KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade.org Desember 2015: Bagian A

Recommended Posts

  1. Suatu bilangan asli dua digit bernilai $9/2$ kali lebih besar jika dibaca dari kanan ke kiri. Tentukan bilangan asli dua digit ini.
  2. Diberikan persegi $ABCD$ dengan panjang sisi $100$. Titik $E$ terletak pada sisi $BC$ sehingga luas segitiga $ABE$ adalah adalah $1/4$ dari luas trapesium $ADCE$. Tentukan panjang $BE$.
  3. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(a,b,c)$ sehingga $$abc+ab+ac=24.$$
  4. Suatu palindrom adalah sebuah bilangan yang sama jika dibaca dari kiri maupun dari kanan, misalnya $202$ adalah palindrom. Misalkan $N$ adalah sebuah bilangan asli tiga digit palindrom sehingga $N+32$ merupakan bilangan empat digit palindrom. Tuliskan nilai $N$ ini.
  5. Pada sebuah papan catur berukuran $5 \times 5$ akan diletakkan $3$ buah benteng secara acak pada $3$ kotak berbeda. Diketahui bahwa tidak ada dua benteng yang menempati satu kotak yang sama. Peluang bahwa setiap benteng berada di kolom dan baris yang berbeda-beda dapat ditulis dalam bentuk $m/n$ di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang berbeda-beda. Hitung $m+n$.
  6. Diberikan sebuah segiempat konveks $ABCD$ dengan $AB=3$, $BC=4$, $CD=13$, $AD=12$, dan $\angle ABC=90^{\circ}$. Berapakah luas segiempat $ABCD$ ini?
  7. Tentukan banyaknya bilangan bulat $n$ sehingga $n^3+8$ memiliki tidak lebih dari $3$ buah pembagi positif.
  8. Misalkan $f$ adalah fungsi dengan $f(2x-1)=x^4+x^3+x^2+x+1$ untuk setiap bilangan real $x$. Diketahui bahwa berlaku $f(x-2)=ax^2+bx+c$ untuk suatu bilangan real $a,b,c$. Tentukan nilai $a+b+c$.
  9. Titik $E$ terletak di luar persegi $ABCD$. Jika jarak dari $E$ ke $AC$ adalah $6$, ke $BD$ adalah $17$, dan ke titik sudut $ABCD$ terdekat adalah $10$, berapakah luas persegi $ABCD$?
  10. Misalkan $P(x)$ merupakan polinomial kubik sehingga $P(0)=10$, $P(1)=20$ dan $P(2)=30$. Hitung $P(2)+P(-2)$.
  11. Misalkan $S=\{1,2,3,4,5\}$. Tentukanlah $$\sum_{X \subseteq S} \sum_{Y \subseteq S} |X \cap Y|,$$ yaitu hasil jumlah semua kardinalitas dari irisan setiap pasang subhimpunan dari $S$.
  12. Pada segitiga $ABC$, diketahui $AB=86$ dan $AC=97$. Sebuah lingkaran dengan pusat  $A$ dan radius $AB$ memotong segmen garis $\overline{BC}$ di titik $B$ dan $X$. Lebih jauh, segmen garis $\overline{BX}$ dan $\overline{CX}$ memiliki panjang bilangan bulat. Tentukan panjang $BC$.
  13. Cheryl akan menaiki $12$ buah anak tangga. Setiap kali melangkah, Cheryl akan menaiki satu, dua, atau tiga anak tangga. Namun, Cheryl tidak boleh menaiki satu anak tangga dua kali berturut-turut. Tentukan banyak cara Cheryl dapat menaiki 12 buah anak tangga ini.
  14. Jika diketahui bahwa $$\frac{1}{99^2}=0.\overline{b_0b_1 \dots b_{n-1}}$$ di mana $b_0,b_1,b_2,\dots,b_{n-1}$ merupakan digit-digit $0$ hingga $9$ dan $n$ merupakan panjang terkecil untuk ekspansi desimal yang berulang. Hitung $b_0+b_1+\dots+b_{n-1}$.
Edited by Kontes Terbuka

Share this post


Link to post
Share on other sites

Kak, itu yang nomor 10 $P(x)$ bisa $x^{3}-3x^{2}+12x+10$ atau $-x^{3}+3x^{2}+8x+10$. Jadi $P(-2)$ bisa jadi $-34$ atau $14$. Tapi saya pilih $14$ sih, soalnya kan jawabannya berkisar dari $0-999$, jadinya $30+14=44$.

Edited by AlifAqsha

Share this post


Link to post
Share on other sites
Just now, AlifAqsha said:

Wah ada jawaban lain.

Maka dari itu solusinya adalah $20-24a$, $a$ bisa positif atau negatif. Kalo soalnya diganti $P(3)+P(-1)$ jawabnya unik

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 minute ago, Hopper said:

Untuk a negatif kan jawabannya positif

Maksud aku pas kita submit jawabannya di link yang dikasih, bentuknya kan harus dalam bilangan bulat 0-999. Nggak boleh ada variabel.

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 minutes ago, AlifAqsha said:

Maksud aku pas kita submit jawabannya di link yang dikasih, bentuknya kan harus dalam bilangan bulat 0-999. Nggak boleh ada variabel.

Iya, a nya bisa diganti bilangan berapapun sehingga hasilnya antara 0-999, jadi kan ada banyak jawaban, tapi hanya satu yang disubmit

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 1

Misal bilangan dua digit $10a$+$b$=$9/2$($10b$+$a$)

$10a$+$b$=$45b$+$9/2a$

$11a$=$88b$

Jadi $a$=$8$ dan $b$=$1$

Bilangan tersebut $81$

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 minutes ago, Acep Andrian said:

Nomor 1

Misal bilangan dua digit 10a +b =9/2 (10b +a )

10a +b =45b +9/2a

11a =88b

Jadi a =8 dan b =1

Bilangan tersebut 81

Bukannya 18 ya, soalnya 81 ke 18 itu semakin kecil

Share this post


Link to post
Share on other sites

Soal nomor 10 aku pake cara biasa 
kan kubik jadi berbentuk $ax^3+bx^2+cx+d$ 
dari soal bisa didapat $a=-5$ terus $b=15$ dan $c=0$ $d=10$ 
jadi nanti jawabannya soal adalah 30+110=140

Edited by Muh. Fadlan
ada yang kurang

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 3 yang kutemukan cuma 3 yang memenuhi 
$a(bc+b+c) = 24$ 
karena b dan c bilangan asli jelas kalau a merupakan faktor dari 24
nanti yang ketemu cuma  (1,4,4) , (3,2,2) dan (8,1,1) 

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Hopper said:
  Reveal hidden contents
  Reveal hidden contents

 

 

Yang no 10 itu aku nemunya P(x)=ax(x1)(x2)+10(x+1) , jadi disubstitusi P(2)+P(2) jadinya 2024a

kayaknya koefisien x^2 adalah 0

Share this post


Link to post
Share on other sites
15 minutes ago, Muh. Fadlan said:

Soal nomor 10 aku pake cara biasa 
kan kubik jadi berbentuk ax3+bx2+cx+d  
dari soal bisa didapat a=5 terus b=15 dan c=0 d=10  
jadi nanti jawabannya soal adalah 30+110=140

hasilnya sama ketika koefisien x^2 adalah 0

Share this post


Link to post
Share on other sites
23 minutes ago, Anwar said:

nomor 9 kok saya dapat melebihi 999

1250 ya? Mungkin jarak terhadap perpanjangan $AC$

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now