KTO Matematika

Simulasi OSK KTO Matematika Januari 2016

Recommended Posts

1. Tentukan banyaknya akar real dari polinomial $p(x)=x^5+x^4-x^3-x^2-2x-2$.
2. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(a,b)$ sehingga $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2016}$.
3. Tentukan nilai $x$ dengan $0<x<90$ yang memenuhi $\tan x^{\circ} = \frac{\sin 12^{\circ}+\sin 24^{\circ}}{\cos 12^{\circ}+\cos 24^{\circ}}.$
4. Anda dan Banda masing-masing tinggal di kamar yang berbeda dalam sebuah apar-temen dengan 10 kamar di setiap lantainya. Sistem penomoran kamar pada apartemen tersebut adalah sebagai berikut: kamar nomor 1--10 berada di lantai 1, kamar nomor 11-20 berada di lantai 2, dan seterusnya. Diketahui bahwa nomor kamar Anda sama dengan nomor lantai dari kamar Banda. Jika $n$ adalah jumlah nomor kamar Anda dan nomor kamar Banda, tentukan banyaknya nilai yang mungkin untuk $n$ dengan syarat $1\leq n \leq 1000$.
5. Misalkan $S=\{0,1,2,3,4,5\}$. Tentukan banyaknya fungsi $f:S \rightarrow S$ demikian sehingga $n+f(n)$ merupakan bilangan genap.
6. Lingkaran $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ memiliki jari-jari $6$ dan $8$, berturut-turut. Jarak kedua titik pusat lingkaran adalah $10$. Lingkaran $\Gamma_3$ menyinggung $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ di dalam, dan juga menyinggung garis yang menghubungkan pusat lingkaran $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$. Misalkan panjang jari-jari lingkaran $\Gamma_3$ dapat dinyatakan sebagai $a \sqrt{b} + c$, di mana $a, b$, dan $c$ adalah bilangan bulat, $b > 0$, dan $b$ tidak habis dibagi oleh kuadrat sempurna apa pun selain 1. Tentukan nilai dari $|a + b + c|$.
7. Sebuah bilangan asli disebut trouple bila digit pertamanya adalah 2 dan jika digit pertama tersebut (digit 2) dipindahkan ke paling belakang, bilangan yang dihasilkan bernilai 3 kali bilangan semula. Tentukan 3 digit terakhir dari bilangan trouple terkecil.
8. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $AB=7$, $BC=8$, dan $CA=9$. Titik $D$ dan $E$ terletak pada sisi $BC$ dan $CA$, berturut-turut, sehingga $AD$ dan $BE$ adalah garis bagi $\angle A$ dan $\angle B$, berturut-turut. Proyeksi titik $C$ ke garis $AD$ dan $BE$ adalah $X$ dan $Y$, berturut-turut. Hitung panjang $XY$.
9. Jika $a,b$, dan $c$ adalah akar-akar dari polinomial $f(x)=x^3-3x+1$, hitunglah nilai dari $(a+b+ab)(b+c+bc)(c+a+ca)$.
10. Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang $AB=5$, $BC=12$, dan $CA=13$. Titik-titik $B_0,B_1,B_2,\dots$ pada sisi $BC$ dan titik-titik $A_0,A_1,A_2,\dots$ pada sisi $AC$ didefinisikan dengan cara sebagai berikut: $A_0=A$, $B_0=B$. Untuk $n\geq 0$, $B_{n+1}$ adalah perpotongan garis bagi $\angle B_nA_nC$ dengan sisi $BC$  dan $A_{n+1}$ adalah perpotongan garis tegak lurus $BC$ yang melewati $B_{n+1}$ dengan sisi $AC$. Hitung nilai dari \[\left(\sum_{n=0}^{\infty} A_nB_{n+1}\right)^2.\] 
11. Misalkan $N=\underbrace{201620162016 \dots 2016}_{2016 \, \text{buah} \, 2016}$. Tentukan tiga digit terakhir dari $N^N$.    
12. Misalkan $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{7} {7 \choose k} (1+2x)^k$. Jika $a_k$ adalah koefisien $x^k$ dari $f(x)$, hitunglah nilai $a_1+a_3+a_5+a_7$.
13. Misalkan $ABCD$ adalah persegi dengan panjang sisi $6$, dan titik $E$ terletak di luar persegi sehingga $DE=EC$. Jika titik $E$ dan $A$ terletak berseberangan terhadap sisi $CD$ dan panjang jari-jari lingkaran yang melewati titik $A,B$, dan $E$ adalah $6$, tentukan kuadrat dari luas segitiga $CDE$.
14. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat nonnegatif $(a,b)$ sehingga $a+b^2$ dan $a^2+b$ keduanya merupakan bilangan kuadrat sempurna dan kondisi berikut terpenuhi: $0\leq a+b^2 \leq a^2+b \leq 2016$.
15. Diberikan sebuah papan catur berukuran $5 \times 5$. Setiap petak akan diisi dengan bilangan asli $1,2,3,\dots,25$ masing-masing satu kali sehingga untuk setiap subpapan catur berukuran $3 \times 3$, hasil jumlah bilangan di dalamnya tidak lebih dari $k$. Tentukan nilai $k$ terkecil yang mungkin.
16. Suatu bilangan asli $k$ disebut {\it luar biasa} jika dapat ditulis dalam bentuk $x^2-x+1$ untuk suatu bilangan rasional $x$. Tentukan banyaknya bilangan asli {\it luar biasa} dalam himpunan $\{1,2,\dots,999,1000\}$.
17. Diberikan 3 buah gelas. Gelas pertama memiliki kapasitas 5 liter dan berisi air 3 liter. Gelas kedua memiliki kapasitas 7 liter dan berisi air 4 liter. Gelas ketiga memilkiki kapasitas 9 liter dan berisi air 5 liter. Definisikan satu langkah penuangan sebagai berikut: memilih gelas A dan menuang isinya ke gelas B hingga salah satu kondisi ini terpenuhi: i) air di gelas A habis, atau ii) air di gelas B penuh. Berapa banyak langkah penuangan minimal yang diperlukan untuk mendapatkan dua buah gelas yang masing-masing berisi air 6 liter?
18. Diketahui sebuah fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ yang memenuhi $m+f(m+f(n+f(m))) = n + f(m)$ untuk setiap bilangan bulat $m$ dan $n$. Jika $f(6) = 6$, tentukan 3 digit terakhir dari $f(-2016)$.
19. Diberikan sebuah papan catur berukuran $100 \times 100$ dan 25 warna cat berbeda. Dua buah petak dikatakan bersebelahan jika dua buah petak tersebut berbagi sisi yang sama. Sebuah pion dalam satu langkah dapat berpindah dari satu petak ke petak lain yang bersebelahan. Didefinisikan jarak dua buah petak di papan catur tersebut sebagai banyak langkah minimal yang diperlukan bagi sebuah pion untuk berpindah dari petak yang satu ke petak yang lain. Kevin ingin mewarnai semua petak di papan catur masing-masing dengan satu warna sehingga dua buah petak berwarna sama memiliki jarak minimal $k$. Tentukan nilai $k$ terbesar yang mungkin.
20. Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip. Titik $D,E$, dan $F$ terletak pada sisi $BC,CA$, dan $AB$, berturut-turut, sedemikian sehingga $AD,BE$, dan $CF$ adalah garis tinggi segitiga $ABC$. Titik $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$. Jika $DE=4$, $DF=3$, dan $EF=5$ tentukan kuadrat dari panjang $AH$.

