Sign in to follow this  
KTO Matematika

Simulasi OSP Matematika KTO Februari 2016 - Bagian A

Recommended Posts

1. Susan ingin menyusun $4$ bola merah, $6$ bola biru, dan $n$ bola kuning pada keliling sebuah lingkaran sehingga setiap bola yang sama warna tidak bersebelahan. Tentukan jumlah semua nilai $n$ yang menyebabkan hal ini mungkin untuk dilakukan.

 

2. Misalkan fungsi $f$ mempunyai aturan bahwa untuk setiap bilangan bulat $x$, berlaku $$ f(x)+f(x-1)=x^2 $$Jika $f(20)=2016$, tentukan 3 digit terakhir dari $f(100)$.

 

3. Tentukan jumlah semua nilai $n$ sehingga ada himpunan $n$ bilangan asli berurutan yang memiliki jumlah anggota $2016$.

 

4. Keliling dari segitiga yang memiliki tiga buah garis tinggi dengan panjang $2,3,4$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, dengan $a$ dan $c$ adalah bilangan asli yang relatif prima dan $b$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi oleh bilangan kuadrat apa pun selain 1. Hitunglah nilai dari $a+b+c$. 

 

5. Misal $f(n)$ menyatakan pembagi terbesar kedua dari $n$. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang tidak lebih dari $100000$ sehingga dapat ditemukan bilangan prima $p$ dan bilangan asli $m$ yang memenuhi $n+f(n)=p^m$

 

6. Sebelas garis horizontal dan sebelas garis vertikal dari sebuah papan catur berukuran $10\times 10$ membentuk $r$ segiempat, di mana $s$ di antaranya adalah persegi. Tentukan tiga angka terakhir dari $r+s$.

 

7. Misalkan $PQ$ adalah segmen garis dengan panjang 10. Lingkaran $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ yang masing-masing berpusat di $P$ dan $Q$ dan berjari-jari 10 berpotongan di titik $R$ dan $S$, berturut-turut. Garis $PQ$ memotong $\Gamma_1$ sekali lagi di titik $T$. Lingkaran yang berpusat di $T$ dengan jari-jari $TQ$ memotong $\Gamma_2$ sekali lagi di titik $U$ sehingga $U$ dan $S$ terletak pada sisi yang berbeda terhadap garis $PQ$. Misalkan $US$ memotong $PQ$ di titik $V$. Jika panjang $PV$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\sqrt{A}-B$, dengan $A$ dan $B$ keduanya bilangan asli, hitungah $A\times B$.

 

8. Hitunglah nilai dari $$\frac{1}{1331}\sum_{a=1}^{11}\sum_{b=1}^{11}\sum_{c=1}^{11} (abc+ab+bc+ca+a+b+c).$$

 

9. Dua puluh langkah dibutuhkan untuk berjalan dari titik $(-5,-5)$ ke titik $(5,5)$ di mana setiap langkah hanya boleh menambah absis atau ordinat sebesar $1$. Tentukan banyaknya jalan sedemikian sehingga setiap titik yang dilalui jalan tersebut terletak di luar ataupun pada persegi yang dibatasi oleh $-2 \leq x \leq 2$ dan $-2 \leq y \leq 2$.

 

10. Himpunan bilangan real $x$ sehingga \[
\frac{1}{x-2015}+\frac{1}{x-2016}+\frac{1}{x-2017}\geq1\]
 merupakan gabungan dari beberapa interval dalam bentuk $a<x\leq b$.
Jumlah dari panjang interval-interval ini adalah...

 

11. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima dan memenuhi persamaan\[
12a\left(24a+1\right)=b\left(b+1\right)\]
Tentukan nilai dari $a+b$.

 

12. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan $AB=9$, $BC=20$, dan $CA=16$. Titik $D$ terletak pada segmen $BC$ sehingga $DB=DA$. Garis bagi luar $\angle BAC$ memotong perpanjangan $BC$ di titik $E$. Misalkan $F$ adalah titik tengah $DE$. Jika panjang $FA$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli yang relatif prima, hitung nilai dari $p+q$.

 

13. Misalkan $a,b$, dan $c$ adalah akar-akar real dari persamaan kubik $x^3-3x+1=0$, di mana $a>b>c$. Tentukan nilai dari $$T=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$$.

 

14. Misalkan $H$ adalah himpunan yang berisi semua faktor positif dari $2016^{2016}$, dan $R$ adalah banyaknya tripel $(a, b, c)$ yang memenuhi $a|b$ dan $b|c$, dengan $a, b, c \in H$. Tentukan tiga angka terakhir dari $R$.

 

15. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan $BC=9$ dan $AB=7$. Titik $D$ terletak pada $BC$ dan $E$ pada $AC$ sehingga $AD$ adalah garis berat dan $BE$ adalah garis bagi dalam $\angle ABC$. Jika $EA=ED$ dan keliling segitiga $ABC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $p+\sqrt{q}$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli, tentukan nilai dari $p+q$.


