Jump to content
Sign in to follow this  
Adri

International Zhautykov Olympiad 2016, Hari Kedua: No 5

Recommended Posts

Sebuah segienam konveks $ABCDEF$ dimana $AB || DE$, $BC || EF$, $CD || FA$. Titik $M$, $N$, dan $K$ secara berturut-turut merupakan perpotongan dari $AE$ dan $BD$, $AC$ dan $FD$, $BF$ dan $CE$. Buktikan bahwa garis tegak lurus yang ditarik secara berturut-turut dari $M$, $N$, $K$ ke garis $AB$, $CD$, dan $EF$ konkuren.

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Misal $AF=ax, BC=cy, CD=a, EF=c$. Jika $x$ atau $y$ sama dengan $1$ maka jelas $N$ atau $K$ tidak terdefinisi.

Pakai jarak berarah. Misalkan jarak $K$ ke garis $ED$ adalah $-m$, jarak $N$ ke $ED$ adalah $-t$. Karena $\frac{DF}{DN}=\frac{x-1}{-1}$, maka jarak $F$ ke $ED$ adalah $t(x-1)$ dan dengan cara yang sama jarak $C$ ke $ED$ adalah $m(y-1)$. Kita hitung jarak $A$ ke garis parallel $ED$ melalui $F$. jelas itu $x$ kalinya jarak $C$ ke $ED$, maka jaraknya adalah $mx(y-1)$. Jarak $B$ ke garis parallel $ED$ melalui $C$ adalah $ty(x-1)$. Karena $AB\parallel ED$, maka jarak $A$ ke $ED$ sama dengan jarak $B$ ke $ED$. Maka $mx(y-1)+t(x-1)=ty(x-1)+m(y-1) \iff (x-1)(y-1)(t-m)=0$ maka $m=t$. Berarti jarak $N$ ke $ED$ sama dengan jarak $K$ ke $ED$. Maka $KN\parallel ED\parallel AB$. Maka yang ingin dibuktikan adalah tiga garis tinggi segitiga $MNK$ konkuren, yang well known benar.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Adri said:

Sebuah segienam ABCDEFABCDEF dimana AB||DEAB||DE , BC||EFBC||EF , CD||FACD||FA . Titik MM , NN , dan KK secara berturut-turut merupakan perpotongan dari AEAE dan BDBD , ACAC dan FDFD , BFBF dan CECE . Buktikan bahwa garis tegak lurus yang ditarik secara berturut-turut dari MM , NN , KK ke garis ABAB , CDCD , dan EFEF konkuren.

Segienamnya wajib konveks ??

Share this post


Link to post
Share on other sites
22 minutes ago, DickJessen said:

Segienamnya wajib konveks ??

Oh iya hrs konveks... saya agak2 lupa soalnya.. 

Share this post


Link to post
Share on other sites

sebenernya ga konveks juga tetep bener kok. Pake directed length aja :) 

 

Self intersecting juga tetep bener

Edited by sayakalah

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×