KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Juni 2016 - Bagian A

Recommended Posts

  1. Nilai dari $\sqrt[4]{2^4+2^{11}+2^{15}+2^{16}+2^{21}+2^{24}}$ merupakan sebuah bilangan bulat. Tentukan bilangan bulat tersebut.

  2. Dani melempar dua dadu biasa. Jika $p$ adalah peluang nilai dadu pertama lebih tinggi daripada nilai dadu kedua, tentukan nilai $\lfloor 100p \rfloor$, di mana $\lfloor x\rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $x$.

  3. Tentukan bilangan bulat positif terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 3, bersisa 4 jika dibagi 5, bersisa 6 jika dibagi 7, dan habis dibagi 11.

  4. Dua buah lingkaran dengan jari-jari $4$ dan $7$ terletak pada satu bidang. Diketahui bahwa kedua lingkaran tersebut memiliki tepat tiga buah garis singgung persekutuan. Tentukan jarak kedua pusat lingkaran tersebut.

  5. Titik pusat lingkaran luar segitiga yang ketiga titik sudutnya terletak pada koordinat $(0,0)$, $(2,6)$, $(9,1)$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)$, dengan $a$, $b$, dan $c$ bilangan bulat positif yang memenuhi $\gcd(a,c)=\gcd(b,c)=1$. Hitunglah nilai dari $a+b+c$. Keterangan: $\gcd(a,b)$ menyatakan faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $b$.

  6. Jacob mempunyai tujuh bola berwarna merah, kuning, hijau, biru, ungu, cokelat, dan putih. Misalkan $P(m)$ menyatakan banyaknya kemungkinan susunan tujuh bola, di mana satu warna bola dapat muncul lebih dari sekali, sedemikian sehingga bola dengan urutan ke-$m$ adalah bola kuning yang pertama pada susunan tersebut. Tentukan nilai dari $P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7)$.

  7. Tentukan banyaknya pasangan penyelesaian bulat $(x,y)$ dari persamaan $2xy-x+2y=11$. Catatan: $(4,5)$ dan $(5,4)$ dianggap sebagai pasangan solusi yang berbeda.

  8. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ sedemikian sehingga $a$ dan $b$ keduanya merupakan pembagi dari $2016$, tetapi $ab$ bukan pembagi dari $2016$.

  9. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan $\angle{ABC} = \angle{ACB} = 70^{\circ}$. Titik $P$ terletak di dalam segitiga $ABC$ sedemikian sehingga $\angle{PCA} = 40^{\circ}$ dan $AP = BC$. Tentukan besar $\angle{PAB}$.

  10. Untuk setiap bilangan bulat positif $m$ dan $n$, definisikan $f(m, n)$ sebagai berikut:
    $f(1, 1) = 1$,
    $f(m + 1, n) = f(m, n) + m$
    $f(m, n + 1) = f(m, n) - n$.
    Tentukan nilai $p-q$ terbesar yang memenuhi $f(p, q) = 2016$.

  11. Diberikan sebuah petak yang memiliki dimensi 2 baris kali 5 kolom. Masing-masing dari kesepuluh kotak pada petak tersebut akan diisi dengan sebuah bilangan asli dari 1 sampai 2016 secara acak (pengulangan bilangan diperbolehkan). Apabila peluang bahwa hasil kali angka-angka pada setiap dua kotak yang bertetangga (memiliki sisi persekutuan) merupakan bilangan genap adalah $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$.

  12. Tentukan banyaknya bilangan prima $p$ sedemikian sehingga $p|x^3-5x^2-22x+56$ untuk kurang dari tiga nilai bulat $x$ yang berbeda pada interval $[0,p-1]$.

  13. Definisikan barisan $\{a_{n}\}$ sebagai berikut: $a_{1}= 3$, $a_{2}= 3$, dan untuk $n \ge 2$, $a_{n+1}a_{n-1}= a_{n}^{2}+2016$. Tentukan nilai dari $\left\lfloor\frac{a_{2016}^{2}+a_{2015}^{2}}{a_{2016}a_{2015}}\right\rfloor$, di mana $\lfloor x\rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $x$.

