Sign in to follow this  
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Agustus 2016 - Bagian A

Recommended Posts

1. Terdapat dua bola merah dan dua bola biru dalam satu kantong. Tontowi mengambil dua bola secara acak dari kantong tersebut dan Liliyana mengambil dua bola sisanya. Jika $p$ menyatakan peluang Liliyana mendapatkan dua bola berwarna sama, tentukan nilai dari $\lfloor 100p \rfloor$.

Keterangan: $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$.

2. Misalkan $ABCD$ adalah sebuah lintasan berbentuk persegi panjang dengan $AB = 20$ dan $BC = 16$. Sebuah kereta kencana, traktor, odong-odong, dan motor bebek terletak pada titik $A$, $B$, $C$, dan $D$, berturut-turut. Pada suatu waktu, keempat kendaraan mulai bergerak secara serentak mengelilingi lintasan dengan rute $A-B-C-D-A$ (dan seterusnya) dengan kecepatan tetap. Diketahui bahwa perbandingan kecepatan kereta, traktor, odong-odong, dan motor adalah 2:9:11:18. Pada suatu titik di lintasan, keempat kendaraan bertemu untuk pertama kalinya dan langsung berhenti. Tentukan total jarak yang telah ditempuh seluruh kendaraan.

3. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ berturut-turut 19, 26, dan 21. Titik $D$ terletak pada $AC$ dan $E$ pada $AB$ sedemikian sehingga $BD$ dan $CE$ adalah garis bagi $\angle B$ dan $\angle C$, berturut-turut. Tentukan nilai dari $\left\lfloor\frac{100AD}{AE}\right\rfloor$.

4. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ sedemikian sehingga $a+b=2016$ dan $a$ dan $b$ keduanya tidak habis dibagi 3.

5. Terdapat sepuluh murid yang mengikuti ujian matematika. Diketahui bahwa setiap soal dikerjakan oleh tepat tujuh murid. Jika sembilan murid pertama masing-masing mengerjakan empat soal, tentukan banyaknya soal yang dikerjakan murid yang kesepuluh.

6. Sebuah bilangan real positif dituliskan pada setiap sisi sebuah kubus. Selanjutnya, pada setiap titik sudut kubus dituliskan hasil dari perkalian tiga buah bilangan pada sisi-sisi yang memuat titik tersebut. Diketaui bahwa hasil penjumlahan dari semua bilangan yang tertera pada titik-titik sudut kubus adalah $100$. Tentukan bilangan bulat terkecil yang mungkin untuk hasil penjumlahan semua angka pada sisi-sisi kubus.

7. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan sisi-sisi $AB = 2$, $BC = 3\sqrt{3}$, dan $AC = \sqrt{13}$. Apabila $O_1$ dan $O_2$ adalah pusat segitiga sama sisi $ABC_1$ dan $BCA_1$, berturut-turut, dengan $C_1$ terletak pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$ dan $A_1$ terletak pada sisi yang berbeda dengan $A$ terhadap $BC$, tentukan nilai $3(O_1O_2)^2$.

8. Bona hanya memiliki sepatu berwarna hitam dan putih. Setiap hari, Bona selalu menggunakan sepatu dan hanya menggunakan satu jenis warna sepatu. Tentukan banyaknya cara Bona memilih sepatu yang dia gunakan dalam sepuluh hari dengan syarat bahwa satu jenis warna sepatu tidak digunakan sebanyak tiga kali berturut-turut.

9. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan \[xy^2-xy-y+x^2=1.\]

10. Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan lingkaran luar $\Gamma$. Misalkan pula $\ell$ adalah garis singgung $\Gamma$ di titik $B$. Garis bagi sudut $A$ memotong $BC$, $\Gamma$, dan $\ell$ di titik $D$, $E$, dan $F$, berturut-turut, sehingga $A$, $D$, $E$, dan $F$ terletak pada satu garis dalam urutan tersebut. Jika $AE=EF$, $BD=7$ dan $CD=9$, hitunglah nilai dari $AD^2$.

11. Barisan $(a_n)_{n=1}^\infty$ didefinisikan dengan $a_1=2$, $a_2=2016$, dan $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ untuk $n\geq 3$. Misalkan \[\sum_{i=2}^\infty\frac{2a_{i-1}}{a_i^2-a_{i-1}^2}=\frac{p}{q},\] dengan $p$ dan $q$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima. Hitunglah nilai dari $p+q$.

