Sign in to follow this  
Adri

Untaian tak-berhingga

Recommended Posts

Diberikan sebuah bilangan asli $N$. Misalkan sebuah barisan $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ memenuhi kondisi $a_{n} < a_{n+1} < a_{n}+N$ untuk setiap $n$ bilangan asli.  Misalkan $b$ adalah sebuah untaian dengan panjang tak-hingga yang dibentuk dari suku-suku $a_i$ dengan cara menuliskan semua digit dari  suku $a_1$, $a_2$, dan seterusnya secara berurutan menurut suku-sukunya, dimana penulisan dimulai dari kiri ke kanan.   Untuk setiap bilangan asli $i$, definisikan barisan $b_i$ sebagai bilangan yang mempunyai digit yang sama dengan $i$ buah digit pertama dari $b$.  

 

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $k$ terdapat $m$ sedemikian sehingga $b_m \equiv 0 \pmod k$.

 

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Aleams Barra said:

smsm nya apa Jat?

Typo pak.. Maksudnya $b_m$ ... Itu dari soal asli nya $s_m$ cm saya pas ngerjain soalnya terlanjur pake $b_m$. :p

Share this post


Link to post
Share on other sites

idenya kurang lebih begini 

Spoiler

pertama buktiin semua sequence of digit yang finite pasti muncul (ini benar karena $N$ finite), lihat aja $c_1c_2...c_n000000000....000$ (cukup banyak $0$), apa yang terjadi kalau sequence $a_i$ sudah nyampe ke "daerah" bilangan itu?

 

lalu, untuk setiap $N$, buktikan ada sequence digit yang finite, misalkan $c_1, c_2,...,c_n$ sehingga untuk setiap bilangan $A$, antara $Ac_1, Ac_1c_2,...,Ac_1c_2...c_n$ ada yang habis dibagi $N$. (misal $N<10^k$, nanti pasang $k$ digit pertama buat kasus $A$ kongruen 1, $k$ digit selanjutnya buat $A$ kongruen 2, dan seterusnya)

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
23 hours ago, sayakalah said:

idenya kurang lebih begini 

  Reveal hidden contents

pertama buktiin semua sequence of digit yang finite pasti muncul (ini benar karena NN finite), lihat aja c1c2...cn000000000....000c1c2...cn000000000....000 (cukup banyak 00 ), apa yang terjadi kalau sequence aiai sudah nyampe ke "daerah" bilangan itu?

 

lalu, untuk setiap NN , buktikan ada sequence digit yang finite, misalkan c1,c2,...,cnc1,c2,...,cn sehingga untuk setiap bilangan AA , antara Ac1,Ac1c2,...,Ac1c2...cnAc1,Ac1c2,...,Ac1c2...cn ada yang habis dibagi NN . (misal N<10kN<10k , nanti pasang kk digit pertama buat kasus AA kongruen 1, kk digit selanjutnya buat AA kongruen 2, dan seterusnya)

 

Ya krng lebih idenya sama.. Kyk di soal Jusy;  Eventually $a_n$ bakal cukup besar shg penambahan dgn $N$ jadi 'irrelevant'.

 

Agak detail nya misal $N$ punya k digit  klo kita ambil sebarang string $s$ misalkan $m$ adalah indeks terkecil sehingga $s10^k\leq a_{m}$

Maka karena $N\leq 10^k$ maka $s10^k\leq a_{m}<a_{m-1}+N < (s+1)10^k$

Jd any string $s$ dapet jadi digit awal nya si $a_n$, utk $n$ cukup besar 

 

Habis itu konstruk.. Lg males ngetik..

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this