KTO Matematika

KTO Matematika April 2016: Bagian A

Recommended Posts

Btw bbrp soal2 di sini memang menggugah untuk pakai kalkulator, Wolfram, dan sebagainya. Tapi rata-rata soal olimpiade matematika didesain sedemikian rupa sehingga jawaban/kesimpulan akhir bisa dipertanggungjawabkan secara matematis (bukti didasarkan pada aksioma dan teorema matematika).

 

Sebagai contoh, no 3. Perhatikan bahwa banyak digit dari suatu bilangan bulat positif $n$ adl $1 + \lfloor {log_{10}(n)}\rfloor$.

Alesannya, misal $n$ punya $k$ digit. Berarti $n$ bisa berupa bilangan dari $1000....0$ = $10^{k-1}$ sampai $999....9999$ = $(10^k) - 1$.

Karena sifat dasar logaritma yakni jika $0<a \le b$ maka $log(a) \le log(b)$, maka $log_{10}(10^{k-1}) \le log_{10}(n) \le log_{10}(10^k-1) < log_{10}(10^k)$.

Ketaksamaan ini berakibat dg $k-1 \le log_{10}(n) < k$.

Dr ketaksamaan ini, jelas dr sifat floor bahwa $\lfloor{log_{10}(n)}\rfloor = k-1$.

(Sbg tambahan, floor $n$, atau $\lfloor{n}\rfloor$ adalah suatu bil bulat yang bernilai lebih kecil atau sama dengan $n$. Jadi $\lfloor{3.2}\rfloor=3$, $\lfloor{0.897}\rfloor=0$, $\lfloor{-1}\rfloor=-1$)

Jadi $k = 1 + \lfloor(log_{10}(n)\rfloor$, dg $k$ adl banyak digit dr $n$.

 

Sekarang $ a_n= 1 + \lfloor log_{10}(4^n) \rfloor$ dan $b_n = 1 + \lfloor log_{10}(25^n)\rfloor$.

Krn $25=100/4$ maka $b_n = 1 + \lfloor log_{10}(100^n/4^n) \rfloor$

$= 1 + \lfloor 2n - log_{10}(4^n) \rfloor$.

Perhatikan bahwa jika $m$ bilangan bulat, maka $\lfloor{a}\rfloor + \lfloor{m-a}\rfloor = m-1$ untuk setiap $a$ bil real tapi non bulat (kalau bulat, hasilnya $m$).

Bukti sederhananya, misalkan bil bulat $x$ shg $x< a < x+1$ (saya tdk pakai "=" di $x<a$, karena$ a $diketahui bukan bilangan bulat). Jadi $\lfloor{a}\rfloor=x$.

Lalu untuk $m-a$ nya, perhatikan bahwa krn ketaksamaan bil $a$, jadi $m-(x+1) < m-a < m-x$.

Lalu $\lfloor(m-a)\rfloor =m-(x+1)$.

Jumlahkan nilai $\lfloor(a)\rfloor$ dan $\lfloor(m-a)\rfloor$, maka persamaan sblmny akan tercapai.

 

Saya pakai ini untuk menunjukkan $\lfloor{log_{10}(4^n)}\rfloor+\lfloor{2n - log_{10}(4^n)}\rfloor = 2n-1$.

Sehingga $a_n+b_n= 2 + \left( \lfloor{log_{10}(4^n)}\rfloor+\lfloor{2n - log_{10}(4^n)}\rfloor \right) = 2 + (2n-1) = 2n+1$ untuk setiap $n$ bilangan bulat positif.

Terus "input" aja $n=1,n=2, $sampai $n=50$ lalu dijumlah semuanya.

(CMIIW)

 

Perhatikan bhw tipe2 soalny memungkinkan suatu cara yg lbh mudah, tanpa perlu memencet tombol 2, 5, pangkat, kurung buka, 1, 0, kurung tutup dan sama dengan.

Edited by Shuu

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, Shuu said:

Btw bbrp soal2 di sini memang menggugah untuk pakai kalkulator, Wolfram, dan sebagainya. Tapi rata-rata soal olimpiade matematika didesain sedemikian rupa sehingga jawaban/kesimpulan akhir bisa dipertanggungjawabkan secara matematis (bukti didasarkan pada aksioma dan teorema matematika).

 

Sebagai contoh, no 3. Perhatikan bahwa banyak digit dari suatu bilangan bulat positif nn adl 1+log10(n)1+⌊log10(n)⌋ .

Alesannya, misal nn  punya kk digit. Berarti nn bisa berupa bilangan dari 1000....01000....0  = 10k110k−1 sampai 999....9999999....9999 = (10k)1(10k)−1 .

Karena sifat dasar logaritma yakni jika <ab0<a≤b maka log(a)log(b)log(a)≤log(b) , maka log10(10k1)log10(n)log10(10k1)<log10(10k)log10(10k−1)≤log10(n)≤log10(10k−1)<log10(10k) .

Ketaksamaan ini berakibat dg k1log10(n)<kk−1≤log10(n)<k .

Dr ketaksamaan ini, jelas dr sifat floor bahwa log10(n)=k1⌊log10(n)⌋=k−1 .

(Sbg tambahan, floor nn , atau n⌊n⌋  adalah suatu bil bulat yang bernilai lebih kecil atau sama dengan nn . Jadi 3.2=3⌊3.2⌋=30.897=⌊0.897⌋=0 , 1=1⌊−1⌋=−1 )

Jadi k=1+(log10(n)k=1+⌊(log10(n)⌋ , dg kk adl banyak digit dr nn .

 

Sekarang an=1+log10(4n)an=1+⌊log10(4n)⌋ dan bn=1+log10(25n)bn=1+⌊log10(25n)⌋ .