12. Sebuah bilangan asli empat-angka dikatakan \textit{ktom} jika saat bilangan tersebut difaktorisasi prima, jumlah faktor-faktor primanya sama dengan jumlah eksponennya (pangkatnya). Sebagai contoh, 2000 adalah bilangan ktom karena $2000 = 2^4 5^3$ dan $2+5=4+3$. Tentukan hasil jumlah semua bilangan ktom.

13. Diberikan sebuah persegi panjang $2 \times 10$ yang terdiri atas 20 persegi satuan. Tentukan banyaknya cara mewarnai persegi-persegi satuan tersebut dengan warna hitam atau putih sedemikian sehingga setiap persegi $2 \times 2$ mengandung tepat 2 persegi satuan putih dan persegi satuan hitam. Perhatikan bahwa pewarnaan yang diperoleh dari rotasi atau refleksi suatu pewarnaan lain dianggap berbeda dari pewarnaan asalnya.

14. Misalkan $\gamma$ adalah lingkaran dalam segitiga $ABC$ dan $D$ titik pada segmen $BC$. Misalkan pula $X$ adalah perpotongan $AD$ dengan $\gamma$ di mana $X$ lebih dekat ke $A$ dibandingkan ke $D$. Jika jari-jari $\gamma$ adalah $1$ dan $AX:XD:DC=1:3:10$, tentukan besar $p+q+r$ jika panjang $XD$ adalah $\frac{p\sqrt{q}}{r}$ dalam bentuk yang paling sederhana.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 4,

 

Spoiler

Perhatikan bahwa jika $a$ habis dibagi $3$ , maka $b$ juga habis dibagi $3$ .

 

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi 2016 angka 0 dan 1 angka 1 , dengan jumlah angka 0 di kiri angka 1 menyatakan $a$ dan jumlah angka 0 di kanan angka 1 menyatakan $b$

 

Misal
$00000 \cdots 0100$ menyatakan $a=2014$ dan $b=2$

 

Maka banyaknya pasangan $(a,b)$ adalah \[ \dbinom{2017}{1} = \frac{2017!}{2016!} = 2017 \]

 

Karena $(a,b)$ adalah pasangan bilangan asli, maka $a=0$ dan $b=0$ tidak memenuhi.

 

Maka banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ adalah \[ 2017 - 2 = 2015 \]

 

Jika $a$ dan $b$ habis dibagi 3, maka ada 671 pasangan $(a,b)$ , antara lain:

$a=1 \times 3 , b=671 \times 3$

$a=2 \times 3 , b=670 \times 3$

$\vdots$

$a=671 \times 3 , b=1 \times 3$

 

Maka banyaknya pasangan bilangan asli $(a,b)$ yang tidak habis dibagi 3 adalah \[ 2015 - 671 = 1344 \]

CMIIW

Edited by BeingNotknown Ya

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 minutes ago, William Hilmy said:

 

Caranya gmn ya?

Susah jelasinnya.. butuh gambar.. 
Yang jelasnya bagi kasus untuk yang kotak $2 \times 1$ paling kiri sama warnanya dan untuk kotak $2 \times 1$ paling kiri beda warna (hitam putih). 
 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 11,

tolong dikoreksi~

 

Spoiler

\[\sum_{i=2}^\infty \frac{2a_{i-1}}{a_i^2 - a_{i-1}^2} = \frac{2a_1}{a_2^2-a_{1}^2} + \sum_{i=3}^\infty \frac{2a_{i-1}}{a_i^2 - a_{i-1}^2}\]

 

Mari lupakan $\frac{2a_1}{a_2^2-a_{1}^2}$ sejenak.

 

\[\sum_{i=3}^\infty \frac{2a_{i-1}}{a_i^2 - a_{i-1}^2} = \sum_{i=3}^\infty \frac {a_i - a_{i-2}}{(a_i+a_{i-1})(a_i-a_{i-1})}\]

 

Lah Being, Kok bisa gitu?

Ini diambil dari persamaan soal, $a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2}$ untuk setiap $n\geq3$ .