16. Tentukan sisa pembagian $1^1+3^3+5^5+7^7+..+1023^{1023}$ oleh $1024$.

 

17. Misalkan $|X|$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X$, dan $S= \{1, 2, 3, ..., 10 \}$. Cari banyaknya pasangan himpunan $(A, B)$ yang memenuhi $$A \cup B = S, A \cap B = \emptyset, (|A|+|B|) \in A, (|A|-|B|) \in B.$$

 

18. Perumahan Ampera memiliki $n<1000$ rumah yang disusun secara berjajar dan dinomori secara berurutan dengan nomor $1,2,3,\ldots, n$. Kantor kelurahan setempat berencana meletakkan patok pembatas di antara dua rumah di perumahan tersebut, sebut saja rumah bernomor $m$ dan $m+1$, sehingga rumah bernomor $1$ sampai $m$ termasuk dalam wilayah RT 1, dan rumah bernomor $m+1$ sampai $n$ termasuk dalam wilayah RT 2. Ternyata, jumlah semua nomor rumah di RT 1 sama dengan jumlah semua nomor rumah di RT 2. Tentukan nilai terbesar yang mungkin untuk $n$.

 

19. Diketahui bahwa 8 buah bilangan real $a_1\ge a_2 \ge a_3\ge a_4 \ge a_5 \ge a_6 \ge a_7 \ge a_8 > 0$ memiliki jumlah 2012. Selain itu, diketahui pula bahwa rataan geometrik dari kedelapan bilangan tersebut adalah 247. Misalkan $S$ adalah nilai maksimum dari $\sqrt{a_1}-\sqrt{a_8}$ dari semua $8-tuple$ yang memenuhi syarat di atas, dan misalkan pula $U$ dan $V$ adalah nilai dari $a_1$ dan $a_8$ saat nilai maksimum tersebut tercapai. Tentukan nilai dari $S+U+V$.

 

20. Empat buah titik berbeda $A,B,C$, dan $D$ terletak pada sebuah garis lurus dalam urutan tersebut sehingga lingkaran yang berpusat di $A$ dengan jari-jari $AC$ dan lingkaran yang berpusat di $D$ dengan jari-jari $DB$ bepotongan di dua buah titik. Misalkan $E$ adalah salah satu dari kedua titik perpotongan tersebut. Selanjutnya, misalkan $F$ adalah titik potong lingkaran luar segitiga $ABE$ dan lingkaran luar segitiga $DCE$ yang tidak sama dengan $E$. Diketahui $BC=6$ dan $\angle AEB=150^\circ$. Jika panjang $EF$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, hitunglah nilai dari $a+b$.

Edited by KTO Matematika

Share this post


Link to post
Share on other sites

Hint aja deh buat nomor 13 kalo caraku sih:

Spoiler

Coba misalin lagi $S = \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$ , terus coba-coba observasi deh

Males ngetik solusinya disini

Edited by Leon Fone

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Leon Fone said:

Hint aja deh buat nomor 13 kalo caraku sih:

  Hide contents

Coba misalin lagi S=ba+cb+acS=ba+cb+ac , terus coba-coba observasi deh

 

Bukannya S=-(b/a+c/b+a/c+3) ?

btw, latex itu gimana ya ?

 

 

 

Edited by Jonathan CN

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Jonathan CN said:

Bukannya S=-(b/a+c/b+a/c+3) ?

btw, latex itu gimana ya ?

 

 

 

Kalo pemisalan terserah sih, saya pakainya pemisalan yang seperti itu juga dapet kok. Gatau kalo pake pemisalan disana

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, Leon Fone said:

Kalo pemisalan terserah sih, saya pakainya pemisalan yang seperti itu juga dapet kok. Gatau kalo pake pemisalan disana

Sebentar, maksudnya permisalan itu apa, kan S=a/b+b/c+c/a

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
58 minutes ago, Jonathan CN said:

Sebentar, maksudnya permisalan itu apa, kan S=a/b+b/c+c/a

 

Kan itu yang diketahui soal T = a/b + b/c + c/a

 

Itu saya misalin sembarang aja supaya ada kesimetrian gitu

Share this post


Link to post
Share on other sites
19 minutes ago, Muh. Fadlan said:

Nomor 2 caranya cuma +982972+...+2212+20161002−992+982−972+...+22−12+2016

Bukannya 2016+20+21+...+100 ?

Dapet 3 dari mana ?

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
16 hours ago, Jonathan CN said:

Bukannya 2016+20+21+...+100 ?

Dapet 3 dari mana ?

 

Iya salah
malah cuma sampai 21 
100+99+98+...+21+2016 
kan dimulai dari $21^2$

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites

Beberapa hint dari beberapa soal aja.

Spoiler

1. Obvious n dari 2 - 10

2. Coba observasi nilai dari f(21) , f(22) , f(23) , ... (jangan dibongkar pangkatnya , nanti ketahuan polanya)

6. Pilih 2 garis horizontal dan pilih 2 garis vertikal buat bikin segiempat, dan hitung perseginya manual aja.

8. Gatau sih, ini menurutku sifat distributif dari perkalian yang baik.

13. Suka banget sama ini soal haha, hint sudah tersedia di atas (Tambahan : coba cari ST dan S + T nya)

18. Berkesan in a bad way , ane nyari diskriminan sampe nemu yang bentuk kuadrat sempurna LOL. (Gamau brute force begini lagi, beneran). Kalo ada yang bisa nomor 18 in a good way tolong bantu ya hehe

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this