Jump to content
-_-

Fungsi $\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$

Recommended Posts

Misalkan $\mathbb{Q}$ adalah himpunan bilangan rasional. Carilah semua fungsi $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ yang memenuhi $$f(f(x)+xf(y))=x+f(x)y$$ untuk semua $x,y$ rasional.

 

Tes 5 Nomor 3 Pelatnas Tahap 2 IMO 2016

Edited by -_-

Share this post


Link to post
Share on other sites

Salah Thread.. Mau ngepost ke yg thread sequence :/

 

daripada post saya ini ga guna.. saya ganti jadi solusi.

Spoiler

Substitusi $x=y=0$, maka diperoleh $f(f(0))=0$. Substitusi $y=0$ maka $f(f(x)+xf(0))=x$, sehingga $f$ surjective, maka ada $t$  bilangan real sedemikian sehingga $f(t)=0$. Substitusi $x=y=t$ maka diperoleh   $f(f(0)) = t$, jadi $t=0$, kita simpulkan $f(0)=0$.

 

Substitusikan $y=0$, maka diperoleh $f(f(x))=x$. Dari sini diperoleh $f(a)=f(b)$ menyebabkan $f(f(a))=f(f(b)) \Rightarrow a=b$, sehingga $f$ bijektif.

 

Misalkan $f(1)=k$, maka $f(k)=1$, dan substitusi $x=1$ dan  $y=k$, diperoleh $f(k+1)=k^2+1$. Jika di substitusi $x=y=1$ diperoleh $f(2k) = k+1$ sehingga $2k=f(f(2k)) = f(k+1) = k^2+1$, jadi $k=1$.

 

Sekarang misalkan $f(-1) = l$, maka $f(l) = -1$, substitusi $x=y=-1$ diperoleh $f(0)=-l-1$, sehingga $l=-1$, jadi $f(-1)=-1$.

 

Substitusi $x=1$ dan $y \leftarrow f(y)$ diperoleh $f(y+1)=1+f(y)$.

Substitusi $x=-1$ dan $y \leftarrow f(y)$ diperoleh $f(-y-1) = -1 - f(y)$

 

jadi diperoleh $f(y+1) = -f(-y-1)$, dan dengan substitusi $x=y+1$, itu sama saja dengan $f(x) = -f(-x)$ jadi $f$ fungsi ganjil.

 

Karena $f(0)=0$ dan $f(1)=1$ dan $f(y+1) = f(y)+1$, dengan induksi ini berarti $f(n)=n$ untuk setiap $n$ bilangan asli, dan karena $f$ ganjil maka $f(x)=x$ untuk setiap $x$ bilangan bulat.

 

 

 

 

Kemudian substitusi $x=m$ dan $y=\frac{1}{m}$ untuk $m$ bilangan bulat tak nol. Jadi $f\left(m+mf\left(\frac{1}{m} \right) \right) = m+1 = f(m+1)$ dan karena $f$ bijektif (injektif)   maka $mf\left(\frac{1}{m}\right)=1$, diperoleh $f\left(\frac{1}{m}\right) = \frac{1}{f(m)}$ untuk sebarang bilangan bulat tak-nol. 

 

 

Jadi jika $x \in \mathbb{Q}$ maka $x= \frac{p}{q}$ dimana $q \neq 0$, dan substitusikan $x=\frac{1}{q}$ dan $y=p-1$, maka diperoleh

 

 

\[f\left(\frac{1}{q} + \frac{p-1}{q} \right) = \frac{1}{q} + \frac{p-1}{q} \Rightarrow f(x)=x \]

 

 

Dapat diperiksa dengan mudah bahwa $f(x)=x$ memang memnuhi fungsi yang diberikan

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×