KTO Matematika

Simulasi OSK KTO Matematika Januari 2016

Recommended Posts

No 18 caranya sih kalau ga coba-coba saya misalkan $ n + f(m) = a $
Sehingga fungsi menjadi:
$ m + f(m + f(a)) = a $
Masukkan a = 6 didapat:
$ m + f(m + 6) = 6 $
$ f(m + 6) = 6 - m $
$ f(m) = 12 - m $

Di cek ke fungsi awal ternyata memenuhi, dan memenuhi juga f(6) = 6.

Tinggal dimasukkan m = -2016

 

(Mungkin saya ada masalah dalam membuktikan awalnya bahwa setiap bilangan bulat bisa dinyatakan dalam a, sehingga seharusnya mungkin saya tidak boleh sembarangan subtitusi a = 6 tersebut, bagaimana tanggapan kalian mengenai ini?)

Edited by Leon Fone
Mencoba latex

Share this post


Link to post
Share on other sites
15 hours ago, Muh. Fadlan said:

No 4
untuk setiap lantai n yang memenuhi adalah 17 
yaitu mulai dari jumlah dua bilangan terkecil - dua bilangan terbesar contoh untuk lantai 1
bilangan terkecil n=3 dan terbesar n=19  
begitu juga untuk lantai selanjutnya
bilangan n yang terbesar untuk 1n100 adalah 999(yaitu pada saat Anda dan Banda berada pada no 499 dan 500) 
sehingga ada 50 lantai yang memenuhi
sehingga jumlah n yang memenuhi adalah 
17×50=850

$n$ terbesar itu 1000 lho, pas Anda di kamar 91 dan Banda di kamar 909..

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, Leon Fone said:

No 18 caranya sih kalau ga coba-coba saya misalkan n+f(m)=an+f(m)=a
Sehingga fungsi menjadi:
m+f(m+f(a))=am+f(m+f(a))=a
Masukkan a = 6 didapat:
m+f(m+6)=6m+f(m+6)=6
f(m+6)=6mf(m+6)=6m
f(m)=12mf(m)=12m

Di cek ke fungsi awal ternyata memenuhi, dan memenuhi juga f(6) = 6.

Tinggal dimasukkan m = -2016

 

(Mungkin saya ada masalah dalam membuktikan awalnya bahwa setiap bilangan bulat bisa dinyatakan dalam a, sehingga seharusnya mungkin saya tidak boleh sembarangan subtitusi a = 6 tersebut, bagaimana tanggapan kalian mengenai ini?)

Sebenarnya memang perlu dibuktikan eksistensi m, n bulat yang memenuhi $n+f(m) =a$,

Spoiler

Substituti aja $n=a-f(m) $ ke soal :D

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

9).

diketahui $f(x)=x^3-3x+1$ , misal $a$ , $b$ , dan $c$ akar-akar dari $f(x)$
maka menurut vieta

$a+b+c=-a_{2}/a_{3}=0$
$a*b+a*c+b*c=a_{1}/a_{3}=-3$
$a*b*c=-a_{0}/a_{3}=-1$
jelas bahwa $0$ bukan akar dari $f(x)$, sekarang

perhatikan bahwa
$a+b+a*b=a+b+c-c+abc/c=-c-1/c$
$a+c+a*c=a+b+c-b+abc/b=-b-1/b$
$b+c+b*c=a+b+c-a+abc/a=-a-1/a$
sehingga bentuk pada soal dapat diubah menjadi
$(a+b+a*b)*(a+c+a*c)*(b+c+b*c)=(-c-1/c)*(-b-1/b)*(-a-1/a)$
$(a+b+a*b)*(a+c+a*c)*(b+c+b*c)=(a+1)*(b+1)*(c+1)$

$(a+b+a*b)*(a+c+a*c)*(b+c+b*c)=abc+ab+ac+bc+1$

$(a+b+a*b)*(a+c+a*c)*(b+c+b*c)=(-1)+(-3)+1=-3$

Share this post


Link to post
Share on other sites
33 minutes ago, -_- said:

nn terbesar itu 1000 lho, pas Anda di kamar 91 dan Banda di kamar 909..

saya mikirnya sih gini..
dari soal diketahui
1.bahwa no kamar anda=no lantai kamar banda
2.kamar anda dan banda tidak sama
3.. no kamar anda +no banda=$n$ dengan $n\leq1000$ dengan $n$ bilangan asli
misal no kamar anda$=a$

no kamar banda $=b$
maka $a+b=n\in\left\{1,2,3,...,1000\right\}$
#jika $a=1$ maka $b\in\left\{2,3,...,10\right\}$ ada $9$

#jika $a=2$ maka $b\in\left\{11,12,...,20\right\}$ ada $10$

#......

