Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

Pemetaan matriks ke matriks

Recommended Posts

Diketahui $$M_{2\times 2}(\mathbb{Z})=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{Z}\right\}$$

Buktikan terdapat pemetaan tidak injektif $$ f: M_{2\times 2}(\mathbb{Z}) \rightarrow \left\{\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d\end{pmatrix} | a,d \in \mathbb{Z}, a|d\right\}$$ yang memenuhi kondisi untuk semua $A,B \in M_{2\times 2}(\mathbb{Z})$:

Jika untuk semua $C,D \in M_{2\times 2}(\mathbb{Z})$ yang mempunyai invers berlaku $A \neq CBD$, maka $f(A) \neq f(B)$

Hint: $A$ punya invers jika terdapat $B$ yang memenuhi $$AB= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

 

Tes 4 Nomor 4 Pelatnas Tahap 2 IMO 2016

Edited by donjar
+ \left \right

Share this post


Link to post
Share on other sites

Soal kyk gIni beberapa kali di pelatnas (tahun 2013 pernah keluar yang untuk $n \times n$) ...   kayaknya ada yang nge-fans sama Smith Normal Form di pelatnas.

 

Ide nya cukup standar sih, kerjain dulu di $\mathbb{Q}$, baru di "normalin"..  

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 3/16/2016 at 0:44 PM, Adri said:

Soal kyk gIni beberapa kali di pelatnas (tahun 2013 pernah keluar yang untuk n×nn×n ) ...   kayaknya ada yang nge-fans sama Smith Normal Form di pelatnas.

 

Ide nya cukup standar sih, kerjain dulu di QQ , baru di "normalin"..  

 

ngomong apaan sih kak bukannya udah jelas yah ini soalnya siapa

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 minutes ago, donjar said:

 

ngomong apaan sih kak bukannya udah jelas yah ini soalnya siapa

Haha orang yg sama jg pernah propose ini ke kompetisi tingkat univ yg dulu saya ikuti.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
Just now, Adri said:

Haha orang yg sama jg pernah propose ini ke kompetisi tingkat univ yg dulu saya ikuti.

 

ga dimodif atau dijoin gitu ya kak?

 

*eh orangnya suka ngelurk juga loh*

Share this post


Link to post
Share on other sites

Apakah M yaitu himpunan semua matriks 2x2 atas semua bilangan bulat ekuipoten dengan dengan himpunan semua bilangan bulat ? Klo ya, berarti dapat dibentuk pemetaan bijektif (injektif)  dari  M ke himpunan bilangan bulat.  Dapat dibentuk f pemetaan dari M ke himpunan matriks diagonal diag(1, n), dimana n menyatakan indeks (peta) A, yaitu g(A)= n, untuk A tidak sama diag(1, -1). Jadi f(A) = diag(1, g(A))untuk A tidak sama diag(1, -1), dan f(diag(1, -1)) = diag(1, g(I)) = f(I).

 

Jika ini benar, jadi nggak perlu langkah texbook Smith Normal Form

Edited by haris

Share this post


Link to post
Share on other sites
On March 18, 2016 at 9:48 AM, haris said:

Apakah M yaitu himpunan semua matriks 2x2 atas semua bilangan bulat ekuipoten dengan dengan himpunan semua bilangan bulat ? Klo ya, berarti dapat dibentuk pemetaan bijektif (injektif)  dari  M ke himpunan bilangan bulat.  Dapat dibentuk f pemetaan dari M ke himpunan matriks diagonal diag(1, n), dimana n menyatakan indeks (peta) A, yaitu g(A)= n, untuk A tidak sama diag(1, -1). Jadi f(A) = diag(1, g(A))untuk A tidak sama diag(1, -1), dan f(diag(1, -1)) = diag(1, g(I)) = f(I).

 

Jika ini benar, jadi nggak perlu langkah texbook Smith Normal Form

 

equipotent bukannya ntar jadi injektif ya? dari soalnya harusnya tidak injektif  (ini kayaknya baru di edit sama Afif) karena kontraposisi dari syarat soal adalah : 

 

Jika $f(A)=f(B)$ maka terdapat invertible matrix $C$ dan $D$ sedemikian sehingga $A=CBD$.  (jadi tidak injektif, kecuali klo dipetakannya ke class-class equivalent dari masing-masing $A$ dan $B$,  karena relasi $A \sim B \Leftrightarrow A=CBD$ itu reflektif, transitif dan symmetric, alias relasi equivalent ).

 

Klo untuk $2\times 2$ mudah aja sih sebenarnya, tinggal pake (Operasi Baris dan Operasi Kolom) ntar dapet : 

 

\[\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a (ad-bc) \end{array} \right)=   \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -c & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -b \\ 0 & a \end{array} \right)\]

 

Edit: jika $a=0$, tinggal dikalikan dengan matriks permutasi buat mindahin non-zero entry nya ke pojok kiri atas.

 

 

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×