Jump to content
Sign in to follow this  
Adri

International Zhautykov Olympiad 2016, Hari Kedua: No 4

Recommended Posts

Tentukan semua $k>0$ sedemikian sehingga terdapat fungsi turun tegas $g: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ yang memenuhi

\[g(x) \geq k g(x+g(x))\]

untuk setiap $x$ bilangan positif.

Share this post


Link to post
Share on other sites

kayanya gini

Spoiler

kalau $k\le 1$ jelas ada, contoh $g(x)=e^{-x}$

kalau $k>1$, perhatikan kalau $g(x)$ tegas turun dan punya lower bound $0$, maka akan approach suatu nilai seakan $x$ naik.

Misal approach $m$.

berarti bisa pilih $x$ cukup besar sehingga $g(x)<m+\epsilon$ dimana $km>m+\epsilon$. Maka jelas ineq salah. Maka $k\le 1$ saja.

edit: ini belom komplit ternyata, argumen terakhir cuma bisa untuk $m>0$

 

Oke lanjutannya sepertinya gini

Spoiler

Perhatikan kalau slope dari garis yang melalui $(x,g(x))$ dan $(x+g(x),g(x+g(x)))$ lebih kecil dari $\frac{1-k}{k}$ yang jelas negatif. Jadi jelas tinggal tarik garis dengan slope itu yang melalui $(1,g(1))$, terus kaya bikin blocks (kaya riemman sum buat approximate luas bound garis itu ke x axis) terus semuanya ada di block. Terus block nya bakal ngecil dengan rate linear itu tapi lebarnya mendek terus. Jadi nanti bisa dilihat kalau setelah garis itu ada $g(x)>\epsilon$, nanti di bagian blocks" itu bakal ada yang lebih kecil dari epsilon jadi ga monoton turun. Kontradiksi

 

Edited by sayakalah
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 minutes ago, sayakalah said:

kayanya gini

  Hide contents

kalau k1k≤1 jelas ada, contoh g(x)=exg(x)=e−x

kalau k>1k>1 , perhatikan kalau g(x)g(x) tegas turun dan punya lower bound 00 , maka akan approach suatu nilai seakan xx naik.

Misal approach mm .

berarti bisa pilih xx cukup besar sehingga g(x)<m+ϵg(x)<m+ϵ dimana km>m+ϵkm>m+ϵ . Maka jelas ineq salah. Maka k1k≤1 saja.

 

 

tapi $m$ can be zero :p

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×