Jump to content
Sign in to follow this  
donjar

Segi-8 sama sisi

Recommended Posts

Misalkan $A_1A_2\dotso A_8$ adalah sebuah segi-8 konveks sama sisi sehingga $A_iA_{i+1}$ sejajar $A_{i+4}A_{i+5}$ untuk setiap $i$. Definisikan $B_i$ sebagai perpotongan $A_iA_{i+4}$ dan $A_{i-1}A_{i+1}$. Tunjukkan terdapat $i$ sehingga \[\frac{A_iA_{i+4}}{B_iB_{i+4}} \le \frac{3}{2}.\] ($8 | i - j$ mengimplikasikan $A_i = A_j$.)

 

Sumber:

Mexico NMO 2013 no. 6

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ini sih pertama buktikan bahwa titik tengah A_1 A_5, A_2 A_6, A_3 A_7, dan A_4 A_8, itu berhimpit. Misalin titik tersebut O. Terus coba utak-atik perbandingan luas segitiga pake trigonometri (maaf saya merasa agak malas ngetik jadi saya kodekan sudutnya dengan angka saja).

 

WLOG panjang sisi segi-8 tersebut adalah 1 satuan. Lakukan pemisalan sudut 812, 123, 234, dan 345. Pertimbangkan luas segitiga 135 berbanding luas segitiga 123 plus luas segitiga 345. Analog ke segitiga 246 berbanding luas segitiga 234 plus 345. Pake AM-GM, buktikan bahwa jumlah perbandingan luasnya paling sedikit 4, jadi salah satu perbandingan nilainya 2 (bahasa saya kacau yah hehehe). Terus WLOG 135/(123+345)>=2, buktikan kalo A_1 O A_3 / A_1 A_2 A_3 >=2 atau A_3 O A_5 / A_3 A_4 A_5 >=2. Sekali lagi bahasa saya kacau, dan ini cuma inti penyelesaian yang juga susah dimengerti hehehe, mungkin reply selanjutnya saya jelaskan. Habis itu bisa lanjut saja.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×