KTO Matematika

KTO Matematika April 2016: Bagian A

Recommended Posts

  1. Pada sebuah jajaran genjang $ABCD$, titik $E$ terletak di dalam segitiga $ABC$ sehingga luas $\triangle DEA$ dan $\triangle AEB$ berturut-turut adalah $969$ dan $696$. Tentukan luas $\triangle AEC$.
  2. Charmaine memilih secara acak satu bilangan dari himpunan $\{1,-1\}$, lalu menulis bilangan yang dipilihnya di papan tulis. Proses tersebut dilakukan 2016 kali. Jika $p$ adalah peluang di mana hasil kali ke-2016 angka di papan tulis adalah positif, tentukan nilai dari $100p$.
  3. Misal $a_n$ dan $b_n$ berturut-turut menyatakan banyaknya digit (angka penyusun) dari $4^n$ dan $25^n$. Tentukan nilai dari $a_1+a_2+\dotsb+a_{50}+b_{50}+\dotsb+b_1$.
  4. Tentukan jumlah semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $$\sqrt[3]{\frac{x-3}{2014}}+\sqrt[3]{\frac{x-2}{2015}}+\sqrt[3]{\frac{x-1}{2016}}=\sqrt[3]{\frac{x-2014}{3}}+\sqrt[3]{\frac{x-2015}{2}}+\sqrt[3]{x-2016}.$$
  5. Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ berturut-turut adalah $11$, $13$, dan $20$. Misalkan $I$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$. Luas segitiga yang ketiga titik sudutnya adalah titik berat dari $\triangle ABI$, $\triangle BCI$, dan $\triangle ACI$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $a+b$. Catatan: titik berat suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis berat segitiga tersebut. Garis berat suatu segitiga dari suatu titik sudut adalah garis yang menghubungkan titik sudut tersebut ke titik tengah sisi yang berseberangan dengan titik sudut tersebut.
  6. Pada setiap kotak pada sebuah tabel $100 \times 100$ tertulis sebuah bilangan. Pada baris paling atas, bilangan-bilangan $0, 1, \dotsc, 99$ ditulis dari kiri ke kanan. Pada baris paling kiri, bilangan-bilangan $0, 1, \dotsc, 99$ ditulis dari atas ke bawah. Apabila jumlah bilangan-bilangan pada sebuah persegi $2 \times 2$ selalu 20, tentukan nilai mutlak dari bilangan yang ditulis di kotak paling bawah kanan.
  7. Sebuah bilangan asli disebut tank apabila representasi basis 3 bilangan tersebut jika dibaca dalam basis 10 habis dibagi 7. Sebagai contoh, $21$ merupakan bilangan tank karena representasi basis 3 dari 21 adalah $(210)_3$ dan $210$ habis dibagi $7$. Tentukan banyaknya bilangan tank yang representasi basis tiganya memiliki tepat 9 digit jika dibaca dalam basis 10.
  8. Misalkan $X=3+33+333+\cdots+\underbrace{333\cdots 333}_{2016 \text{ angka } 3}$ dan $Y$ adalah jumlah digit (angka penyusun) dari $X$. Tentukanlah nilai $Y$.
  9. Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang $BC=21$. Misalkan $D$ adalah titik tengah $BC$ dan $E$ adalah titik tengah $AD$. Misalkan pula bahwa $F$ adalah perpotongan $BE$ dengan $AC$. Jika diketahui bahwa $AB$ menyinggung lingkaran luar segitiga $BFC$, hitunglah nilai dari kuadrat dari panjang $BF$.
  10. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ dengan $1\leq a,b \leq 15$ sedemikian sehingga untuk semua bilangan asli $k$, kita punyai bahwa $(ak+b)^{(ak+b)}$ bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna.
  11. Carilah jumlah semua akar real dari persamaan $$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} =2016.$$
  12. Negara Apy memiliki 5 kota. Menteri Transportasi negara tersebut berencana untuk membangun 9 jalan identik dengan ketentuan bahwa setiap jalan menghubungkan tepat 2 kota. Jika diketahui bahwa setiap pasang kota terhubung oleh 0, 1, atau 2 buah jalan, tentukan banyaknya konfigurasi pembangunan jalan yang mungkin.
  13. Dipunyai segitiga $ABC$ dengan $AB=\sqrt{52}$, $AC=\sqrt{61}$, dan $BC=9$. Misalkan $\gamma$ adalah lingkaran yang melalui $A$ dan menyinggung $BC$ di titik tengahnya. Jika $\gamma$ memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ di $A$ dan $P$, tentukan panjang segmen $AP$.
  14. Tentukan banyaknya bilangan prima tiga-angka $\overline{abc}$ yang mana ketiga digitnya (angka penyusunnya) bukan 0 (dengan kata lain, $a$, $b$, $c \neq 0$) dan persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki solusi rasional.
Edited by KTO Matematika
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 3