  14. Diberikan segitiga sama kaki $ABC$ dengan panjang sisi $AB = AC = 2\sqrt{6}$ dan $BC = 6$. Titik $M$ terletak pada segmen $BC$ sedemikian sehingga $BM : MC = 1 : 2$. Definisikan $\omega$ sebagai lingkaran yang menyinggung lingkaran luar segitiga $ABC$ dan segmen $BC$ pada titik $M$. Lingkaran $\omega$ menyinggung lingkaran luar segitiga $ABC$ pada titik yang terletak pada busur $BC$ yang tidak memuat $A$. Jika kuadrat dari jari-jari $\omega$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$, dimana $a$ dan $b$ merupakan dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai $a+b$.

Edited by -_-

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 12 Jawabannya 3 kan?

Spoiler

dapat difaktorkan menjadi

$x^{3}-5x^{2}-22x+56 = (x-2)(x-7)(x+4)$

Dari ini dapat dilihat bahwa untuk $p>7$ terdapat minimal 3 $x$ yang memenuhi $p|x^{3}-5x^{2}-22x+56$ ketinganya yaitu, $2$, $7$, dan $p-4$ 

jadi $p \leq 7$
mudah dicek bahwa $2$,$3$, dan $5$ memenuhi sedangkan $7$ tidak memenuhi
Jadi, nilai yang memenuhi sebanyak 3

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 minutes ago, BuruhTani21 said:

1 sampai 35 dapat dariman??? Bagi kasus kah??

 

Aku juga kurang yakin sama caraku 
ada 36 faktor dari $2016$
$a$ dan $b$ sama-sama membagi $2016$, agar $ab$ tidak membagi $2016$ maka haruslah $ab > 2016$ (bagian ini yang aku kurng yakin)
lanjutnya, kalau $a=1$ tidak ada $b$ memenuhi, kalau $a=2$ maka yang memenuhi untuk $b$ adalah $2016$ sebanyak $1$, kalau $a=3$ maka yang memenuhi adalah $2016$ dan $1008$ sebanyak $2$ 
terus sampai $a=2016$ $b$ yang memenuhi sebanyak $35$

aku gak ngerti maksud soal no 6

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 minutes ago, Muh. Fadlan said:

Aku juga kurang yakin sama caraku 
ada 36 faktor dari 20162016
aa dan bb sama-sama membagi 20162016 , agar abab tidak membagi 20162016 maka haruslah ab>2016ab>2016 (bagian ini yang aku kurng yakin)
lanjutnya, kalau a=1a=1 tidak ada bb memenuhi, kalau a=2a=2 maka yang memenuhi untuk bb adalah 20162016 sebanyak 11 , kalau a=3a=3 maka yang memenuhi adalah 20162016 dan 10081008 sebanyak 22  
terus sampai a=2016a=2016 bb yang memenuhi sebanyak 3535

aku gak ngerti maksud soal no 6

AB>2016?? btw 64 gak memenuhi dong kan <2016. Kalo aku kok gini maaf tulisannya acak kadul.

Misalkan a=2^x1.3^y1.7^z1 b =2^x2.3^y2.7^z2  lha 2016=2^5.3^2.7^1 maka agar ab tidak membagi x1+x2>5 atau y1+y2>2 atau z1+z2>1

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 minutes ago, BuruhTani21 said:

AB>2016?? btw 64 gak memenuhi dong kan <2016. Kalo aku kok gini maaf tulisannya acak kadul.

Misalkan $a=2^x1.3^y1.7^z1 b =2^x2.3^y2.7^z2  lha 2016=2^5.3^2.7^1 maka agar ab tidak membagi x1+x2>5 atau y1+y2>2 atau z1+z2>1

 

oh iya... Berarti lebih banyak lagi dong?

 

 

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, Muh. Fadlan said:

No 12 Jawabannya 3 kan?