# jika $a=90$ maka $b\in\left\{891,892,...,900\right\}$ ada $10$
#jika $a=91$ maka $b\in\left\{901,902,...,909\right\}$ ada $9$

total $9+10*89+9=908$
cmiiw

Share this post


Link to post
Share on other sites
25 minutes ago, Engki Maiputra said:

9).

diketahui f(x)=x33x+1f(x)=x3−3x+1 , misal aa , bb , dan cc akar-akar dari f(x)f(x)
maka menurut vieta

a+b+c=a2/a3=0a+b+c=−a2/a3=0
ab+ac+bc=a1/a3=3a∗b+a∗c+b∗c=a1/a3=−3
abc=a0/a3=1a∗b∗c=−a0/a3=−1
jelas bahwa 00 bukan akar dari f(x)f(x) , sekarang

perhatikan bahwa
a+b+ab=a+b+cc+abc/c=c1/ca+b+a∗b=a+b+c−c+abc/c=−c−1/c
a+c+ac=a+b+cb+abc/b=b1/ba+c+a∗c=a+b+c−b+abc/b=−b−1/b
b+c+bc=a+b+ca+abc/a=a1/ab+c+b∗c=a+b+c−a+abc/a=−a−1/a
sehingga bentuk pada soal dapat diubah menjadi
(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=(c1/c)(b1/b)(a1/a)(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=(−c−1/c)∗(−b−1/b)∗(−a−1/a)
(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=(a+1)∗(b+1)∗(c+1)

(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=abc+ab+ac+bc+1(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=abc+ab+ac+bc+1

(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=(1)+(3)+1=3(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=(−1)+(−3)+1=−3

Bukannya itu jadi (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, -_- said:

nn terbesar itu 1000 lho, pas Anda di kamar 91 dan Banda di kamar 909..

astaga 
aku gak bener cara baca soalnya 
kirain kamar Anda  dan Banda berada pada lantai yang sama
hft

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, Engki Maiputra said:

saya mikirnya sih gini..
dari soal diketahui
1.bahwa no kamar anda=no lantai kamar banda
2.kamar anda dan banda tidak sama
3.. no kamar anda +no banda=nn dengan n1000n≤1000 dengan nn bilangan asli
misal no kamar anda=a=a

no kamar banda =b=b
maka a+b=n{1,2,3,...,1000}a+b=n∈{1,2,3,...,1000}
#jika a=1a=1 maka b{2,3,...,10}b∈{2,3,...,10} ada 99

#jika a=2a=2 maka b{11,12,...,20}b∈{11,12,...,20} ada 1010

#......

# jika a=90a=90 maka b{891,892,...,900}b∈{891,892,...,900} ada 1010
#jika a=91a=91 maka b{901,902,...,909}b∈{901,902,...,909} ada 99

total 9+1089+9=9089+10∗89+9=908
cmiiw

 

5 hours ago, Engki Maiputra said:

saya mikirnya sih gini..
dari soal diketahui
1.bahwa no kamar anda=no lantai kamar banda
2.kamar anda dan banda tidak sama
3.. no kamar anda +no banda=nn dengan n1000n≤1000 dengan nn bilangan asli
misal no kamar anda=a=a

no kamar banda =b=b
maka a+b=n{1,2,3,...,1000}a+b=n∈{1,2,3,...,1000}
#jika a=1a=1 maka b{2,3,...,10}b∈{2,3,...,10} ada 99

#jika a=2a=2 maka b{11,12,...,20}b∈{11,12,...,20} ada 1010

#......

# jika a=90a=90 maka b{891,892,...,900}b∈{891,892,...,900} ada 1010
#jika a=91a=91 maka b{901,902,...,909}b∈{901,902,...,909} ada 99

total 9+1089+9=9089+10∗89+9=908
cmiiw

Spoiler

sama 908

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

7. Misalkan 2abcde adalah bilangan trouple, abcde2 adalah tiga kali 2abcde. 

2abcde*3 = (6)(3a)(3b)(3c)(3d)(3e) = (a)(b)(c)(d)(e)(2). 

3e = 2 <=> 3*e = 12 <=> e = 4,

3d + 1 = 4 <=> 3d = 3 <=> d = 1,

3c = d <=> 3*c = 1 <=> 3c = 21 <=> c = 7,

3b + 2 = c <=> 3b + 2 = 7 <=> 3b = 5 <=> 3b = 15 <=> b = 5,

3a + 1 = b <=> 3a + 1 = 5 <=> 3a = 4 <=> 3a = 24 <=> a = 8.

Bilangan trouplenya adalah 2abcde = 285714.

285714*3 = 857142. 

Tiga digit terakhir adalah 714.

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

10. Metode penyelesaian:

Spoiler

Gunakan stewart untuk mencari panjang $AB_1$, lalu dari $\triangle AB_1C$, $\frac{A_1B_2}{AB_1}=\frac{A_1C}{AC}=\frac{B_1C}{BC}=\frac{13}{18}$.

Setelah itu bisa dicari $\frac{A_{n+1}B_{n+2}}{A_nB_{n+1}}=\frac{13}{18}$

Maka $\frac{A_nB_{n+1}}{AB_1}=(\frac{13}{18})^n$

 

Edited by asdfM

Share this post


Link to post
Share on other sites

9. a, b, dan c adalah akar2 dri polinomial f(x) = x^3 - 3x +1.

a+b+c = 0

ab+bc+ca = -3

abc = -1

Nilai (a+b+ab)(b+c+bc)(c+a+ca) =? 

(a+b+ab)(b+c+bc)(c+a+ca) 

= (-c - 1/c)(-a - 1/a)(-b - 1/b) 

= -( (abc + 1/abc) + (ab/c + c/ab) + (bc/a + a/bc) + (ca/b + b/ca) ) 

= -( (-2)+ (((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) + (a^2 + b^2 + c^2)) / abc ) 

= 2 - 15/(-1)

= 2 + 15

= 17.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now