Sign in to follow this  
marabunta

Cari bilangan

Recommended Posts

Carilah semua bilangan bulat positif $k$ sedemikian sehingga terdapat bilangan bulat positif $m$ dan $n$ yang memenuhi persamaan $m(m+k)=n(n+1)$

Edited by marabunta

Share this post


Link to post
Share on other sites

Perhatikan m(m+k)=n(n+1) dengan n>=m

m+k=n(n+1)/m

k=n(n+1)/m - m

 

dengan gcd(n,n+1)=1

Tinjau n=genap , jelas bahwa n+1=ganjil

sehingga jika m|n , dengan n=2^a*t , a€N dan t€bil.ganjil

Maka m=2^b*u , dengan a>=b , dan t>=u , b€N dan u€bil.ganjil dan merupakan faktor dari t

sehingga kita peroleh

n(n+1)/m - m

(2^a*t)(2^a*t+1)/(2^b*u) - 2^b*u

2^(a-b)*(2^a*t+1)v - 2^b*u

sehingga k=2^(a-b)*(2^a*t+1)*v - 2^b*u dengan v adalah hasil bagi t dan u

 

sekarang untuk m|(n+1)

Kita tahu bahwa n+1=2^a*t +'1=p1^a1...px^ax , dengan p1,p2,...,px bilangan prima ganjil berbeda, dan a1,a2,...,ax>=1

karena n>=m , maka n>m

maka kita dapat menuliskan m=p1^b1...px^bx , dengan b1,b2,...,bx>=0 dan a1,a2,...,ax>=b1,b2,...,bx

sehingga 

n(n+1)/m - m

(p1^(a1-b1)*p2^(a2-b2)*...*px^(ax-bc))(p1^a1*p2^a2*...*px^ax - 1) - (p1^b1*p2^b2*...*px^bx)

sehingga k=(p1^(a1-b1)*p2^(a2-b2)*...*px^(ax-bc))(p1^a1*p2^a2*...*px^ax - 1) - (p1^b1*p2^b2*...*px^bx)

 

sehingga dari kedua kasusu tersebut kita dapat memperoleh bahwa terdapat tak hingga bilangan bulat positif k

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
9 minutes ago, steffen123 said:

Perhatikan m(m+k)=n(n+1) dengan n>=m

m+k=n(n+1)/m

k=n(n+1)/m - m

 

dengan gcd(n,n+1)=1

Tinjau n=genap , jelas bahwa n+1=ganjil

sehingga jika m|n , dengan n=2^a*t , a€N dan t€bil.ganjil

Maka m=2^b*u , dengan a>=b , dan t>=u , b€N dan u€bil.ganjil dan merupakan faktor dari t

sehingga kita peroleh

n(n+1)/m - m

(2^a*t)(2^a*t+1)/(2^b*u) - 2^b*u

2^(a-b)*(2^a*t+1)v - 2^b*u

sehingga k=2^(a-b)*(2^a*t+1)*v - 2^b*u dengan v adalah hasil bagi t dan u

 

sekarang untuk m|(n+1)

Kita tahu bahwa n+1=2^a*t +'1=p1^a1...px^ax , dengan p1,p2,...,px bilangan prima ganjil berbeda, dan a1,a2,...,ax>=1

karena n>=m , maka n>m

maka kita dapat menuliskan m=p1^b1...px^bx , dengan b1,b2,...,bx>=0 dan a1,a2,...,ax>=b1,b2,...,bx

sehingga 

n(n+1)/m - m

(p1^(a1-b1)*p2^(a2-b2)*...*px^(ax-bc))(p1^a1*p2^a2*...*px^ax - 1) - (p1^b1*p2^b2*...*px^bx)

sehingga k=(p1^(a1-b1)*p2^(a2-b2)*...*px^(ax-bc))(p1^a1*p2^a2*...*px^ax - 1) - (p1^b1*p2^b2*...*px^bx)

 

sehingga dari kedua kasusu tersebut kita dapat memperoleh bahwa terdapat tak hingga bilangan bulat positif k

 

 

$m|n(n+1)$ tidak berarti $m|n$ atau $m|n+1$, contoh, $m=6, n=8$.

Dan yang dicari bukan banyaknya solusi, tapi semua solusi.

Edited by sayakalah
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
15 minutes ago, steffen123 said:

Berarti saya kelupaan kasus m|n(n+1) ya kak ?

Bukannya gitu sih. Ini kan yang kita mau cari semua nilai $k$ yang mungkin, kalau pakai cara anda (hanya memperhatikan kasus $m|n$ atau $m|n+1$) mungkin ga dapat semua nilai $k$ yang mungkin. Yang anda tunjukan sekarang adalah ada tak-hingga banyak $k$.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Set $m=t^2-t, n=t^2-1$ jelas $k=2t$ memenuhi (ini buat $t>1$), maka untuk genap lebih besar dari 2 bisa.

set $m=\frac{t^2-t}{2}, n=\frac{t^2-t}{2}+t-1$m jelas $k=2t+1$ memenuhi, maka untuk ganjil lebih besar dari 3 bisa. 

Kalau $k=1$ jelas bisa

untuk $k=2,3$ dengan pertidaksamaan bisa dibuktikan kalau tidak ada $m,n$ bulat positif yang memenuhi 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Buat yang belum paham maksud soal, yang dicari itu semua nilai $k$ yang mungkin. Semisal kita menebak $k=1$ memenuhi, kita tinggal pilih $m$ dan $n$ yang memenuhi persamaan $m(m+1)=n(n+1)$. Pilih saja $m=n=1$. Sudah, berarti $k=1$ memenuhi. Selanjutnya tebak angka lain. Misal $k=2$, artinya kita perlu mencari solusi persamaan $m(m+2)=n(n+1)$. Bagaimana mencarinya?

 

Salah satu caranya adalah dengan mengubah dalam bentuk kuadrat sempurna

Share this post


Link to post
Share on other sites

Pernyataan ekuivalen dengan $(2m+k)^2 - (2n+1)^2 = k^2-1$ yangmana kalau diset $(2m+k) - (2n+1) = 1$ atau $2$ kayak bisa gitu deh :D

 

Saya melemah wahahahaha

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this