Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

OSIS yang Ganjil

Recommended Posts

SMA Nishinomiya memiliki sebanyak ganjil kelas, dan setiap kelas mempunyai sebanyak ganjil murid. OSIS SMA akan dibentuk dengan mengikutsertakan 1 murid dari setiap kelas. Buktikan bahwa kedua pernyataan ini ekivalen:

  • Ada lebih banyak cara membentuk OSIS dengan sebanyak ganjil anggota laki laki daripada banyak cara membentuk OSIS dengan sebanyak ganjil anggota perempuan
  • Ada sebanyak ganjil kelas yang mempunyai lebih banyak siswa daripada siswi

Share this post


Link to post
Share on other sites

Misalkan $a_i$ banyak siswa di kelas $i$, dan $b_i$ banyak siswi di kelas $i$. 

Perhatikan ekspresi

\[S:=(a_1-b_1)(a_2-b_2)\cdots(a_{2k+1}-b_{2k+1}) \]

 

Perhatikan bahwa $S \neq 0$, karena akan berakibat $a_i=b_i$ untuk suatu $i$, jadi kelas ke-$i$ mempunyai $a_i+b_i=2a_i$ murid, kontradiksi dengan "setiap kelas mempunyai ganjil orang murid".

 

  •  Apabila $S$ dijabarkan menjadi suku-suku yang berbentuk $x_1x_2\cdots x_{2k+1}$ dimana $x_i \in \{a_i, b_i\}$, maka  suku-suku yang bertanda minus  adalah ketika $b_i$ muncul sebanyak ganjil kali, contohnya  suku $b_1 b_2 b_3 a_4 a_5 \cdots a_{2k+1}$ yang mempunyai $3$ buah $b_i$. 
  • Setiap suku pada penjabaran $S$ menyatakan banyaknya cara membentuk OSIS, contoh $b_1 b_2 b_3 a_4 a_5 \cdots a_{2k+1}$ menyatakan banyaknya cara dimana perwakilan dari kelas 1 adalah siswi (ada $b_1$ cara), perwakilan dari kelas 2 adalah siswi (ada $b_2$ cara), perwakilan dari kelas 3 adalah siswi (ada $b_3$ cara), dan sisa nya perwakilan siswa ( $a_4, a_5, \cdots, a_{2k+1}$). 
  • Ini berarti penjumlahan semua suku dengan tanda minus pada $S$ adalah total semua cara membentuk OSIS dengan ganjil orang siswi, dan penjumlahan suku dengan tanda plus adalah total semua cara membentuk OSIS dengan ganil orang siswa.

 

Jadi pernyataan :

  • Ada lebih banyak cara membentuk OSIS dengan sebanyak ganjil anggota laki laki daripada banyak cara membentuk OSIS dengan sebanyak ganjil anggota perempuan.

Setara dengan $S>0$, ini berarti pada $S=(a_1-b_1)(a_2-b_2)\cdots(a_{2k+1}-b_{2k+1})$, banyak $(a_i-b_i)$ yang negatif harus ada sebanyak genap kali, sehingga banyak $(a_j-b_j)$ yang positif harus sebanyak ganjil kali, diperoleh $a_j > b_j$ sebanyak ganjil kali, yang merupakan pernyataan:

  • Ada sebanyak ganjil kelas yang mempunyai lebih banyak siswa daripada siswi

 

Sebaliknya, apabila ada sebanyak ganjil kali $j$ sedemikian sehingga $a_j>b_j$, maka $S>0$, sehingga  total suku yang plus pada ekspansi $S$ lebih besar dari total suku yang minus, dan kesimpulan mengikuti.

 

 

 

Edited by Adri
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×