 

Mari kita lanjutkan, masih menggunakan persamaan soal, $a_n-a_{n-1}=a_{n-1}+a_{n-2}$ 

 

\[\sum_{i=3}^\infty \frac {a_i - a_{i-2}}{(a_i+a_{i-1})(a_i-a_{i-1})} =\sum_{i=3}^\infty \frac {a_i - a_{i-2}}{(a_i+a_{i-1})(a_{i-1}+a_{i-2})}\]

 

Karena $\frac {a_i - a_{i-2}}{(a_i+a_{i-1})(a_{i-1}+a_{i-2})} = \frac1{a_{i-1}+a_{i-2}}-\frac1{a_i+a_{i-1}}$

 

Limit tak hingga berguna di sini~

$\sum_{i=3}^\infty \frac {a_i - a_{i-2}}{(a_i+a_{i-1})(a_{i-1}+a_{i-2})} = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=3}^n \left (  \frac1{a_{i-1}+a_{i-2}}-\frac1{a_i+a_{i-1}}\right ) = \frac1{a_2+a_1}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{a_n+a_{n-1}}$

 

Pastinya, $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{a_n+a_{n-1}}=0$

 

Inget yang pertama tadi kita lupain? Nah sekarang baru pake itu.

\[\sum_{i=2}^\infty \frac{2a_{i-1}}{a_i^2 - a_{i-1}^2} =\frac{2a_1}{a_2^2-a_{1}^2} + \frac1{a_2+a_1}=\frac{2a_1}{(a_2+a_1)(a_2-1)} + \frac{a_2-a_1}{(a_2+a_1)(a_2-a_1)} = \frac{a_2+a_1}{(a_2+a_1)(a_2-a_1)}=\frac1{a_2-a_1}=\frac1{2014}\]

 

$1+2014=2015$

Maap kalo ada salah ketik dan salah cara~

 

 

CMIIW, ada langkah yang salah kah?

Edited by BeingNotknown Ya
Geregetan
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Muh. Fadlan said:

Bukannnya bilangan ktom kurang dari 9000 yah
Kan bilangan ktom bilangan 4 digit

 

Tentukan hasil jumlah semua bilangam ktom.....

 

Aku nangkepnya, itu ditambah semua :v Bilangan ktom yang aku temuin kayaknya lebih dari 5 tapi kurang dari 15. Trus tak jumlahin semua hasilnya 46029

Share this post


Link to post
Share on other sites

Kalo nomor 5 aku.....

 

 

9x4=36

 

Karena setiap soal dikerjain 7 orang, maka orang terakhir harus mengerjakan soal yang mengakibatkan jumlah soal yang total mereka kerjakan habis dibagi 7. Karena dah ada 36, maka orang terakhir ngerjain 6 biar jadi 42

 

 

Jawabanku 6

1 hour ago, BeingNotknown Ya said:

Nomor 5 itu caranya 9×46mod79×4≡6mod7 'kan?

Btw 36≡1(mod 7)

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

Spoiler

No. 8 itu jawabannya 288.. Coba lihat dari hari satu, hari kedua, hari ketiga, dan hari selanjutnya yang mungkin..


didapat bahwa untuk hari ke-n untuk $n>2$ banyaknya kemungkinan adalah jumlah dari dua hari sebelumnya..


karena banyaknya kemungkinan hari pertama adalah 2 dan hari kedua adalah 4.. Maka kita bisa menghitung barisannya adalah


2,4,6,10,16,26,42,68,110,178,288..

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
45 minutes ago, Muh. Fadlan said:

 

  Hide contents

No. 8 itu jawabannya 288.. Coba lihat dari hari satu, hari kedua, hari ketiga, dan hari selanjutnya yang mungkin..


didapat bahwa untuk hari ke-n untuk n>2n>2 banyaknya kemungkinan adalah jumlah dari dua hari sebelumnya..


karena banyaknya kemungkinan hari pertama adalah 2 dan hari kedua adalah 4.. Maka kita bisa menghitung barisannya adalah


2,4,6,10,16,26,42,68,110,178,288..

Lah itu memang 288, tapi kalo 11 hari mas :v kalo 10 hari nanti jadinya 178. Aku 178 ^v^

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Muh. Fadlan said:

 

  Hide contents

No. 8 itu jawabannya 288.. Coba lihat dari hari satu, hari kedua, hari ketiga, dan hari selanjutnya yang mungkin..


didapat bahwa untuk hari ke-n untuk n>2n>2 banyaknya kemungkinan adalah jumlah dari dua hari sebelumnya..


karena banyaknya kemungkinan hari pertama adalah 2 dan hari kedua adalah 4.. Maka kita bisa menghitung barisannya adalah


2,4,6,10,16,26,42,68,110,178,288..

 

Itu gimana caranya, nambahin yang nambahin 2 hari sebelumnya? Saya masih belum ngerti....

Share this post


Link to post
Share on other sites
33 minutes ago, azzam2912 said:

Itu gimana caranya, nambahin yang nambahin 2 hari sebelumnya? Saya masih belum ngerti....