a_1 + a_2 + a_3 +… + a_50 = 795

b_1 + b_2 + b_3 +… + b_50 = 1805

795 + 1805 = 2600.

 

No. 8

3+33+333+… + 333..333 (3 sebanyak 2016 kali) = 370370370..369698 (370 sebanyak 670 kali). 

10*670 + 3+6+9+6+9+8 = 6700+41= 6741.

Edited by Cahyono S W
salah ketik
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Jawaban no 11.

 

x + x(x^2-1)^-0.5 = 2016 . . . . . . . Pindah ruas

x(x^2-1)^-0.5 = 2016 - x . . . . . . . . Kuadratkan semuanya

x^2(x^2-1)^-1 = ( 2016 - x )^2  . . . . Perkalian silang pada pecahan

x^2 = ( x^2 - 1 ) ( 2016 - x )^2

x^2 = ( x^2 - 1 ) ( x^2 - 4032x + 2016^2 )

x^2 = x^4 - 4032.x^3 + 2016^2 . x^2 - x^2 +4032x - 2016^2

0    = x^4 - 4032.x^3 + ( 2016^2 - 2 ) X^2 + 4032x - 2016^2

 

Karena yang ditanyakan jumlah semua akar real, maka jawabannya adalah -b/a yaitu 4032

 

Mohon koreksinya . . . . :)

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 hours ago, Erwin Fernanda said:

Jawaban no 11.

 

x + x(x^2-1)^-0.5 = 2016 . . . . . . . Pindah ruas

x(x^2-1)^-0.5 = 2016 - x . . . . . . . . Kuadratkan semuanya

x^2(x^2-1)^-1 = ( 2016 - x )^2  . . . . Perkalian silang pada pecahan

x^2 = ( x^2 - 1 ) ( 2016 - x )^2

x^2 = ( x^2 - 1 ) ( x^2 - 4032x + 2016^2 )

x^2 = x^4 - 4032.x^3 + 2016^2 . x^2 - x^2 +4032x - 2016^2

0    = x^4 - 4032.x^3 + ( 2016^2 - 2 ) X^2 + 4032x - 2016^2

 

Karena yang ditanyakan jumlah semua akar real, maka jawabannya adalah -b/a yaitu 4032

 

Mohon koreksinya . . . . :)

 

 

 

 

Halo, rumus jumlah akar yang $-b/a$ itu adalah rumus jumlah semua akar, baik yang real maupun yang complex , sedangkan disini hanya diminta jumlah akar yang real saja.

 

Contoh:  Suku banyak $3x^3+x^2+10x-8$ mempunyai tiga buah akar, tapi hanya satu yang real, ketiga akar tersebut adalah

 

\[ x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2} i  \qquad x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{2} i \qquad x_3=\frac{2}{3}   \]

 

Jumlah semua akar nya adalah  $\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2} i \right) + \left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{2} i\right) + \frac{2}{3} =-\frac{1}{3}= \frac{-b}{a}$.

 

Sedangkan jumlah akar real nya hanya $\frac{2}{3} \neq \frac{-b}{a}$. 

 

Hmm, coba misalin $s=x^2-2016x$ deh :)

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 18/4/2016 at 6:00 AM, Erwin Fernanda said:

Jawaban no 11.

 

x + x(x^2-1)^-0.5 = 2016 . . . . . . . Pindah ruas

x(x^2-1)^-0.5 = 2016 - x . . . . . . . . Kuadratkan semuanya

x^2(x^2-1)^-1 = ( 2016 - x )^2  . . . . Perkalian silang pada pecahan

x^2 = ( x^2 - 1 ) ( 2016 - x )^2

x^2 = ( x^2 - 1 ) ( x^2 - 4032x + 2016^2 )

x^2 = x^4 - 4032.x^3 + 2016^2 . x^2 - x^2 +4032x - 2016^2

0    = x^4 - 4032.x^3 + ( 2016^2 - 2 ) X^2 + 4032x - 2016^2

 

Karena yang ditanyakan jumlah semua akar real, maka jawabannya adalah -b/a yaitu 4032

 

Mohon koreksinya . . . . :)

 

 

2016 hasilnya .