Edited by donjar
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

$ x^5+x^4-x^3-x^2-2x-2 = (x-1)(x^4-x^2-2) $
$ x^5+x^4-x^3-x^2-2x-2 = (x-1)(x- \sqrt[2]{2} )(x+ \sqrt[2]{2} )(x^2+1) $

karena x^2=-1 bukan bilangan real maka banyak akar realnya sebanyak 3

Edited by Muh. Fadlan
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 4
untuk setiap lantai $n$ yang memenuhi adalah 17 
yaitu mulai dari jumlah dua bilangan terkecil - dua bilangan terbesar contoh untuk lantai 1
bilangan terkecil $n=3$ dan terbesar $n=19$ 
begitu juga untuk lantai selanjutnya
bilangan n yang terbesar untuk $1\leq n \leq 100$ adalah 999(yaitu pada saat Anda dan Banda berada pada no 499 dan 500) 
sehingga ada 50 lantai yang memenuhi
sehingga jumlah $n$ yang memenuhi adalah 
$17\times 50 = 850$

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites

no 2.

banyaknya solusi dari soal diatas ekivalen dengan mencari banyaknya faktor posifi dari 2016^2,faktorisasi primanya

$2016^2=(2^5 *3^2 *7)^2=2^10 *3^4 * 7^2$ , sehingga banyaknya faktor positifnya

$(10+1)*(4+1)*(2+1)=165$

 

 

Edited by Engki Maiputra
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

3. 

dengan menggunakan identitas 

sin(a-b)+sin(a+b)=2sina*cosb .. (1)
cos(a-b)+cos(a+b)=2cosa*cosb...(2)

pers(1) : pers(2) sehingga diperoleh

tan a=(sin(a-b)+sin(a+b))/(cos(a-b)+cos(a+b))
merujuk ke soal diketahui bahwa a-b=12 dan a+b=24
sehingga diperoleh nilai a=x=18 derajat
 

 

  • Upvote 3

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 minutes ago, Engki Maiputra said:

no 2.

banyaknya solusi dari soal diatas ekivalen dengan mencari banyaknya faktor posifi dari 2016^2,faktorisasi primanya

2016^2=(2^5 *3^2 *7)^2=2^10 *3^4 * 7^2 , sehingga banyaknya faktor positifnya

(10+1)*(4+1)*(2+1)=165

 

 

bukannya tidak semua yah memenuhi a dan b nonnegatif kalau cuma dicari faktornya saja seperti itu?

