Jump to content
Sign in to follow this  
Nath

Teorema Napoleon

Recommended Posts

Salam Olimpiade,

 

Izinkan sy bertanya mengenai pembuktian teorema Napoleon Triangle yang sangat terkenal.

 

Jika sebuah sembarang segitiga dibuat 3 segitiga sama sisi yang keluar dari sisi-sisi segitiga tersebut,

maka titik-titik tengah 3 segitiga sama sisi tersebut jika dihubungkan akan membentuk sebuah segitiga sama sisi yang baru.

 

thanks.

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Saran saya.. sebelum anda bertanya mungkin anda bisa search dulu di internet artikel mengenai bukti teorema Napoleon... sebaiknya kalo lagi googling gunakan english aja agar lebih mudah dapat artikelnya .:happy:

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, sukumbundut said:

Saran saya.. sebelum anda bertanya mungkin anda bisa search dulu di internet artikel mengenai bukti teorema Napoleon... sebaiknya kalo lagi googling gunakan english aja agar lebih mudah dapat artikelnya .:happy:

 

Boleh kok ditanyain disini. Memang forum ini ditujukan untuk berdiskusi. Apalagi kalau disini pake Bahasa Indonesia, jadi yang mungkin pernah baca bukti tapi ga paham (karena agak nggak bisa bahasa inggris), bisa jadi kalau ditanyain disini dan dijawab,  jadi paham.  

Edited by Prihandoko

Share this post


Link to post
Share on other sites

Wah kalau aku sih mikirnya analit hahaha... Barang kali yang di bawah bisa memberikan solusi geometri sintetik?

Share this post


Link to post
Share on other sites


Abaikan :

Spoiler

akhirnya bisa pegang keyboard PC

 

Nyumbang gambar deh :

napoleon2.PNG

 

Solusi saya :

Spoiler

Awas gambar mengandung Spoiler :
 

Spoiler

napoleon.PNG


Solusi :

Spoiler

Misalkan panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ adalah $a,b,$ dan $c$. Maka $AM=BM=kc$ dan $AL=CL=kb$ dan $BK=CK=ka$ untuk suatu $k$ (nilai $k$ bisa dengan mudah dihitung dengan phytagoras).

Perhatikan segitiga $MAL$ dan $PAC$. Kita sudah peroleh bahwa $MA:PA=CA:LA=1:k$. Di sisi lain kita juga punya
$$ \angle MAL = \angle MAB + \angle BAC + \angle CAL = 30^{\circ} + \angle BAC +   30^{\circ} =  60^{\circ} + \angle BAC = \angle PAC$$

Dengan demikian, segitiga $MAL$ sebangun dengan segitiga $PAC$ dengan rasio $k:1$

 

Dengan cara yang sama, segitiga $MBK$ sebangun dengan segitiga $PBC$ dengan rasio $k:1$.


Tinjau rotasi-dilatasi yang berpusat di $A$ sebesar $ -30^{\circ}$ dengan rasio dilatasi sebesar $1/k$. (Catatan : rotasi bernilai positif artinya perputaran searah dengan arah jarum jam)

Transformasi ini membawa segitiga $MAL$ menjadi segitiga $PAC$. Akibatnya $\angle (ML; \ PC) = -30^{\circ} $ dan $ML = 1/k \cdot PC$.

 

Tinjau rotasi-dilatasi yang berpusat di $B$ sebesar $ -30^{\circ}$ dengan rasio dilatasi sebesar $k$.

Transformasi ini membawa segitiga $PBC$ menjadi segitiga $MBK$. Akibatnya $\angle (PC; \ MK) = -30^{\circ} $ dan $PC = k \cdot MK$.

 

Dari kedua fakta diatas, bisa disimpulkan bahwa $$ ML = 1/k \cdot PC = 1/k \cdot k \cdot MK = MK$$ dan

$$ \angle LMK = \angle (ML; \ MK) = \angle (ML; \ PC) + \angle (PC; \ MK) = ( -30^{\circ} )+ ( -30^{\circ} ) = -60^{\circ} $$

Ini berarti $ML=ML$ dan $\angle KML = 60^{\circ}$. Dengan demikian segitiga $KML$ merupakan segitiga sama kaki dengan sudut puncak  $60^{\circ} $, atau dengan kata lain segitiga $KML$ adalah suatu segitiga samasisi.

 

 

Edited by Prihandoko
edit latex

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×