Secara mudah dapat dikatakan bahwa banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi adalah 2 kali barisan fibonacci....

 

Ini fibonacci

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,....

 

Dan ini banyaknya kemungkinan(2 kalinya)

 

2,4,6,10,16,26,42,68,110,178,288....

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
55 minutes ago, Muhammad Wishka Al Hafiidh said:

Secara mudah dapat dikatakan bahwa banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi adalah 2 kali barisan fibonacci....

 

Ini fibonacci

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,....

 

Dan ini banyaknya kemungkinan(2 kalinya)

 

2,4,6,10,16,26,42,68,110,178,288....

Kak, Gimana caranya kok bisa berbentuk 2 kali barisan fibonacci ?

55 minutes ago, Muhammad Wishka Al Hafiidh said:

Secara mudah dapat dikatakan bahwa banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi adalah 2 kali barisan fibonacci....

 

Ini fibonacci

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,....

 

Dan ini banyaknya kemungkinan(2 kalinya)

 

2,4,6,10,16,26,42,68,110,178,288....

Kak, Gimana caranya kok bisa berbentuk 2 kali barisan fibonacci ?

Share this post


Link to post
Share on other sites
7 hours ago, Muhammad Wishka Al Hafiidh said:

Kalo nomor 5 aku.....

 

 

9x4=36

 

Karena setiap soal dikerjain 7 orang, maka orang terakhir harus mengerjakan soal yang mengakibatkan jumlah soal yang total mereka kerjakan habis dibagi 7. Karena dah ada 36, maka orang terakhir ngerjain 6 biar jadi 42

 

 

Jawabanku 6

Btw 36≡1(mod 7)

Jiah iyak. Maksudnya begitu~

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ada yang 288, ada yang 178, ane 89

 

Mungkin ada yang bisa koreksi dimana letak kesalahannya

Spoiler

Seperti nomor 4, ane masih menggukan angka 0 dan angka 1

 

Kira-kira seperti ini

 

H_H_H_H_H_H_H_H_H_H (H-nya ada 10, menandakan 10 hari)

Kalo H0H artinya dalam kedua hari tersebut warnanya sama

H1H artinya dalam kedua hari tersebut warnanya beda

 

Misal H0H1H1H0H1H1H0H1H0H, ini artinya hari pertama sama hari kedua warnanya sama, sedangkan sama hari ketiga warnanya berbeda, dan seterusnya. Ane harap kalian semua paham apa yang ane maksud.

 

Seperti yang kalian lihat, ada 9 tempat untuk menempatkan 0 dan 1

Dan karena 3 hari berurutan warna sepatu tidak boleh sama, maka tidak boleh ada angka 0 setelah angka 0. Tetapi setelah angka 1, angka 1 ataupun 0 diperbolehkan.

 

Semoga kalian mengerti bagian ini.

 

Semoga keliatan gambarnya, dari gambar itu bisa kita lihat bahwa ada 2 kemungkinan bentuk H_H, yaitu H1H dan H0H

 

Ada 8 kemungkinan juga untuk bentuk H_H_H_H_H

 

2,3,5,8, dan kalo kalian coba lagi, pasti nemunya 13, dan seterusnya.

 

Ini Barisan Fibonacci, dan jawabannya menurut Barisan Fibonacci adalah 89.

 

Dan setelah ane ngetik ini semua, ane sadar, bahwa....

 

Kemungkinan warna pada hari pertama ada 2.

 

Jadi jawabannya adalah $2\times89=178$

 

CMIIW 

 

Langsung sadar~

fib.png

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Jonathan CN said:

Kak, Gimana caranya kok bisa berbentuk 2 kali barisan fibonacci ?

Kak, Gimana caranya kok bisa berbentuk 2 kali barisan fibonacci ?

 

 

Hari pertama bisa milih putih atau hitam. Ada 2 pilihan. Atau bisa ditulis 2(1)

 

Hari kedua ada 4 kemungkinan. HitamPutih,HitamHitam,PutihPutih,PutihHitam. Ada 2(2)

 

Misal Hitam=H. Putih=P

 

H+3.... HHP,HPH,HPP,PHH,PPH,PHP

 

Ada 2(3)

 

Begitu seterusnya....

 

Hari ke-

 

1→2(1)

2→2(2)

3→2(3)

4→2(5)

5→2(8)

6→2(13)

7→2(21)

8→2(34)

9→2(55)

10→2(89)→178

 

Nah jadi jawabanku 178

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this