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 minute ago, Muh. Fadlan said:

bukannya tidak semua yah memenuhi a dan b nonnegatif kalau cuma dicari faktornya saja seperti itu?

maksudnya?
kan a dan b nya bilangan asli bukan non negatif...

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 minutes ago, Engki Maiputra said:

maksudnya?
kan a dan b nya bilangan asli bukan non negatif...

itu kan dari pemfaktoran $(a-2016)(2016-b)= 2016^2$

jadi tidak semua nilai a dan b positif meskipun yang dicari faktor positif dari $2016^2$

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

5.18

1 hour ago, Reni Kartika said:

No 6 bagaimana kak??

gambar dulu lingkarangnya nanti tarik jari2 dari 2lingkarang yang melalui titik pusat lingkarang anggap jari2 lingkarang r jadi

10=V((6-r)^2-r^2)+V((8-r)^2-r^2) tinggal selesaikan persamaan

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, Muh. Fadlan said:

itu kan dari pemfaktoran (a2016)(2016b)=20162

jadi tidak semua nilai a dan b positif meskipun yang dicari faktor positif dari 20162

 

 

4 hours ago, Muh. Fadlan said:

itu kan dari pemfaktoran (a2016)(2016b)=20162(a−2016)(2016−b)=20162

jadi tidak semua nilai a dan b positif meskipun yang dicari faktor positif dari 2016220162

 

 

4 hours ago, Muh. Fadlan said:

itu kan dari pemfaktoran (a2016)(2016b)=20162(a−2016)(2016−b)=20162

jadi tidak semua nilai a dan b positif meskipun yang dicari faktor positif dari 2016220162

 

saya mikirnya ngga kayak gtu..

$1/a +1/b=1/2016$

Karena b>0  , maka $1/a <1/2016 $   atau $a>2016$

$1/a=1/2016 - 1/b$

$1/a=(b-2016)/2016b$

$a=2016b/(b-2016)$

Dengan sedikit memanipulasi kita peroleh

$a=2016(b-2016)/(b-2016) + 2016^2/(b-2016)$

$a=2016+2016^2/(b-2016)$

Karena $a>2016$  maka $b-2016>0$ , b bil. asli

Sehingga  nilai  yang mungkin merupakan faktor-faktor positif dari

Banyaknya faktor positif dari dari $2016^2$

 

Edited by Engki Maiputra
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Engki Maiputra said:

bagaimana ya cara nulis muncul equation kyak gtu?
ada file nya ngga kak buat blajar itu....?

 

Coba kamu main tulis-tulis rumus di sini: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Nah, kodenya seperti itu, tapi saat mengetik di sini, coba diapit ama tanda dolar ($) di awal dan di akhir rumus.

Selamat me-$\LaTeX$

Share this post


Link to post
Share on other sites

7 minutes ago, raja.oktovin said:

 

Coba kamu main tulis-tulis rumus di sini: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Nah, kodenya seperti itu, tapi saat mengetik di sini, coba diapit ama tanda dolar ($) di awal dan di akhir rumus.

Selamat me-LATEXLATEX

ok,, thanks bang...p(x)=x5+x4x3x22x2p(x)=x5+x4−x3−x2
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 12

Spoiler

8192 (192)

 

 

 

12 hours ago, KTO Matematika said:

12. Misalkan f(x)=k=07(7k)(1+2x)kf(x)=∑k=07(7k)(1+2x)k . Jika akak adalah koefisien xkxk dari f(x)f(x) , hitunglah nilai a1+a3+a5+a7

Perhatikan kalau ekspansi diatas bisa dinyatakan sebagai

 

 

k=07(7k)1^k(1+2x)kf(x)=∑k=07(7k)(1+2x)k.

 = $ (2+2x)^7 = 128(x+1)^7$

 

$a_1+a_3+a_5+a_7 = 128 ( 7C1 + 7C3 + 7C5 +7C7) = 8192 (192) $

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

pengen coba nulis pake semi latex..
no 16
 dari soal diketahu bahwa $x^2-x+1=k$ atau $x^2-x+1-k=0$ dengan $k$ bilangan asli $\leq1000$ ,dengan rumus abc nanti dapet
x_(1,2)=$1/2 +\sqrt{4k-3}/2$ karena $x$ merupakan bilangan rasional maka haruslah sqrt{4k-3} bilangan rasional,
kita induksi beberapa nilai $k anggota dari {1,2,3,...,1000}$
nanti dapet pola nilai $k$ yaitu
$1,3,7,13,...$ yang merupakan barisan aritmatika tingkat 2..
nanti dapet bentuk umumnya yaitu u_n$=n^2 - n+1$
nilai $n$ terbesar sehingga u_n anggota ${1,2,3,....,1000}$ yaitu n=32
jadi banyak bilangan $k$ agar yang memenuhi adalah $32$

 

Edited by Engki Maiputra
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now