=xy+yx untuk semua x,yR , itu kan salah. Jadi di sini tuh kamu harus cari fungsinya dulu.

Kalau x=5,y=2 itu maksudnya apa? Kamu harus ketemu fungsinya; ini bukan masalah variabel x dan y :)

maksud saya kan misal x =2 y= 5
f(2)f(5) - f(10) = 2/5 + 5/2
kan bsajuga trus yg f(2) dan f(5) dicari pake f(1) juga

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Muh Ridha said:

maksud saya kan misal x =2 y= 5
f(2)f(5) - f(10) = 2/5 + 5/2
kan bsajuga trus yg f(2) dan f(5) dicari pake f(1) juga

Bukannya hasilnya tetap f(10)=101/10 ya? f(2)=5/2 , f(5)= 26/5

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 9 itu pakai lemma: $x^a - 1$ membagi $x^b - 1$ jika dan hanya jika $a$ membagi $b$.

 

Buktinya: pertama $x^n - 1 = (x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsb + 1)(x-1)$ jadi $x-1$ membagi $x^n - 1$. Sekarang $x$ nya diganti $x^a$, brarti $x^a-1$ membagi $x^{an}-1$. Berarti $a | an \implies x^a - 1 | x^{an} - 1$.

 

Sekarang arah baliknya: $x^a - 1 | x^b - 1 \implies a | b$. Perhatikan bahwa $x^a - 1 | x^b - x^{b-a}$, brarti $x^a - 1 | (x^b - 1) - (x^b - x^{b-a}) = x^{b-a} - 1$. Dengan cara yang sama nanti $x^a - 1 | x^{b-2a} - 1, x^a - 1 | x^{b - 3a} - 1$ dan seterusnya... Ini nanti ditulis dengan induksi biar lebih rapi; nanti dapetnya $x^a - 1 | x^c - 1$ dimana $0 \le c < a$ dan $b \equiv c {\pmod {a}}$.

 

Kalau $c$ taknol kan $x^a - 1 | x^c - 1$ tidak benar karena $c < a$. Brarti $c = 0 \implies b \equiv 0 {\pmod {a}}$. Berarti $a|b$, terbukti.

Edited by donjar

Share this post


Link to post
Share on other sites
On Sat Dec 05 2015 14:17:05 GMT+0800, PeterGustav said:

Itu "

obvious " knp ya? sebenarnya persamaan yang terakhir punya tak hingga solusi, karena kalo di subs jadi kalimat yang pasti benar.

  Reveal hidden contents

 

kyaknya bukan 10, karena saya jawab 10 tpi g dapat poin.

 

On Tue Dec 01 2015 14:37:06 GMT+0800, Jonathan CN said:

Mohon dikoreksi jika ada yang salah

  1. 6
  2. 8
  3. 25
  4. 286
  5. 6
  6. 102
  7. 4
  8. -
  9. 4
  10. 10
  11. 672
  12. 16
  13. 111
  14. 75

nomor 9 benaran 4 ya. kok saya g dapat poin

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 7

Dapat triple (a, b, c) nya yaitu (1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) dan (1,-1,-1). Mungkin ada yang bisa bantu caranya? 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now