Krn 25=100/425=100/4 maka bn=1+log10(100n/4n)bn=1+⌊log10(100n/4n)⌋

=1+2nlog10(4n)=1+⌊2n−log10(4n)⌋ .

Perhatikan bahwa jika mm  bilangan bulat, maka a+ma=m1⌊a⌋+⌊m−a⌋=m−1 untuk setiap aa bil real tapi non bulat (kalau bulat, hasilnya mm ).

Bukti sederhananya, misalkan bil bulat xx shg x<a<x+1x<a<x+1 (saya tdk pakai "=" di x<ax<a , karenaaa diketahui bukan bilangan bulat). Jadi a=x⌊a⌋=x .

Lalu untuk mam−a  nya, perhatikan bahwa krn ketaksamaan bil aa , jadi m(x+1)<ma<mxm−(x+1)<m−a<m−x .

Lalu (ma)=m(x+1)⌊(m−a)⌋=m−(x+1) .

Jumlahkan nilai (a)⌊(a)⌋ dan (ma)⌊(m−a)⌋ , maka persamaan sblmny akan tercapai.

 

Saya pakai ini untuk menunjukkan log10(4n)+2nlog10(4n)=2n1⌊log10(4n)⌋+⌊2n−log10(4n)⌋=2n−1 .

Sehingga an+bn=2+(log10(4n)+2nlog10(4n))=2+(2n1)=2n+1an+bn=2+(⌊log10(4n)⌋+⌊2n−log10(4n)⌋)=2+(2n−1)=2n+1 untuk setiap nn bilangan bulat positif.

Terus "input" aja n=1,n=2,n=1,n=2, sampai n=50n=50 lalu dijumlah semuanya.

(CMIIW)

 

Perhatikan bhw tipe2 soalny memungkinkan suatu cara yg lbh mudah, tanpa perlu memencet tombol 2, 5, pangkat, kurung buka, 1, 0, kurung tutup dan sama dengan.

Good idea

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 4/21/2016 at 10:48 PM, Adri said:

 

Cara nyari akar-akar nya? cara buktiin kalo yang x1x1 dan x2x2 ga memenuhi? beneran anda substitusi ke persamaan awal kah? Itu mesti hitung akar dari akar nya loh. 

 

Sebenarnya ada cara yang ga perlu substitusi ke persamaan awal untuk buktikan x1x1 dan x2x2 ga memenuhi persamaan awal :) 

 

 

 

 

gimana dong cranya ksih tau..

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, M Galang R said:

gimana dong cranya ksih tau..

 

 

Misalkan $s=x^2-2016x$, dengan mengkalikan $x$ pada persamaan soal diperoleh

 

\[x^2 + \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} = 2016x \Longleftrightarrow x^2-2016x = - \left( \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} \right)\]

 

Karena $\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} > 0$ maka ini berarti $s=x^2-2016x < 0$. (harus negatif).

 

Sekarang kita akan cari akarnya, dengan pindah ruas dan mengkuadratkan pada persamaan awal kita peroleh

 

\begin{align*}(x-2016)^2 = \frac{x^2}{x^2-1} &\Rightarrow (x(x-2016))^2 -  (x-2016)^2 = x^2 \\ &\Rightarrow  (x^2-2016x)^2 =  x^2 + (x-2016)^2 = 2(x^2-2016x) + 2016^2\end{align*}

 

Kesamaan terakhir dapat ditulis $s^2=2s+2016^2$, dan dari sini diperoleh

 

\[s = \frac{2 \pm \sqrt{4+4(2016)^2} }{2} = 1 \pm \sqrt{1+2016^2}\]

 

namun karena kita telah membuktikan $s$ harus negatif, maka yang mungkin hanyalah $s=1-\sqrt{1+2016^2}$, jadi

 

\[x^2-2016x = 1- \sqrt{1+2016^2}\]

 

diperoleh

 

\[x= \frac{2016 \pm \sqrt{2016^2 - 4 \sqrt{1+2016^2}  } }{2} = 1008 \pm \sqrt{1016065 - \sqrt{4064257}}\]

 

 

Edited by Adri
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 4/23/2016 at 10:07 PM, Adri said:

 

Misalkan s=x22016xs=x2−2016x , dengan mengkalikan xx pada persamaan soal diperoleh

 

 

x2+x2x21=2016xx22016x=(x2x21)x2+x2x2−1=2016x⟺x2−2016x=−(x2x2−1)

 

 

Karena x2x21>0x2x2−1>0 maka ini berarti s=x22016x<0s=x2−2016x<0 . (harus negatif).

 

Sekarang kita akan cari akarnya, dengan pindah ruas dan mengkuadratkan pada persamaan awal kita peroleh

 

 

(x2016)2=x2x21(x(x2016))2(x2016)2=x2(x22016x)2=x2+(x2016)2=2(x22016x)+20162(x−2016)2=x2x2−1⇒(x(x−2016))2−(x−2016)2=x2⇒(x2−2016x)2=x2+(x−2016)2=2(x2−2016x)+20162

 

 

Kesamaan terakhir dapat ditulis s2=2s+20162s2=2s+20162 , dan dari sini diperoleh

 

 

s=2±4+4(2016)22=1±1+20162s=2±4+4(2016)22=1±1+20162

 

 

namun karena kita telah membuktikan ss harus negatif, maka yang mungkin hanyalah s=11+20162s=1−1+20162 , jadi

 

 

x22016x=11+20162x2−2016x=1−1+20162

 

 

diperoleh

 

 

x=2016±2016241+201622=1008±10160654064257x=2016±20162−41+201622=1008±1016065−4064257

 

 

 

TERima kasih,, :rock:

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now