Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

Ketaksamaan ini tidak salah ketik

Recommended Posts

Misalkan $a,b$, dan $c$ adalah bilangan real positif sehingga $ab+bc+ca=1$. Buktikan bahwa $$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2} \leq 1 + \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

 

Tes 4 Nomor 2 Pelatnas Tahap 2 IMO 2016

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Lemma:

Untuk $\alpha, \beta, \gamma \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \pi \right]$ dimana  $\alpha  + \beta + \gamma = \pi$ maka berlaku

 

\[\sin \alpha +  \sin \beta + \sin \gamma \leq \frac{3 \sqrt{3}}{2} \]

 

Bukti :

 

Jika semua $\alpha, \beta , \gamma \in [0, \pi ]$ maka karena $\sin x$ concave di interval tersebut maka dengan ketaksamaan Jensen berlaku : 

 

\[\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma  \leq 3 \sin \left( \frac{\alpha+ \beta + \gamma}{3} \right) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}\]

 

Apabila ada beberapa dari $\alpha$, $\beta$ atau $\gamma$ yang berada di luar interval $[0, \pi]$, yakni berada pada inteval $[-\frac{\pi}{2}, 0)$ maka nilai sinus mereka akan negatif, sehingga diperoleh

\[\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma < 0 + 1 + 1 < \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

 

Kembali ke soal, misalkan $a= \text{cotan} \, x$, $b=\text{cotan} \, y$ dan $c = \text{cotan} \, z$, dimana $x,y,z \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$  Maka syarat $ab+bc+ca=1$ menjadi $x+y+z = \pi$. Sehingga diperoleh

 

\begin{align*}\frac{1}{a^2+1} + \frac{1}{b^2+1} + \frac{c}{c^2+1} &=  \sin^2 x + \sin^2 y + \sin z \cos z  \\ &= \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{1-\cos 2y}{2}+\frac{\sin 2z}{2} \end{align*}

 

Jadi ketaksamaan yang ingin dibuktikan menjadi : 

 

\[-\cos 2x - \cos 2y + \sin 2z \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}  \qquad (1)\]

 

Perhatikan bahwa dengan substitusi $\alpha  = 2x-\frac{\pi}{2}$, $\beta = 2y - \frac{\pi}{2}$ dan $\gamma = 2z$, maka diperoleh

\begin{align*} \cos 2x &=  \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2} \right) = - \sin \alpha  \\  \cos 2y &=  \cos \left(\beta + \frac{\pi}{2} \right) = - \sin \beta \end{align*}

 

Jadi ketaksamaan (1) menjadi

\[\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

 

dan karena $0 < x ,y,z < \frac{\pi}{2}$ maka $-\frac{\pi}{2}<  \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$ dan $0 < \gamma < \pi$, maka syarat dari lemma terpenuhi dan kita bisa menggunakan lemma tersebut, sehingga ketaksamaan terbukti. 

 

Tanda sama dengan terjadi apabila $a=b= \text{cotan} \, 75^{\circ}$ dan $c= \text{cotan} \, 30^{\circ}$.

 

 

 

 

 

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

hahaha ini pas dapet soalnya saya kayak "ini salah ketik ga sih?"

 

langsung nge-Wolfram. "anjir bener lah ineknya..."

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×