KTO Matematika

Simulasi OSK KTO Matematika Januari 2016

Recommended Posts

On 25/01/2016 at 3:48 PM, Jonathan CN said:

No 5 itu gimana ya ?

 

 

Kan $n + f(n)$ bilangan genap... Berarti $1+f(1), 2+f(2), \dotsc, 6+f(6)$ bilangan genap. Ini artinya: $f(1), f(3), f(5)$ ganjil dan $f(2), f(4), f(6)$ genap.

Sedangkan yang ganjil kan $1, 3, 5$ dan yang genap $2, 4, 6$. Berarti $f(1)$ ada 3 kemungkinan, $f(3)$ ada 3 kemungkinan, begitu seterusnya... Total ada $3^6 = 729$ kemungkinan. :)

On 25/01/2016 at 7:19 AM, Engki Maiputra said:

9).

diketahui f(x)=x33x+1f(x)=x3−3x+1 , misal aa , bb , dan cc akar-akar dari f(x)f(x)
maka menurut vieta

a+b+c=a2/a3=0a+b+c=−a2/a3=0
ab+ac+bc=a1/a3=3a∗b+a∗c+b∗c=a1/a3=−3
abc=a0/a3=1a∗b∗c=−a0/a3=−1
jelas bahwa 00 bukan akar dari f(x)f(x) , sekarang

perhatikan bahwa
a+b+ab=a+b+cc+abc/c=c1/ca+b+a∗b=a+b+c−c+abc/c=−c−1/c
a+c+ac=a+b+cb+abc/b=b1/ba+c+a∗c=a+b+c−b+abc/b=−b−1/b
b+c+bc=a+b+ca+abc/a=a1/ab+c+b∗c=a+b+c−a+abc/a=−a−1/a
sehingga bentuk pada soal dapat diubah menjadi
(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=(c1/c)(b1/b)(a1/a)(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=(−c−1/c)∗(−b−1/b)∗(−a−1/a)
(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=(a+1)∗(b+1)∗(c+1)

(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=abc+ab+ac+bc+1(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=abc+ab+ac+bc+1

(a+b+ab)(a+c+ac)(b+c+bc)=(1)+(3)+1=3(a+b+a∗b)∗(a+c+a∗c)∗(b+c+b∗c)=(−1)+(−3)+1=−3

 

Saran dikit ya buat $\LaTeX$:

 

Jangan pakai $2 * 3$, tapi $2 \times 3$ (2 \times 3).

Terus, pakainya bukan $2 / 3$, tapi $\frac{2}{3}$ (\frac{2}{3}).

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, FermatTheorem said:

10) 486

Bukannya 468 ya? Kan jadinya $\frac{650}{18}\times(\frac{1}{\frac{5}{18}})^2$

Share this post


Link to post
Share on other sites

Aku coba beberapa deh. :)

 

No. 11 itu, berarti kita cari $N^N$ mod 1000. Bisa dengan mencari $N^N$ mod 8 dan $N^N$ mod 125.

Nah kan 8 membagi $N$, berarti 8 juga membagi $N^N$. Sekarang tinggal mod 125.

Pakai teorema Euler: $\phi(125) = 100$, jadi $a^{100} \equiv 1 {\pmod {125}}$, untuk setiap $a$ bilangan bulat yang ga habis dibagi 5.

Nah $N = 100(\ldots ) + 16$, jadi $N^N \equiv N^{16} {\pmod {125}}$ deh. Nah itu kan juga kongruen $16^{16} {\pmod {125}}$, sama dengan $256^8 \equiv 6^8 \equiv 116 {\pmod {125}}$.

Berarti $N \equiv 116, 241, 366, 491, 616, 741, 866, 991 {\pmod {1000}}$. Yang habis dibagi 8 cuman 616, berarti jawabannya 616.

 

Kalo no. 14, bisa dibuktikan salah satu dari $a$ sama $b$ itu harus 0. Dari sini udah gampang, bisa dapet $(0, 0) (0,1) (1,0) (4,0) (9,0) (16,0) (25,0) (36,0)$.

Buktinya: misalkan $a, b > 0$. Karena $a + b^2$ kuadrat sempurna dan $a > 0$ yang artinya $a + b^2 > b^2$, mau ga mau $a + b^2 \ge (b + 1)^2 \implies a \ge 2b + 1$.

$b + a^2$ juga harus kuadrat sempura, berarti $b \ge 2a + 1$. Karena $a \ge 2b + 1$ dan $b \ge 2a + 1$, ditotalin dapetnya $a + b \ge 2a + 2b + 2$. Itu kan ga mungkin, karena $a > 0, b > 0$. (itu jadinya $a + b \le -2$)

Edited by donjar
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, Rangga Adi said:

no 5 gimana kak,, tolong di jelasin maksud soalnya, saya belom paham !! 

 

Jadi kamu ada fungsi, domainnya $S$, rangenya $S$. Artinya, fungsi ini inputnya cuman bisa bilangan di $S$, dan outputnya juga cuman bisa bilangan di $S$. Kamu harus cari ada berapa fungsi semacam itu, sehingga untuk semua bilangan $x$ di $S$, nilai $x + f(x)$ itu genap.

