KTO Matematika

(Re) Simulasi OSP KTO Matematika Maret 2016 - Bagian A

Recommended Posts

1. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan real sehingga untuk setiap bilangan real $a$ dan $b$, $$2a, \quad 3b-a, \quad pa+qb$$ membentuk barisan aritmetika. Tentukan nilai dari $p^2+q^2$. 

2. Misalkan $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, dan $\triangle OCD$ adalah segitiga-segitiga sama kaki dengan $\angle OAB = \angle OBC = \angle OCD = 90^\circ$. Jika luas $\triangle OCD$ adalah 2016, tentukan luas $\triangle OAB$.

3. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ yang memenuhi kedua syarat berikut secara bersamaan:  $a+b \leq 2016$ dan $(a+\frac{1}{b}) = 10(b+\frac{1}{a})$.

4.Tentukan banyaknya cara empat pasang suami-istri dapat duduk pada meja bundar dengan 10 kursi identik sedemikian sehingga setiap pasang suami-istri duduk bersebelahan.

5. Suatu bujur sangkar yang berpusat di $(0,10)$ memiliki dua titik sudut yang bertetangga (bersebelahan) pada sumbu-$x$. Jika diketahui bahwa dua titik sudut lainnya terletak pada grafik fungsi $f(x)=c-x^2$, tentukan nilai dari $c$.

6. Diketahui $\triangle ABC$ yang memiliki titik pusat lingkaran dalam $I$. Misalkan perkalian panjang $AB$ dan $AC$ adalah $48$ dan $\cos \angle BAC=\frac78$. Jika panjang $AI=\frac{4\sqrt{15}}{3}$, tentukan keliling $\triangle ABC$.

7.Tentukan bilangan asli terbesar $n<120$ yang memenuhi syarat berikut: jika sebarang bilangan $m$ dipilih dari himpunan $\{1,2,\dotsc,120\}$, peluang bahwa $m$ membagi $n$ adalah $\frac{1}{10}$.

8. Terdapat dua buah dadu berbentuk kubus, yang tentu saja mempunyai 6 buah sisi, tetapi angka-angka yang tertulis pada dadu ini mengikuti aturan:

a.  Dadu pertama mempunyai satu buah sisi dengan angka 1, satu buah sisi dengan angka 2, tiga buah sisi dengan angka $a$, dan satu buah sisi dengan angka $2a$.

b.  Dadu kedua mempunyai satu sisi dengan angka 1, tiga buah sisi dengan angka $3$, satu buah sisi dengan angka $a$, dan satu buah sisi dengan angka $2a$. Diketahui $a$ adalah bilangan asli, dan apabila kedua dadu di atas dilempar bersamaan,  peluang bahwa hasil penjumlahan dua angka pada dadu tersebut sama dengan 10 adalah $\frac{1}{4}$. Tentukan nilai dari $a$.

9. Barisan bilangan real $a_1,a_2,\dots$ memenuhi sifat \[a_{n+1}=\frac{1}{a_n}-1, \quad n=1,2,\dotsc,k-1\] dan $a_k=0$ untuk suatu bilangan asli $k$. Misalkan $a_1=\frac{m}{n}$ untuk suatu bilangan asli $m$ dan $n$ yang relatif prima. Tentukan banyaknya nilai yang mungkin bagi $m$ di himpunan $\{1,2,3,\dotsc,1000\}$.

10.  Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=5$ dan $AC=\sqrt{24}$. Titik $D$ terletak pada segmen $BC$ sedemikian sehingga $BD=\sqrt7$ dan $DC=\sqrt6$. Garis tinggi segitiga $ABC$ dari titik $B$ memotong $AD$ di titik $E$. Jika panjang $CE$ adalah $x$, tentukan nilai dari $30x^2$.

