Sign in to follow this  
-_-

$\sigma(x)$

Recommended Posts

Nilai minimum $\sigma(n)-n-\sqrt{n}$, dimana $n$ bilangan asli komposit, adalah...

$\sigma(n)$ adalah jumlah semua pembagi positif dari $n$. Contoh: $\sigma(69)=1+3+23+69=96$

Edited by -_-

Share this post


Link to post
Share on other sites

Kan $n$ kompisit, makanya dia punya faktor lain selain 1 dan $n$ sendiri. Karena faktornya berhingga, bisa dipilih faktor terbesarnya. Ya sebut saja $m$. apa hubungan $m$ sama $n$?

Spoiler

Bilangan $n$ bisa dinyatakan dengan $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ dengan$p_i$ prima untuk setiap $i=1,2,\dots,k$, $p_i<p_{i+1}$ untuk setiap $i=1,2,\dots,k-1$,dan berlaku $\alpha_1\ge 2$ jika $k=1$ atau $\alpha_i\ge 1$ untuk setiap $i=1,2,\dots,k$ jika $k>1$. Itu artinya $m$ didapat dari $n$ dibagi prima terkecilnya, bisa ditulis $m=p_1^{\alpha_1-1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$.

Lemma 1: $m^2\ge n$

Spoiler

Bukti: Jika $\alpha_1\ge 2$ maka $2\alpha_1-2\ge \alpha_1$ sehingga  

$m^2=p_1^{2\alpha_1-2}p_2^{2\alpha_2}\dots p_k^{2\alpha_k}\ge p_1^{\alpha_1}p_2^{2\alpha_2}\dots p_k^{2\alpha_k}\ge p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}=n$

Selanjutnya jika $\alpha_1=1$ maka $k>1$, artinya ada prima $p_2$ yang lebih dari $p_1$. Karena itulah  didapat

$m^2=p_2^{2\alpha_2}\dots p_k^{2\alpha_k}\ge p_1p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{2\alpha_k}\ge p_1p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}=n$

Dari Lemma 1 didapat $\sigma(n)-n-\sqrt{n}\ge 1+m+n-n-\sqrt{n}\ge 1$. Kapan saja kesamaan terjadi? Yaitu saat $k=1$ dan $\alpha_1=2$.

 

Edited by marabunta

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this