Sign in to follow this  
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Juli 2016 - Bagian A

Recommended Posts

  1. Henry, Ilhan, Johan, dan empat orang lainnya mengikuti suatu perlombaan. Pada akhir perlombaan, masing-masing dari ketujuh orang tersebut diberi peringkat dari $1,2,\ldots,$ sampai $7$. Jika diketahui bahwa peringkat Johan lebih tinggi daripada peringkat Ilhan, dan peringkat Ilhan lebih tinggi daripada peringkat Henry, tentukan banyaknya susunan peringkat yang mungkin.
  2. Diketahui bahwa jumlah dari 10 buah bilangan prima berurutan adalah $x$, yang merupakan bilangan ganjil. Tentukan nilai terbesar yang mungkin bagi $x$.
  3. Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $D$ adalah titik tengah $BC$. Diketahui bahwa $\angle ADC=60^\circ$, $AB=10$, dan $AC=8$. Jika luas segitiga $ABC$ adalah $x\sqrt{y}$, dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan asli dan $y$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari bilangan prima apa pun, tentukan nilai dari $x+y$.
  4. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang memenuhi selisih kuadrat bilangan tersebut dengan kuadrat bilangan yang diperoleh dengan membalikkan kedua angka dari bilangan tersebut adalah $1584$. (Catatan : $\overline{0a}$ sama dengan bilangan satu angka $\overline{a}$).
  5. Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $BE$ dan $CF$ adalah dua garis tingginya. Apabila $\angle BAC = 60^{\circ}$ dan $p(XYZ)$ menyetakan keliling segitiga $XYZ$, tentukan nilai dari $210 \times \frac{p(AEF)}{p(ABC)}$.
  6. Untuk setiap bilangan bulat positif $k$, misalkan $\alpha_k$ adalah bilangan real positif yang memenuhi persamaan $x^2-kx-1=0$. Tentukan bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga $\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n\geq 2016$.
  7. Misalkan $P$ adalah sebuah segi-banyak beraturan dengan $n \ge 4$ sisi. Empat titik sudut berbeda $A$, $B$, $C$, dan $D$ dipilih secara acak dari segi-banyak tersebut (permutasi dihitung berbeda). Misalkan peluang bahwa garis $AB$ dan $CD$ berpotongan di dalam segi-banyak adalah $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi $FPB(a,b) = 1$. Tentukan nilai dari $a \times b$.
  8. Misalkan $ABC$ adalah sebuah segitiga sama kaki dengan $AB=AC$ dan $\angle A=100^\circ$. Titik $D$ terletak pada sinar $AC$ sedemikian sehingga $AD=BC$. Tentukan besar $\angle ABD$ (dalam derajat).
  9. Misalkan $$S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + 2016 \cdot 2^{2016}.$$ Jika $x$ adalah bilangan ganjil terbesar yang habis membagi $S$, dan $y$ adalah bilangan bulat terbesar sedemikian sehingga $2^y$ habis membagi $S$, tentukan nilai dari $x + y$.
  10. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ dengan $|x|\leq 100$ dan $|y|\leq 100$ yang memenuhi persamaan $x^2+4y=4xy+1$.
  11. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan panjang diameter lingkaran luar 25. $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis tinggi dari segitiga tersebut. Jika keliling dari segitiga $DEF$ adalah 32, tentukan luas dari segitiga $ABC$.
  12. \Diberikan sebuah bilangan bulat $n$ dengan $3 \le n \le 2016$. Sebanyak $n$ bilangan bulat disusun melingkar sedemikian sehingga setiap bilangan lebih besar dari jumlah bilangan yang berada pada urutan pertama dan kedua dari sebelah kanan bilangan tersebut. Misalkan $A(n)$ menyatakan nilai terbesar dari banyaknya bilangan positif di antara $n$ bilangan tersebut. Tentukan banyaknya nilai berbeda untuk $A(n)$, untuk setiap $n$ yang mungkin.
  13. Misal $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ adalah barisan yang memenuhi $a_0 = 0, a_1 = 1$, dan  $a_{n+2} = a_{n+1}+2a_n$ untuk semua bilangan bulat $n \geq 0$. Tentukan bilangan asli terkecil $k$ sedemikian sehingga $61 | a_k$.
  14. Misalkan $x,y,z$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz=2\sqrt{x+y-z}-x-2y+2z-\frac{5}{4}.\] Tentukan nilai dari $100(x+y+z)$.
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Muh. Fadlan said:

no. 4 itu, 40 memenuhi juga atau nggak sih?

 

no. 4 itu, 40 memenuhi juga atau nggak sih?