11. Misalkan $f(x)=\frac{x}{x^2+34}$, dan $a$ adalah bilangan takbulat yang memenuhi $f(a)=f(\lfloor a \rfloor)$. Jika $a$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan bulat yang relatif prima dan memenuhi $n>0$, tentukan nilai dari $m+n$.

12. Sebuah dadu standar dilempar sebanyak 4 kali. Misalkan $a$, $b$, $c$, dan $d$ berturut-turut adalah mata dadu yang muncul pada pelemparan pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Jika peluang bahwa $a+b>c+d$ bisa dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $p+q$.

13. Misalkan $p(x)$ adalah polinomial yang memenuhi \[p\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^7+\frac{1}{x^7}.\] Tentukan nilai dari $p(-1)$.

14. Misalkan $ABCD$ adalah segiempat tali busur. Diagonal $AC$ dan $BD$ berpotongan di titik $E$. Jika panjang $BD=24$, tentukan rata-rata harmonik terbesar yang mungkin untuk panjang $AE$ dan $EC$. Catatan: rata-rata harmonik dari dua bilangan taknol $a$ dan $b$ adalah $\frac{2ab}{a+b}$.

15. Untuk sebarang bilangan asli $n\ge 2$, misalkan $A_n$ adalah himpunan semua solusi persamaan \[x=\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor.\] Jika $S=\bigcup_{n\ge 2}A_n$, tentukanlah nilai dari elemen terbesar di $S$.

16. Putri memiliki 9 kotak berlabel $1,2,\dotsc,9$ yang disusun berjajar secara berurutan dari kiri ke kanan sesuai label. Pada kotak berlabel $k$, terdapat satu bola berlabel $k$. Pertama-tama, bola-bola pada kotak berlabel 1, 2, dan 3 diambil dan dimasukkan kembali secara acak ke kotak berlabel 1, 2, dan 3. Selanjutnya, bola-bola pada kotak berlabel 2, 3, dan 4 diambil dan dimasukkan kembali secara acak ke kotak berlabel 2, 3, dan 4. Proses ini berulang dan diakhiri dengan bola-bola pada kotak berlabel 7, 8, dan 9 diambil dan dimasukkan kembali secara acak ke kotak berlabel 7, 8, dan 9. Setelah proses ini berakhir, Putri menuliskan angka pada kotak-kotak tersebut secara berurutan dari kiri ke kanan, membentuk bilangan dengan sembilan digit. Tentukan banyaknya kemungkinan bilangan yang diperoleh Putri.

17. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(a,b,c)$ yang memenuhi $a,b,c \in \{1,2,3,4,5,6\}$ demikian sehingga \[\left|\log_2 \frac{a}{b}\right|+\left|\log_2\frac{b}{c}\right|+\left|\log_2\frac{c}{a}\right|\] merupakan bilangan bulat.

18. Segiempat $ABCD$ adalah segiempat talibusur dengan $AC$ sebagai diameternya. Titik $E$ terletak pada sinar $CA$ sehingga $A$ terletak di antara $E$ dan $C$, serta $\angle EBA=\angle ABD$. Misalkan $EB=6$, $EA=4$, $ED=7$. Diketahui bahwa panjang $AC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah nilai dari $a^b$.

19. Misalkan $n$ adalah bilangan asli terbesar yang memenuhi sifat $n$ habis membagi $\binom{20^{16}}{k}$ untuk setiap bilangan asli ganjil $k$ yang kurang dari $20^{16}$. Tentukanlah banyaknya faktor positif dari $n$.

20. Sebuah papan berukuran $5 \times 5$ dibagi menjadi 25 bujur sangkar. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 dituliskan pada bujur sangkar tersebut demikian sehingga setiap baris, setiap kolom, dan setiap diagonal yang mengandung lima bilangan hanya diisi oleh masing-masing dari bilangan tersebut sekali saja. Misalkan $S$ adalah jumlah bilangan pada empat kotak yang terletak di bawah kedua diagonal. Tentukan nilai terbesar dari $S$.