 

Contohnya aku punya $f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4, f(5) = 5, f(6) = 6$, itu kan kalau kamu hitung:

$1 + f(1) = 2$

$2 + f(2) = 4$

$3 + f(3) = 6$

$4 + f(4) = 8$

$5 + f(5) = 10$

$6 + f(6) = 12$

Semuanya memenuhi, berarti fungsi ini memenuhi.

 

Sekarang kalau kamu coba kayak $f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 5, f(4) = 4, f(5) = 5, f(6) = 4$ kan juga memenuhi. Tapi kalau semisal semuanya nilainya 3 ya tidak bisa :)

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
23 hours ago, donjar said:

Aku coba beberapa deh. :)

 

No. 11 itu, berarti kita cari NNNN mod 1000. Bisa dengan mencari NNNN mod 8 dan NNNN mod 125.

Nah kan 8 membagi NN , berarti 8 juga membagi NNNN . Sekarang tinggal mod 125.

Pakai teorema Euler: ϕ(125)=100ϕ(125)=100 , jadi a1001(mod125)a100≡1(mod125) , untuk setiap aa bilangan bulat yang ga habis dibagi 5.

Nah N=100()+16N=100(…)+16 , jadi NNN16(mod125)NN≡N16(mod125) deh. Nah itu kan juga kongruen 1616(mod125)1616(mod125) , sama dengan 256868116(mod125)2568≡68≡116(mod125) .

Berarti N116,241,366,491,616,741,866,991(mod1000)N≡116,241,366,491,616,741,866,991(mod1000) . Yang habis dibagi 8 cuman 616, berarti jawabannya 616.

 

Kalo no. 14, bisa dibuktikan salah satu dari aa sama bb itu harus 0. Dari sini udah gampang, bisa dapet (0,0)(0,1)(1,0)(4,0)(9,0)(16,0)(25,0)(36,0)(0,0)(0,1)(1,0)(4,0)(9,0)(16,0)(25,0)(36,0) .

Buktinya: misalkan a,b>0a,b>0 . Karena a+b2a+b2 kuadrat sempurna dan a>0a>0 yang artinya a+b2>b2a+b2>b2 , mau ga mau a+b2(b+1)2a2b+1a+b2≥(b+1)2⟹a≥2b+1 .

b+a2b+a2 juga harus kuadrat sempura, berarti b2a+1b≥2a+1 . Karena a2b+1a≥2b+1 dan b2a+1b≥2a+1 , ditotalin dapetnya a+b2a+2b+2a+b≥2a+2b+2 . Itu kan ga mungkin, karena a>0,b>0a>0,b>0 . (itu jadinya a+b2a+b≤−2 )

Motivasi buat nomor 14 nya gimana ya? Aku kepikirannya aneh-aneh soalnya `-` (kalau mau tau kaliin $(a^2 + b)(b^2 + a)$ yang juga merupakan bilangan kuadrat)

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Leon Fone said:

Motivasi buat nomor 14 nya gimana ya? Aku kepikirannya aneh-aneh soalnya `-` (kalau mau tau kaliin (a2+b)(b2+a)(a2+b)(b2+a) yang juga merupakan bilangan kuadrat)

 

Aku ngeliat gitu sih, kayak misalnya kalau $a = 10$, itu $a^2 + b$ kan jadi $100 + b$. Wah berarti $b$ nya mesti 21 tuh minimal. Tapi kalau dilihat $b^2 + a$, kalau $b$ nya minimal 21 kayaknya kok $a$ nya ga nyampe ya untuk ke bilangan kuadrat selanjutnya aja...

 

Dari situ baru deh kepikiran dibounding. Di-bounding itu maksudnya, nilai $a+b^2$ dibatasi $\ge (a+1)^2$, seperti cara aku di atas.

 

Aku awalnya nyoba angka kecil dan kepikiran mod. Trus kayaknya nggak bisa. Kalau angka kecil ga bisa, coba angka besar juga. :)

Share this post


Link to post
Share on other sites
19 hours ago, nicozhou said:

nom 7 kurang jelas soalnya itu. mohon perjelas ya pengen kerja nih 

 

 

Soalnya itu maksudnya, jadi misalnya aku punya angka 234. Kalau 2 nya dipindahin ke belakang kan jadinya 342. Nah aku maunya 342 itu 3 kali angka 234.

Jadinya sebuah angka depannya 2, kalau dipindahin ke belakang, hasilnya 3 kali bilangan semula.

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 1/25/2016 at 1:14 AM, Engki Maiputra said:

klau no 11 itu bagaimana ya kan dari soal

2016^2016 mod 1000 untuk tiga digit terakhir

maka,

16^2016 mod 1000 itu caranya bgmn lagi ya?

klau mau pke phi euler tdk bisa soalnya FPBnya tdk sama dengan 1

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 1/25/2016 at 4:14 PM, Engki Maiputra said:

2016(b2016)/(b2016)+20162/(b2016)a=2016(b−2016)/(b−2016)+20162/(b−20

2. [Next] (a-2016)(2016-b) = 2016^2

karena  \(a, b \neq\) 0 . Maka jelas a,b bil. asli yang memenuhi sebanyak 165 - 2 = 163 

 

Edited by Budi Utomo

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now