Jump to content
Sign in to follow this  
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Agustus 2016 - Bagian B Nomor 1

Recommended Posts

a. Jika ada $kn+1$ koin yang diletakkan ke dalam $n$ buah kotak, tunjukkan bahwa ada setidaknya satu kotak yang memuat $k+1$ koin. (Petunjuk: apa yang terjadi apabila setiap kotak paling banyak memuat $k$ koin?)

    Pernyataan di atas merupakan salah satu bentuk perumuman prinsip sangkar merpati (\textit{pigeonhole principle}).

b. Diberikan papan catur berukuran $8\times 8$. Sebanyak $m$ buah koin akan diletakkan pada papan tersebut sedemikian sehingga setiap kotak berukuran $1\times 1$ paling banyak memuat satu koin.
        i. Jika $m=33$, manfaatkan bagian (a) untuk menunjukkan bahwa ada kotak berukuran $2\times 1$ yang memuat dua koin.
        ii. Jika $m=32$, berikan sebuah contoh cara meletakkan koin-koin tersebut sedemikian sehingga setiap kotak berukuran $2\times 1$ paling banyak memuat satu koin.
        iii. Jika $m=33$, tunjukkan bahwa ada kotak berukuran $2\times 4$ yang memuat setidaknya lima koin.
        iv. Tentukan nilai $m$ terkecil sedemikian sehingga untuk setiap konfigurasi $m$ koin di papan tersebut, \textit{pasti selalu} terdapat tiga buah kotak berukuran $1\times 1$ dengan sifat masing-masing kotak memuat satu koin dan salah satu kotak bersebelahan dengan dua kotak lainnya.

        Catatan: dua kotak berbeda dikatakan bersebelahan jika kedua kotak tersebut berbagi sisi yang sama.

Share this post


Link to post
Share on other sites
20 hours ago, Muhammad Wishka Al Hafiidh said:

Sepertinya jika koin diletakkan di salah satu warna pada persegi di papan catur, keempat soal tersebut bisa dipecahkan lebih lanjut dengan mudah. Semua tersebut terbukti. Dan nomor 4 jawabannya m=33

jelasin dong kk :D

Share this post


Link to post
Share on other sites

1. a. pernyataannya kurang tepat kayaknya. Konstruksi aja (n-2) kotak ada $k$ koin, 1 kotak $k-1$ koin, maka 1 kotaknya lagi cuma $k+2$ koin. Nah ga ada yang $k+1$ tuh.

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, Pebrudal Zanu said:

1. a. pernyataannya kurang tepat kayaknya. Konstruksi aja (n-2) kotak ada k koin, 1 kotak k1 koin, maka 1 kotaknya lagi cuma k+2 koin. Nah ga ada yang k+1 tuh.

Bukannya kalau ada x koin di dalam kotak boleh juga dibilang ada x-1 koin di dalam kotak?  

Share this post


Link to post
Share on other sites

Saya rasa itu kurang tepat sih, untuk pernyataan "Ada kotak yang memuat $k+1$..."(padahal tidak ada)

https://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle 

(Disana pakai istilah objek dan sets)

Kalau menurut pemahaman saya itu harusnya pakai "at least" seperti yang di wikipedia, agar tak rancu. Dia bilang setidaknya ada satu kotak yang memuat $k+1$ koin. Saya rasa itu ya kurang tepat, mungkin lebih tepatnya ada satu kotak yang memuat paling sedikit $k+1$ koin.

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, Pebrudal Zanu said:

1. a. pernyataannya kurang tepat kayaknya. Konstruksi aja (n-2) kotak ada kk koin, 1 kotak k1k−1 koin, maka 1 kotaknya lagi cuma k+2k+2 koin. Nah ga ada yang k+1k+1 tuh.

kan setidaknya k+1 , artinya boleh lebih

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 8/25/2016 at 0:48 PM, Muhammad Wishka Al Hafiidh said:

Sepertinya jika koin diletakkan di salah satu warna pada persegi di papan catur, keempat soal tersebut bisa dipecahkan lebih lanjut dengan mudah. Semua tersebut terbukti. Dan nomor 4 jawabannya m=33

 

10 hours ago, donjar said:

jelasin dong kk :D

 

2 hours ago, Muhammad Wishka Al Hafiidh said:

Menurutku lebih tepat juga sih gitu. Minimal ada kotak berisi k+1 koin

Wah aku bingung kak njelasinnya kalo cuma tulisan gini ^v^

 

kalau misalnya, bagi 8x8 kotak ke 32 kotak berukuran 2x1 lalu letakkan koin supaya ga ada kotak berukuran 2x1 yang memuat 2 koin sama kayak contoh b(ii) nanti jika kita memasukkan 1 koin lagi, pasti kiri kanan atau apanya stidaknya ada 2 sebelahnya terdapat koin....

tinggal d simplykan aja bahasanya

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 8/26/2016 at 3:59 PM, Pebrudal Zanu said:

Saya rasa itu kurang tepat sih, untuk pernyataan "Ada kotak yang memuat k+1k+1 ..."(padahal tidak ada)

https://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle 

(Disana pakai istilah objek dan sets)

Kalau menurut pemahaman saya itu harusnya pakai "at least" seperti yang di wikipedia, agar tak rancu. Dia bilang setidaknya ada satu kotak yang memuat k+1k+1 koin. Saya rasa itu ya kurang tepat, mungkin lebih tepatnya ada satu kotak yang memuat paling sedikit k+1k+1 koin.

 

Oke, sepertinya ane mengerti maksudnya gimana.

 

Jadi gini,

On 8/24/2016 at 1:04 AM, KTO Matematika said:

ada setidaknya satu kotak yang memuat k + 1 koin

Artinya, ada 1 atau lebih kotak yang persis memuat k + 1 koin. Jadi, jika ada kotak yang memuat k + 2 koin, tetapi tidak ada satu kotak pun yang persis memuat k+1 koin, maka pernyataan tersebut dianggap salah.

 

Bagaimana kalau pernyataannya seperti ini
"ada satu kotak yang setidaknya memuat k + 1 koin"

Artinya, ada satu kotak yang memuat k + 1 koin atau lebih. Dan pernyataan inilah yang lebih tepat.

 

Kenapa pernyataan 2 tidak menggunakan kata "persis" ?

Coba kita lihat lagi pernyataan kedua

"ada satu kotak yang setidaknya memuat k + 1 koin"

Ada kata "ada". Walaupun ada 2 kotak yang memuat k + 1 koin, itu artinya ada 1 kotak yang memuat k + 1 koin.

 

Jadi kesimpulannya, salah penempatan kata "setidaknya" ,'kan?

 

Hikmah yang dapat kita ambil dari sini adalah "penempatan kata yang berbeda bisa menimbulkan pemahaman yang berbeda"

 

Dan, ini rame cuma gara-gara beginian?

Sekalian, nomor b. (iv) ada yang mau ngasih cara?

Share this post


Link to post
Share on other sites
53 minutes ago, BeingNotknown Ya said:

Sekalian, nomor b. (iv) ada yang mau ngasih cara?

Kalimat pada nomor b (iv) bisa diubah menjadi tentukan nilai $m$ minimum agar setidaknya ada $3$ koin pada kotak $2*2$, didapat $m$ minimal 33

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×