Edited by Cahyono S W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Mohon untuk tidak fokus hanya pada hasil, tapi cara nya juga;  Mungkin karena ini isian, jadi bisa pakai pola, tapi coba jelasin sebisa mungkin dari mana pola tersebut berasal.   

 

Untuk yang no 11. Harus hati-hati

 

Ketika anda mengubah $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = 2016$ menjadi persamaan pangkat 4, anda hanya membuktikan pernyataan

 

\[ x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = 2016  \Longrightarrow x^4 - 4032x^3 + ( 2016^2 - 2 ) x^2 + 4032x - 2016^2=0 \]

 

Cuma satu arah, belum membuktikan sebaliknya . Jadi bisa saja terdapat akar dari $x^4 - 4032x^3 + ( 2016^2 - 2 ) x^2 + 4032x - 2016^2=0$ yang tidak memenuhi persamaan awal. 

 

Contoh:  $x_1 = 1008 + \sqrt{1016065+\sqrt{4064257}}$ merupakan akar real dari persamaan pangkat empat tersebut, tapi tidak memenuhi persamaan awal pada soal.

 

Untuk mencari akarnya bisa menggunakan hint yang saya kasi diatas. 

 

 

 

 

 

 

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 hours ago, Dwidya123 said:

no 6 hint nya gimana ya? apa dicoba satu satu

 

 

Misalkan $a(i,j)$ itu bilangan yang di baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Jadi dari soal $a(i,1)=i-1=a(1,i)=i-1$. Perhatikan juga $a(i,j)=a(j,i)$. Dengan induksi bisa dibuktikan $a(n,2j-1)+a(n-1,2j-1)=2n-3$ dan $a(n,2j)+a(n-1,2j)=23-2n$.  Dari sini nanti bisa dibuktikan rumus untuk $a(n+1,n+1)-a(n,n)$  

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

no. 10.. Agar $(ak+b)^{ak+b}$ bukan bilangan kuadrat maka $ak+b$ harus ganjil.. Sehingga kita bagi dua kasus..

untuk $a$ ganjil dan $b$ genap..

untuk $k$ ganjil memenuhi namun untuk $k$ genap tidak memenuhi.. (Tidak memenuhi karena untuk bilangan asli k)

untuk $a$ genap dan $b$ ganjil

untuk $k$ ganjil memenuhi dan genap juga memenuhi..

sehingga banyaknya a yang memenuhi adalah $7$ dan $b$ sebanyak $8$. Banyaknya pasangan yang mungkin $7\times8=56$ . Namun untuk beberapa pasangan tidak memenuhi karena $(ak+b)$ karena $(ak+b)$ tidak boleh $9$..

$(2,1)$, $(2,3)$ $(2,5)$, $(4,1)$ $(4,5)$ $(6,3)$ , dan $(8,1)$.. Sehingga yang mungkin hanya 49..

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites
18 hours ago, donjar said:

No 3 caranya gimana kk kok bisa kayak gitu? :)

a_1 = 4^1 = 4 => floor(log 4) + 1 = 1 (1 digit)

a_2 = 4^2 = 16 => floor(log 16) + 1 = 2 (2 digit)

a_3 = 4^3 = 64 => floor(log 64) + 1 = 2 (2 digit) 

a_4 = 4^4 => floor(4*log 4) + 1 = 2 + 1 = 3 (3 digit) 

a_5 = 4^5 => floor(5*log 4) + 1 = 3 + 1 = 4 (4 digit) 

a_6 = 4^6 => floor(6*log 4) + 1 = 3 + 1 = 4 (4 digit)

a_7 = 4^7 => floor(7*log 4) + 1 = 4 + 1 = 5 (5 digit) 

a_8 = 4^8 => floor(8*log 4) + 1 = 4 + 1 = 5 (5 digit) 

a_9 = 4^9 => floor(9*log 4) + 1 = 5 + 1 = 6 (6 digit) 

