Jump to content
Sign in to follow this  
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Juli 2016 - Bagian B Nomor 4

Recommended Posts

Tentukan semua tripel bilangan prima $(p,q,r)$ sedemikian sehingga $4p+4q,4q+4r,4r+4p$ ketiganya merupakan bilangan berpangkat empat (dengan kata lain, berbentuk $x^4$ untuk sebuah bilangan asli $x$).

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Misalkan, 4p + 4q = x4 , 4q + 4r = y4 , dan 4r + 4p = z4 , untuk x, y, dan z adalah bilangan asli

 

Untuk 4(p+q) = x4. Karena ruas kiri habis dibagi 4, maka ruas kanan habis dibagi 4, yang terjadi saat x genap. Karena jika x ganjil maka x4 1 (mod 4). Oleh karena itu x genap. Hal yang sama juga berlaku untuk y dan z yang haruslah genap.

 

Misalkan lagi x = 2k, y = 2l, dan z = 2m, untuk k, l, dan m adalah bilangan asli, maka

 

4(p+q) = (2k)4

 

4(p+q) = 16k4

 

Bagi kedua ruas dengan 4

 

p + q = 4k4 …………………………………………… (1)

 

dengan cara yang sama didapat

 

q + r  = 4l4 …………………………………………….…(2)

 

r + p  = 4m4 ………………………………………………(3)

 

Dengan menjumlahkan ketiga persamaan didapat

 

2p + 2q + 2r = 4k4 + 4l4 + 4m4

 

Bagi kedua ruas dengan 2 didapat

 

p + q + r = 2(k4 + l4+ m4)

 

Perhatikan bahwa ruas kanan habis dibagi 2, akibatnya ruas kiri habis dibagi 2, artinya hanya ada 2 kemungkinan agar ruas kiri genap yaitu terdapat 1 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil atau ketiganya genap.
Kita bagi 2 kasus

 

·        Untuk 1 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil, tanpa mengurangi keumuman misalkan p adalah bilangan genap, sehingga q dan r adalah bilangan ganjil. Namun jika p genap dan q ganjil mengakibatkan p + q adalah ganjil, padahal ruas kanan adalah genap. Hal yang sama juga terjadi pada p + r. Yang artinya terjadi kontradiksi.

 

·        Untuk ketiganya bilangan genap, karena p, q, dan r adalah bilangan prima maka satu-satunya bilangan bilangan prima genap adalah 2, artinya untuk kasus ini tripel yang mungkin adalah (2, 2, 2).

 

Mudah dicek bahwa tripel tersebut memenuhi, yang ketiga 4p + 4q, 4q + 4r, dan 4r + 4p menghasilkan nilai 16 = 24

 

Jadi, tripel (p, q, r) yang memenuhi adalah (2, 2, 2)

 

Bisa gak kayak gini?

Edited by Muh. Fadlan
  • Upvote 4

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

17 hours ago, Muh. Fadlan said:
  Reveal hidden contents

Bisa gak kayak gini?

 Sudah keren! :)

Share this post


Link to post
Share on other sites
18 hours ago, Muh. Fadlan said:
  Hide contents

Misalkan, 4p + 4q = x4 , 4q + 4r = y4 , dan 4r + 4p = z4 , untuk x, y, dan z adalah bilangan asli

 

Untuk 4(p+q) = x4. Karena ruas kiri habis dibagi 4, maka ruas kanan habis dibagi 4, yang terjadi saat x genap. Karena jika x ganjil maka x4 1 (mod 4). Oleh karena itu x genap. Hal yang sama juga berlaku untuk y dan z yang haruslah genap.

 

Misalkan lagi x = 2k, y = 2l, dan z = 2m, untuk k, l, dan m adalah bilangan asli, maka

 

4(p+q) = (2k)4

 

4(p+q) = 16k4

 

Bagi kedua ruas dengan 4

 

p + q = 4k4 …………………………………………… (1)

 

dengan cara yang sama didapat

 

q + r  = 4l4 …………………………………………….…(2)

 

r + p  = 4m4 ………………………………………………(3)

 

Dengan menjumlahkan ketiga persamaan didapat

 

2p + 2q + 2r = 4k4 + 4l4 + 4m4

 

Bagi kedua ruas dengan 2 didapat

 

p + q + r = 2(k4 + l4+ m4)

 

Perhatikan bahwa ruas kanan habis dibagi 2, akibatnya ruas kiri habis dibagi 2, artinya hanya ada 2 kemungkinan agar ruas kiri genap yaitu terdapat 1 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil atau ketiganya genap.
Kita bagi 2 kasus

 

·        Untuk 1 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil, tanpa mengurangi keumuman misalkan p adalah bilangan genap, sehingga q dan r adalah bilangan ganjil. Namun jika p genap dan q ganjil mengakibatkan p + q adalah ganjil, padahal ruas kanan adalah genap. Hal yang sama juga terjadi pada p + r. Yang artinya terjadi kontradiksi.

 

·        Untuk ketiganya bilangan genap, karena p, q, dan r adalah bilangan prima maka satu-satunya bilangan bilangan prima genap adalah 2, artinya untuk kasus ini tripel yang mungkin adalah (2, 2, 2).

 

Mudah dicek bahwa tripel tersebut memenuhi, yang ketiga 4p + 4q, 4q + 4r, dan 4r + 4p menghasilkan nilai 16 = 24

 

Jadi, tripel (p, q, r) yang memenuhi adalah (2, 2, 2)

 

Bisa gak kayak gini?

Kita satu pemikiran btw ._.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×