Jump to content
Ryan_Dri

sHORTLIST imo

Recommended Posts

1. (Titu97) Tunjukan bahwa untuk ak  0:

 

yusufsila+23.png

 

2.  (IMO95) Diketahui a, b, dan c adalah bilangan rael positif yang memenuhi abc = 1. Tunjukkan :

yusufsila+25.png
 

3.  (88 Friendship Competition) Untuk a, b, c > 0 : tunjukan

yusufsila+31.png
 
 
4. (IMO 2001 Shortlist) Tunjukan bahwa untuk semua bilangan real positif a, b, c,berlaku :
yusufsila+27.png
 
Maaf kalau nanya nya gak nanggung-nanggung

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Jonathan CN said:

No 3 dimodif terus pakai Am-Hm kan ?

 

 

Ayo post solusi nya :)  

Share this post


Link to post
Share on other sites
14 hours ago, Jonathan CN said:

No 3 dimodif terus pakai Am-Hm kan ?

 

 

Ayo pos solusi Anda..
 

Kalau solusi saya:

Spoiler

CS - Engel Form

Spoiler

Untuk sebarang bilangan real $a,b,c$ dan bilangan real positif $x,y,z$ berlaku

$$ \frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} + \frac{c^2}{z} \geq \frac{(a + b + c)^2}{x+y+z}. $$

 

Solusi no 3

Spoiler

Pilih $x=b+c$, $y=c+a$ dan $z=a+b$ ketaksamaan menjadi

 

$$ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac {(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac {a+b+c}{2} $$

 

 

 

Edited by Prihandoko
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 hours ago, Prihandoko said:

 

Kalau solusi saya:

  Reveal hidden contents

CS - Engel Form

  Reveal hidden contents

Untuk sebarang bilangan real a,b,ca,b,c dan bilangan real positif x,y,zx,y,z berlaku

 

a2x+b2y+c2z(a+b+c)2x+y+z.a2x+b2y+c2z≥(a+b+c)2x+y+z.

 

 

Solusi no 3

  Reveal hidden contents

Pilih x=b+cx=b+c , y=c+ay=c+a dan z=a+bz=a+b ketaksamaan menjadi

 

 

a2b+c+b2c+a+c2a+b(a+b+c)22(a+b+c)=a+b+c2a2b+c+b2c+a+c2a+b≥(a+b+c)22(a+b+c)=a+b+c2

 

 

 

 

Lupa kak kalau pakai CS-Engel. Cara saya sangat gak efektif

Share this post


Link to post
Share on other sites
16 minutes ago, Jonathan CN said:

Lupa kak kalau pakai CS-Engel. Cara saya sangat gak efektif


Harusnya enggak apa2 ditulis, kan bisa jadi latihan nulis juga :)
Kalau kurang pas biar bisa dibenerin bareng2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 1 

 

 

yusufsila+23.png

Dari holder, $(1^n+((a_1)^{1/n})^n)(1^n+((a_2)^{1/n})^n)........(1^n+((a_n)^{1/n})^n) \geq ((1*1*1....*1)+(a_1a_2....a_n)^{1/n})^n.$

 

 

 

Edited by DickJessen
ayam goreng
  • Upvote 3

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Dante14Dante said:

Kak, kalau ngerjain ineq boleh dimisalin abc=1? Kalau belum ada ketentuan sama sekali dan homogen

 

Kayaknya kalo gak ada homogen gak boleh , kalo ada boleh CMIIW

Share this post


Link to post
Share on other sites

no 4 dengan holder diperoleh\\
$(\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc)}})^2(\sum_{cyc} a(a^2+8bc))\ge(\sum_{cyc} a)^3$\\
sekarang akan dibuktikan $(\sum_{cyc} a)^3$$\ge$$(\sum_{cyc} a(a^2+8bc))$\\
dengan menjabarkan $(\sum_{cyc}a)^3$ diperoleh\\
$a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3ca^2+3c^2a+6abc\ge a^3+b^3+c^3+24abc$ yang bernar oleh AM-GM\\
dengan ini $(\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc)}})^2(\sum_{cyc}a(a^2+bc))\ge(\sum_{cyc}a)^3\ge(\sum_{cyc}a(a^2+bc))$\\
$\implies$ $(\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}})^2\ge 1$

Edited by Reynan Henry
ajarin ketik latex
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 27/4/2016 at 11:34 PM, Reynan Henry said:

no 4 dengan holder diperoleh\\
(cycaa2+8bc))2(cyca(a2+8bc))(cyca)3 \\
sekarang akan dibuktikan (cyca)3 (cyca(a2+8bc)) \\
dengan menjabarkan (cyca)3 diperoleh\\
a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+3ca2+3c2a+6abca3+b3+c3+24abc yang bernar oleh AM-GM\\
dengan ini (cycaa2+8bc))2(cyca(a2+bc))(cyca)3(cyca(a2+bc)) \\
 (cycaa2+8bc)21

cakep ini solusinya.. coba nomer yang lain nggak? No 2 belum ada yang nyoba tuh,
(dan lebih gampang dari no4 )

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 2:

Spoiler

$\frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a(b+c)}$

Misalkan $A=\frac{1}{a}$, $B=\frac{1}{b}$, $C=\frac{1}{c}$. Maka $ABC=\frac{1}{abc}=1$

Maka diperoleh $\sum_{cyc} \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum_{cyc} \frac{\frac{1}{a^2}}{a(b+c)}=\sum_{cyc} \frac{A^2}{ab+ac}=\sum_{cyc} \frac{A^2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}=\sum_{cyc} \frac{A^2}{B+C}$

Dengan CS-Engel, $\frac{A^2}{B+C}+\frac{B^2}{C+A}+\frac{C^2}{A+B} \geq \frac{(A+B+C)^2}{2(A+B+C)}=\frac{A+B+C}{2}$

Dengan AM-GM, $\frac{A+B+C}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{ABC}}{2} = \frac{3}{2}$

QED

 

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×