Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

IMO 2016 No 5 - Menghapus faktor di papan tulis

Recommended Posts

Persamaan $$(x-1)(x-2)\cdot (x-2016)=(x-1)(x-2)\cdot (x-2016)$$ ditulis di papan, dengan 2016 faktor linear pada masing-masing sisi. Berapakah bilangan asli terkecil $k$ supaya dimungkinkan untuk menghapus tepat $k$ dari 4032 faktor linear tersebut sedemikian sehingga masing-masing sisi memiliki setidaknya satu faktor dan persamaan yang tersisa tidak mempunyai solusi real?

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Akan dibuktikan bahwa $2016$ adalah nilai minimum dari $k$.
 
Jika kita menghapus kurang dari $2016$ faktor, persamaan yang diterima berisi setidaknya $2017$ faktor tersisa. Karena hanya terdapat $2016$ jenis faktor yakni $x-1$, $x-2$,..., $x-2016$, maka menurut pigeonhole principle terdapat faktor yang muncul $2$ kali. Faktor tersebut terdapat pada kedua sisi persamaan, sehingga persamaan akan mendapatkan solusi. Oleh karena itu, diperoleh $k\geqslant 2016$.
 
Akan dibuktikan memenuhi untuk $k=2016$

Kita dapat menghapus faktor sedemikian sehingga diperoleh persamaan $$(x-1)(x-3)...(x-2015)=(x-2)(x-4)...(x-2016)...(1) $$ untuk $k=2016$ dari persamaan asli.
 
*Untuk $x\in \left \{ 1;2;...;2016 \right \}$, jelas bahwa persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk $x< 1$ maka $2015-x<2016-x$ ,..., $1-x<2-x$. Kedua sisi di atas haruslah positif sehingga berakibat $LHS(1)<RHS(1)$. $\rightarrow$ persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk $1<x<2$, maka $LHS(1)<0<RHS(1)$ .$\rightarrow$ persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk $2<x<3$, maka $2015-x<2016-x$ ,..., $3-x<4-x$, $x-1<x-2$. berakibat $-LHS(1)<-RHS(1)$ $\Leftrightarrow$ $LHS(1)>RHS(1)$. $\rightarrow$ persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk $3<x<4$, maka $LHS(1)>0>RHS(1)$ sehingga persamaan juga tidak memiliki solusi real.
 
Sisa kasus dapat kita buktikan dengan cara yang sama.

 
Jadi, terbukti $k_{min}=2016$.

cmiiw :)

Edited by theoneandonly

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 13/7/2016 at 6:12 PM, theoneandonly said:
  Reveal hidden contents

Akan dibuktikan bahwa 20162016 adalah nilai minimum dari kk .
 
Jika kita menghapus kurang dari 20162016 faktor, persamaan yang diterima berisi setidaknya 20172017 faktor tersisa. Karena hanya terdapat 20162016 jenis faktor yakni x1x−1 , x2x−2 ,..., x2016x−2016 , maka menurut pigeonhole principle terdapat faktor yang muncul 22 kali. Faktor tersebut terdapat pada kedua sisi persamaan, sehingga persamaan akan mendapatkan solusi. Oleh karena itu, diperoleh k2016k⩾2016 .
 
Akan dibuktikan memenuhi untuk k=2016k=2016

Kita dapat menghapus faktor sedemikian sehingga diperoleh persamaan

(x1)(x3)...(x2015)=(x2)(x4)...(x2016)...(1)(x−1)(x−3)...(x−2015)=(x−2)(x−4)...(x−2016)...(1)

untuk k=2016k=2016 dari persamaan asli.
 
*Untuk x{1;2;...;2016}x∈{1;2;...;2016} , jelas bahwa persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk x<1x<1 maka 2015x<2016x2015−x<2016−x ,..., 1x<2x1−x<2−x. Kedua sisi di atas haruslah positif sehingga berakibat LHS(1)<RHS(1)LHS(1)<RHS(1). persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk 1<x<21<x<2 , maka LHS(1)<0<RHS(1)LHS(1)<0<RHS(1) . persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk 2<x<32<x<3 , maka 2015x<2016x2015−x<2016−x ,..., 3x<4x3−x<4−x, x1<x2x−1<x−2. berakibat LHS(1)<RHS(1)−LHS(1)<−RHS(1)LHS(1)>RHS(1)LHS(1)>RHS(1) . persamaan tidak memiliki solusi real.
 
*Untuk 3<x<43<x<4 , maka LHS(1)>0>RHS(1)LHS(1)>0>RHS(1) sehingga persamaan juga tidak memiliki solusi real.
 
Sisa kasus dapat kita buktikan dengan cara yang sama.

 

 
Jadi, terbukti kmin=2016kmin=2016 .

cmiiw :)

1008.5 bang

Edited by SENA

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 hours ago, theoneandonly said:

maksudnya?

Kalau $x=1008.5$ di solusi anda persamaannya terpenuhi, jadi "penghapusan" seperti itu belum memenuhi kriteria soal.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×