... a_49 = 4^49 => floor(49*log 4) + 1 = 29 + 1 = 30 ( 30 digit) 

a_50 = 4^50 => floor(50*log 4) + 1 = 30 + 1 = 31 (31 digit) 

 

b_1 = 25^1 => floor(2*log 5) + 1 = 1 + 1 = 2 (2 digit) ,dst. 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
31 minutes ago, Muh. Fadlan said:

no. 10.. Agar (ak+b)ak+b(ak+b)ak+b bukan bilangan kuadrat maka ak+bak+b harus ganjil.. Sehingga kita bagi dua kasus..

untuk aa ganjil dan bb genap..

untuk kk ganjil memenuhi namun untuk kk genap tidak memenuhi.. (Tidak memenuhi karena untuk bilangan asli k)

untuk aa genap dan bb ganjil

untuk kk ganjil memenuhi dan genap juga memenuhi..

sehingga banyaknya a yang memenuhi adalah 77 dan bb sebanyak 88 . Banyaknya pasangan yang mungkin 7×8=567×8=56 . Namun untuk beberapa pasangan tidak memenuhi karena (ak+b)(ak+b) karena (ak+b)(ak+b) tidak boleh 99 ..

(2,1)(2,1) , (2,3)(2,3) (2,5)(2,5) , (4,1)(4,1) (4,5)(4,5) (6,3)(6,3) , dan (8,1)(8,1) .. Sehingga yang mungkin hanya 49..

 

hmm.. bukti bahwa hanya pasangan itu yang ga boleh? 

 

Trus bisa juga kan ada pasangan yang membentuk $25$ (klo ga ada, buktikan). Atau untuk $k$ yang sufficiently large $ak+b$ membentuk bilangan kuadrat. 

 

Contoh nih.. $(a,b)=(2,7)$ , itu bisa bilangan kuadrat jika $k=1$. 

 

Trus $(a,b)=(4,9)$ juga bisa bilangan kuadrat jika $k=70$ maka $4\times 70 + 9 = 289 = 17^2$

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 minutes ago, Adri said:

 

hmm.. bukti bahwa hanya pasangan itu yang ga boleh? 

 

Trus bisa juga kan ada pasangan yang membentuk 25 25 (klo ga ada, buktikan). Atau untuk k k yang sufficiently large ak+b ak+b membentuk bilangan kuadrat. 

oh iya.. Gak kepikiran. Soalnya cuma sampai 15 a dan b nya....

cari lagi.... :D .. Penasaran.. Emang jawabannya berapa?

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Muh. Fadlan said:

oh iya.. Gak kepikiran. Soalnya cuma sampai 15 a dan b nya....

cari lagi.... :D .. Penasaran.. Emang jawabannya berapa?

 

 

 soalnya cukup 'kejam' klo mau nulis lengkap;  Karena harus menunjukkan bahwa setiap kasus yang ga bisa,  harus bisa dibikin berbentuk bilangan kuadrat. Contoh $(4,5)$ tidak bisa karena ketika $k=5$ diperoleh $ak+b = 25=5^2$.  

 

Jawabannya $24$. Solusi Hidden.

 

Spoiler

 

Intinya sih pakai :

 

1. Misalkan $A=\{0,1,4,9\}$,  jika $x$ bilangan kuadrat maka $x \equiv r {\pmod {12}}$ dimana $r \in A$  dan untuk setiap $r \in A$ terdapat bilangan kuadrat $x$ sedemikian sehingga $x \equiv r {\pmod {12} }$

 

2. Misalkan $A=\{0,1,2,4,8,9,11\}$,  jika $x$ bilangan kuadrat maka $x \equiv r {\pmod {14}}$ dimana $r \in A$  dan untuk setiap $r \in A$ terdapat bilangan kuadrat $x$ sedemikian sehingga $x \equiv r {\pmod {14} }$

 

Bagian yang saya bold itu yang pentingnya sih sebenarnya, tapi buktiin nya males (gampang padahal) cuma kejam banget klo disuruh nulis -_- ..  Saya kasi contoh satu aja,  jika $r=11$, maka ada $x=25$ sehingga $x \equiv 25 \equiv 11 \pmod {14}$. 

 

Pertama-tama kamu sudah berhasil mereduksi menjadi kasus yang cuma $a$  genap dan $b$ ganjil.

 

Ini berarti $a \in \{2,4,6,8,10,12,14\}$  dan $b \in \{1,3,5,9,11,13,15\}$.