 

 

Kalo ane dapet 40, 53 sama 35

 

Jadi 40+53+35=128

Edited by BeingNotknown Ya

Share this post


Link to post
Share on other sites

no. 10

Spoiler

\[x^2+4y = 4xy+1 \]

\[x^2 - 1 = 4xy - 4y \]

\[(x-1)(x+1) = 4y(x-1) \]

Dengan syarat $x \neq 1$ maka

\[x+1 = 4y\]

\[x+1 \equiv 0 {\pmod 4}\]

\[x \equiv 3 {\pmod 4}\]

\[x = 3+4k\]

Substitusi ke persamaan awal:

\[3+4k+1 = 4y\]

\[4k+4 = 4y\]

\[y = k+1\]

cari nilai maksimal $k$ agar $x \leq 100$

\[3+4k \leq 100 \]

\[4k \leq 97 \]

\[k \leq 24.25 \]

 

karena diambil nilai $k$ bulat maka nilai maksimal untuk $k=24$.

cari nilai minimal $k$ agar $x \geq -100$

\[3+4k \geq -100 \]

\[4k \geq -103 \]

\[k \geq -25.75 \]

karena diambil $k$ bulat maka nilai minimal $k=-25$.

maka total pasangan $(x,y)$ yang memenuhi ada $25+1+24 = 50$

Benar gak kalo kayak gini?

Edited by Jun

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 minutes ago, Jun said:

no. 10

  Hide contents

 

x2+4y=4xy+1x2+4y=4xy+1

 

 

x21=4xy4yx2−1=4xy−4y

 

 

(x1)(x+1)=4y(x1)(x−1)(x+1)=4y(x−1)

 

Dengan syarat x1x≠1 maka

 

x+1=4yx+1=4y

 

 

x+10mod4x+1≡0mod4

 

 

x3mod4x≡3mod4

 

 

x=3+4kx=3+4k

 

Substitusi ke persamaan awal:

 

3+4k+1=4y3+4k+1=4y

 

 

4k+4=4y4k+4=4y

 

 

y=k+1y=k+1

 

cari nilai kk  maksimal kk  agar x100x≤100

 

3+4k1003+4k≤100

 

 

4k974k≤97

 

 

k24.25k≤24.25

 

 

karena diambil nilai kk bulat maka nilai maksimal untuk k=24.

cari nilai minimal kk agar x100x≥−100

 

3+4k1003+4k≥−100

 

 

4k1034k≥−103

 

 

k25.75k≥−25.75

 

karena diambil kk bulat maka nilai minimal k=-25.

maka total pasangan (x,y)(x,y) yang memenuhi ada 25+1+24 = 50

Benar gak kalo kayak gini?

Kalo $x=1$, berarti pasti memenuhi dong.(Gak ada yang bilang $x$ bukan 1). Berarti ada 50+201=251.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

ooh iya wkwk, aduh gak nyadar.

kalo $x=1$ semua nilai $y$ memenuhi ya asal berada dalam domain.

Edited by Jun

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Syukri Lukman said:

Dapatkan x=1 dari mana ya? Apa tengok2 aja dulu persamaannya ya ?

Dapatkan x=1 dari mana ya? Apa tengok2 aja dulu persamaannya ya ?

untuk x = 1 kan nanti jadi

$1+4y=4y+1$

$y=y$

maka $y$ mw brp pun bisa

karena banyaknya y yang memenuhi 201 jdi d tambah 201 pasangan

Edited by Lucas Lawrence

Share this post


Link to post
Share on other sites

no. 1 840 kan?

Spoiler

Untuk pengaturan Henry, Ilhan, dan Johan banyaknya susunan adalah ${7 \choose 3} = 35$ susunan.

Untuk pengaturan 4 siswa lainnya adalah $4! = 24$ susunan
Jadi banyaknya susunan seluruhnya yang mungkin adalah $35 \times 24 = 840$ 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, Muh. Fadlan said:

no. 1 840 kan?

  Reveal hidden contents

 

Bisa juga:

 

$\frac{7!}{3!} = 840$. Perhatikan bahwa untuk setiap kemungkinan di mana H > I > J, ada juga kemungkinan untuk H > J > I, I > H > J dst. Dengan kata lain dia simetris dengan $3!$ permutasi.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
16 hours ago, Muh. Fadlan said:

No 13 
caranya gimana yah 
aku pake brute force dapat 99 :D

 

10 hours ago, BeingNotknown Ya said:

Bukannya kalo 9 dapetnya 171? Ane malah 23

Spoiler

 

\(dapat 60 a_{n}=\frac{2^n-(-1)^n}{3}\)

Edited by Rahmat Esar Salsabil

Share this post


Link to post
Share on other sites
20 hours ago, Muh. Fadlan said:

No 13 
caranya gimana yah 
aku pake brute force dapat 99 :D

 

cara brute forcenya gimana ya? hehehe

aku cari rekursif $a_n = 2^n - (-1)^n\over 3$

setelah itu pake fermat's Little Theorem

$$2^n - (-1)^n \equiv 0 (\mod 61)$$

$$n=61-1=60$$

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this