  Hide contents

dapat difaktorkan menjadi

x35x222x+56=(x2)(x7)(x+4)x3−5x2−22x+56=(x−2)(x−7)(x+4)

Dari ini dapat dilihat bahwa untuk p>7p>7 terdapat minimal 3 xx yang memenuhi p|x35x222x+56p|x3−5x2−22x+56 ketinganya yaitu, 22 , 77 , dan p4p−4  

jadi p7p≤7
mudah dicek bahwa 22 ,33 , dan 55 memenuhi sedangkan 77 tidak memenuhi
Jadi, nilai yang memenuhi sebanyak 3

 

$p=11$?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Solusi nomor 6

Spoiler

6) Banyak caranya : P(1) = 7^6, P(2) = 6*7^5, ..., P(7) = 6^6

 

x = 7^6 + 6*7^5 + 6^2*7^4 + 6^3*7^3 + 6^4*7^2 + 6^5*7 + 6^6

x = 13(7^5 + 6^2*7^3 + 6^4*7) + 6^6

x = 91(7^4 + 6^2*7^2 + 6^4) + 6^6

x = 91((7^2 + 6^2)^2 - 6^2(91*7^2 - 6^4)

x = 91(85)^2 - 36(91*50 - 91 - 1296)

x = 91(7225) - 36(4550 - 1387)

x = 91(7225) - 36(3163)

atau

x = sum(1,7) 6^(n-1)*7^(7-n) = 543607 *cmiiw

 

10 hours ago, Muh. Fadlan said:

Aku juga kurang yakin sama caraku 
ada 36 faktor dari 20162016
aa dan bb sama-sama membagi 20162016 , agar abab tidak membagi 20162016 maka haruslah ab>2016ab>2016 (bagian ini yang aku kurng yakin)
lanjutnya, kalau a=1a=1 tidak ada bb memenuhi, kalau a=2a=2 maka yang memenuhi untuk bb adalah 20162016 sebanyak 11 , kalau a=3a=3 maka yang memenuhi adalah 20162016 dan 10081008 sebanyak 22  
terus sampai a=2016a=2016 bb yang memenuhi sebanyak 3535

aku gak ngerti maksud soal no 6

 

Edited by Terza Reyhan

Share this post


Link to post
Share on other sites
11 minutes ago, Terza Reyhan said:

Saya bantu gambar saja :crying:

 

14) Kok saya nemunya gak bulat (16/15), ya?

A.jpg

Bukannya soalnya diralat kan?

11 minutes ago, Terza Reyhan said:

Saya bantu gambar saja :crying:

 

14) Kok saya nemunya gak bulat (16/15), ya?

A.jpg

Bukannya soalnya diralat kan?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Solusi nomor 1

 

Spoiler

1.) 2^4 (1 + 2^7 + 2^11 + 2^12 + 2^17 + 2^20)

 

Hint : angka 20 terus 17-7 = 10 dan angka 1 sudah pasti :3

 

2^4 (1 + 4.2^5 + 6.2^10 + 4.2^15 + 2^20)

 

2^4 (1 +2^5)^4

 

2^4 (33)^4

 

 

Edited by Terza Reyhan

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Terza Reyhan said:

Saya bantu gambar saja :crying:

 

14) Kok saya nemunya gak bulat (16/15), ya?

A.jpg

Jika kuadrat dari panjang jari-jari w adalah a/b di mana a dan b adalah bilangan bulat positif yang relatif prima, tentukan nilai a + b.
...kalau pakai jawaban anda berarti jawabannya 16+15=31 '_'

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, BuruhTani21 said:

No 13 hintnya gimana ya???

 

Hint Nomor 13

 

Spoiler

Perhatikan bahwa (a_3)/(a_2) = (a_2)/(a_1) + 2016/(a_1)(a_2) dan sederhanakan (a_2016)^2+(a_2015)^2/(a_2016)(a_2015) menjadi (a_2016)/(a_2015) + (a_2015)/(a_2016)

 

18 minutes ago, -_- said:

Jika kuadrat dari panjang jari-jari w adalah a/b di mana a dan b adalah bilangan bulat positif yang relatif prima, tentukan nilai a + b.
...kalau pakai jawaban anda berarti jawabannya 16+15=31 '_'

 

wah... kok jumlah?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now