Edited by KTO Matematika
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
46 minutes ago, Jonathan CN said:

No 19 caranya bagaimana ?

 

karena k ganjil pasti bilangan terbesar yang membagi habis adalah $20^{16}$

 

 

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites
28 minutes ago, MrCeps said:

Buat x+1/x=1x+1/x=−1

 

Wah tapi kan kalau dijabarin jadinya $x^2 + x + 1 = 0$ tuh. Berarti $x$ nya kompleks, gimana dong :/

Share this post


Link to post
Share on other sites
16 hours ago, Muh. Fadlan said:

No 6 bagaimana sih?
saya lemah di geometri 
ada tips untuk ngerjain soal geometri?

 

 


 

Spoiler

berguna tapi tidak signifikan 

Spoiler

 

gambar yang bagus :p 

 


 

 

 

Seringkali ngerjain geometri perlu gambar yang tepat dan intuisi yang pas. Dapetinnya gimana? ya banyak2 ngerjain soal geometri. Sama lah kira2 dengan bidang yang lain.

set skill wajib : bisa ngitung sudut dan tahu kesebangunan. kemampuan menggunakan titik kuasa adalah nilai plus. sisanya: selain sering ngerjain, sering2lah baca solusi.

Beberapa brute force yang mungkin bisa dilakukan :
1. kuli sudut ( sesepuh sudut @candhakkeplekkegebuk )
2. kuli trigon ( tukangnya RDeepMath91 dan @blajaran ) 

3. analit (dewanya @BoesFX )

4. kompleks ( anak2nya @Adri pake ini biasanya ) 

5. kuli bari (ini insepsinya kk @donjar ) 
 

Share this post


Link to post
Share on other sites
Just now, donjar said:

 

Wah tapi kan kalau dijabarin jadinya x2+x+1=0x2+x+1=0 tuh. Berarti xx nya kompleks, gimana dong :/

coba cari x^7 + 1/x^7 bisa ga dibawa ke bentuk itu, hint : x^2 + 1/x^2 = -1 , x^3 + 1/x^3 = 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

P(x + 1/x) = x^7 + 1/x^7

(x + 1/x)^7 - 7*(x + 1/x)^5 + 14*(x + 1/x)^3 - 7*(x + 1/x) = x^7 + 1/x^7

 

P(x) = x^7 - 7*x^5 + 14*x^3 - 7*x

P(-1) = (-1)^7 - 7*(-1)^5 + 14*(-1)^3 - 7*(-1) = (-1) + 7 - 14 + 7 = -1. 

Share this post


Link to post
Share on other sites
21 minutes ago, P Hasibuan said:

No 15 gak ada yang jawab ya

 

No 15 itu kalau ga salah $A_2$ sama $A_3$ itu kosong, tapi $A_4$ itu ada beberapa nilai $x$ yang memenuhi (saya lupa maksimalnya brapa). Nah mulai $A_5$ dan seterusnya udah ga ada angkanya gitu deh hehe

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 hours ago, Muh Ishlahuddin said:

no.10 jawabannya berapa ?

 

Pertama, dapatkan bahwa AD garis tinggi, setelah itu kesebangunan, jadi saya dptnya 250

Share this post


Link to post
Share on other sites

no 7. 108

no 8. 7

no 12. 1871

no 16. 4374 (3 pangkat 7 kali 2) ??

no 20. bukannya 17 ya ..

 

kalo ad yang salah dikoreksi ya ..

Edited by Calvin Liusnando
nambah jawaban

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Calvin Liusnando said:

no 7. 108

no 8. 7

no 12. 1691 ?

no 16. 4374 (3 pangkat 7 kali 2) ??

no 20. bukannya 17 ya ..

 

kalo ad yang salah dikoreksi ya ..

Bukannya no 12 itu $575 +1296 = 1871$ emang gimana caranya dapat 395+1296

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now