 

  • Untuk $a=2$ dan $b=2l+1$ maka ambil $k=2l^2+l$ dipeorleh $ak+b = 4l^2+4l+1 = (2l+1)^2$, jadi ketika $a=2$, tidak ada yang memenuhi.
     
  • Untuk $a=4$ perhatikan bahwa jika $x$ bilangan kuadrat maka $x=4k$ atau $x=4k+1$, jadi agar $ak+b=4k+b$ bukan bilangan kuadrat, karena $b$ ganjil maka $b \equiv 3 \pmod 4$, jadi pasangan yang memenuhi $(4,3)$, $(4,7)$, $(4,11)$, dan $(4,15)$. Total ada 4.
     
  • Untuk  $a=6$, perhatikan $x$ bilangan kuadrat maka $x \equiv 0, 1, 3, 4 \pmod 6$, jadi $ak+b=6k+b$ bukan bilangan kuadrat hanya jika $b \equiv 5 \pmod 6$,  Jadi pasangan yang memenuhi $(6,5)$ dan $(6,11)$. Total ada 2.
     
  • Untuk  $a=8$, perhatikan $x$ bilangan kuadrat maka $x \equiv 0, 1, 4, \pmod 8$, jadi $ak+b=8k+b$ bukan bilangan kuadrat hanya jika $b \equiv 3, 5, 7 \pmod 8$,  Jadi pasangan yang memenuhi $(8,3)$, $(8,5)$, $(8,7)$, $(8,11)$, $(8,13)$, dan $(8,15)$. Total ada 6.
     
  • Untuk  $a=10$, perhatikan $x$ bilangan kuadrat maka $x \equiv 0, 1, 4, 5 , 6, 9 {\pmod {10}}$, jadi $ak+b=10k+b$ bukan bilangan kuadrat hanya jika $b \equiv 3, 7 {\pmod {10}}$,  Jadi pasangan yang memenuhi $(10,3)$ ,  $(10,7)$ dan $(10,13)$. Total ada 3
     
  • Untuk $a=12$,  perhatikan $x$ bilangan kuadrat maka $x \equiv 0, 1, 4, 9 {\pmod {12}}$, jadi $ak+b=12k+b$ bukan bilangan kuadrat hanya jika $b \equiv 3, 5, 7, 11 {\pmod {12}}$,  Jadi pasangan yang memenuhi $(12,3)$ ,  $(12,5)$,  $(12,7)$, $(12,11)$, $(12,15)$. Total ada 5.
     
  • Untuk $a=14$,  perhatikan $x$ bilangan kuadrat maka $x \equiv 0, 1, 2,  4, 8,  9, 11 {\pmod {14}}$, jadi $ak+b=14k+b$ bukan bilangan kuadrat hanya jika $b \equiv 3, 5, 7, 13 {\pmod {14}}$,  Jadi pasangan yang memenuhi $(14,3)$ ,  $(14,5)$,  $(14,7)$, $(14,13)$. Total ada 4.

 

Jadi total ada $4+2+6+3+5+4= 24$. 

 

 

semoga tidak salah hitung :)

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 4/18/2016 at 8:54 PM, Cahyono S W said:

No. 3

a_1 + a_2 + a_3 +… + a_50 = 795

b_1 + b_2 + b_3 +… + b_50 = 1805

795 + 1805 = 2600.

 

No. 8

3+33+333+… + 333..333 (3 sebanyak 2016 kali) = 370370370..369698 (370 sebanyak 670 kali). 

10*670 + 3+6+9+6+9+8 = 6700+41= 6741.

yahhh.. salah punyaku

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 19/4/2016 at 1:11 PM, Adri said:

Mohon untuk tidak fokus hanya pada hasil, tapi cara nya juga;  Mungkin karena ini isian, jadi bisa pakai pola, tapi coba jelasin sebisa mungkin dari mana pola tersebut berasal.   

 

Untuk yang no 11. Harus hati-hati

 

Ketika anda mengubah x+xx21=2016x+xx2−1=2016 menjadi persamaan pangkat 4, anda hanya membuktikan pernyataan

 

 

x+xx21=2016x44032x3+(201622)x2+4032x20162=x+xx2−1=2016⟹x4−4032x3+(20162−2)x2+4032x−20162=0

 

 

Cuma satu arah, belum membuktikan sebaliknya . Jadi bisa saja terdapat akar dari x44032x3+(201622)x2+4032x20162=x4−4032x3+(20162−2)x2+4032x−20162=0 yang tidak memenuhi persamaan awal. 

 

Contoh:  x1=1008+1016065+4064257x1=1008+1016065+4064257 merupakan akar real dari persamaan pangkat empat tersebut, tapi tidak memenuhi persamaan awal pada soal.

 

Untuk mencari akarnya bisa menggunakan hint yang saya kasi diatas. 

 

 

 

 

 

 

 

x_1 = 1008 + √(1016065 - √4064257)

x_2 = 1008 - √(1016065 - √4064257)

x_1 + x_2 = 2016.

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Cahyono S W said:

x_1 = 1008 + √(1016065 - √4064257)

x_2 = 1008 - √(1016065 - √4064257)

x_1 + x_2 = 2016.

Itu cm jawaban.. Bukan cara :)  ...  Mari lebih fokus ke cara. 

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 20/04/2016 at 6:26 PM, Cahyono S W said:

No. 4

2017 kan?

 

Hmmm, 2017 memenuhi sih, tapi kamu yakin tidak ada solusi yang lain? Atau sebenernya ada ya hehe

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 hours ago, Adri said:

Itu cm jawaban.. Bukan cara :)  ...  Mari lebih fokus ke cara. 

x +(x/√(x^2 -1) = 2016

=> √(x^2 -1) = x/(2016 - x)

<=> x^2 - 1 = (x/(2016-x))^2

<=> x^4 - 4032 x^3 + 4064254 x^2 + 4032 x - 4064256 = 0

Akar - akar real dari persamaan di atas,  yaitu :

x_1 = 1008 - √(1016065 + √4064257)

x_2 = 1008 + √(1016065 + √4064257)

x_3 = 1008 - √(1016065 - √4064257)

x_4 = 1008 + √(1016065 - √4064257)

 

Akar - akar real yang memenuhi pada persamaan  x + (x/(√x^2 - 1)) = 2016 hanya x_3 dan x_4, sehingga jumlah real yang memenuhi adalah 2016.

Share this post


Link to post
Share on other sites
11 minutes ago, Cahyono S W said:

x +(x/√(x^2 -1) = 2016

=> √(x^2 -1) = x/(2016 - x)

<=> x^2 - 1 = (x/(2016-x))^2

<=> x^4 - 4032 x^3 + 4064254 x^2 + 4032 x - 4064256 = 0

Akar - akar real dari persamaan di atas,  yaitu :

x_1 = 1008 - √(1016065 + √4064257)

x_2 = 1008 + √(1016065 + √4064257)

x_3 = 1008 - √(1016065 - √4064257)

x_4 = 1008 + √(1016065 - √4064257)

 

Akar - akar real yang memenuhi pada persamaan  x + (x/(√x^2 - 1)) = 2016 hanya x_3 dan x_4, sehingga jumlah real yang memenuhi adalah 2016.

 

Cara nyari akar-akar nya? cara buktiin kalo yang $x_1$ dan $x_2$ ga memenuhi? beneran anda substitusi ke persamaan awal kah? Itu mesti hitung akar dari akar nya loh. 

 

Sebenarnya ada cara yang ga perlu substitusi ke persamaan awal untuk buktikan $x_1$ dan $x_2$ ga memenuhi persamaan awal :) 

 

 

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
On Monday, April 18, 2016 at 8:54 PM, Cahyono S W said:

No. 3

a_1 + a_2 + a_3 +… + a_50 = 795

b_1 + b_2 + b_3 +… + b_50 = 1805

795 + 1805 = 2600.

 

No. 8

3+33+333+… + 333..333 (3 sebanyak 2016 kali) = 370370370..369698 (370 sebanyak 670 kali). 

10*670 + 3+6+9+6+9+8 = 6700+41= 6741.

No 8 Saya salah paham...dapet hasilny pakek cara apa sebelum jumalah digit itu?

Edited by alfath alawiyah

Share this post


Link to post
Share on other sites
11 hours ago, alfath alawiyah said:

No 8 Saya salah paham...dapet hasilny pakek cara apa sebelum jumalah digit itu?

 

Sebenarnya kalau isian gini paling gampang dicoba aja pola $3, 3 + 33, 3 + 33 + 333, \dotsc$ :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now