Jump to content
Sign in to follow this  
Administrator

LM UGM 27 - SMP - 20 besar

Recommended Posts

Pada segitiga sama kaki ABC, AB=AC. Suatu lingkaran $\omega$ menyinggung BC dan lingkaran luar ABC di dalam di busur BC yang tidak memuat A. Misalkan N di $\omega$ sehingga AN adalah garis singgung lingkaran tersebut. Buktikan bahwa AB=AN.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Misal jari-jari lingkaran luarnya adalah $R$ dan jari-jari lingkaran $\omega$ adalah $r$. Misalkan pula $BC=a$ dan $AB=AC=b$. Dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar, diperoleh $R=\frac{ab^2}{4L}=\frac{ab^2}{\frac{4a(2R-2r)}{2}}=\frac{b^2}{4(R-r)}$, atau bisa ditulis $b^2=4R(R-r)$.

Lalu, dengan menggunakan Pythagoras, $AN^2=(2R-r)^2-r^2=4R^2-4Rr=4R(R-r)=b^2$. Sehingga diperoleh $AN^2=AB^2$, dan berakibat $AN=AB$.

Edited by erwinekow
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Apa bisa seperti ini

Misalkan $\omega$ menyinggung $BC$ dan lingkaran luar segitiga $ABC$ berturut-turut di $D$ dan $E$. Perhatikan bahwa homothety dengan pusat $E$ dan rasio $\frac{R}{r}$ (definisi $r$ dan $R$ seperti punyanya mas Erwin di atas) memetakan $D$ ke $A$ sehingga $A,D,E$ segaris. Selain itu, $\angle ABD=\angle ACB=\angle DEB$. Akibatnya $ABD$ sebangun dengan $AEB$. Sehingga diperoleh
   \[
   \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Leftrightarrow AB^2=AD\times AE
   \]
Namun dengan Power of Point diperoleh pula $AN^2=AD\times AE$. Jadi, $AB^2=AN^2$. Dengan demikian $AB=AN$

Edited by tutur
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Maaf, ternyata jawaban saya salah, saya kira lingkarannya di tengah, ternyata bisa bebas.

 

Saya coba buktikan $A,D,E$ segaris tanpa menggunakan homotethy: Misal $O$ adalah titik pusat lingkaran luar $ABC$, $P$ adalah titik pusat lingkaran $\omega$, dan $M$ adalah titik tengah $BC$. Perhatikan bahwa $\angle{OMB}=\angle{PDM}=\frac{\pi}{2}$, dan berakibat $AM$ sejajar dengan $PD$. Karena $O,P,E$ segaris, perhatikan bahwa $\frac{r}{R}=\frac{EP}{EO}=\frac{PD}{OA}$, maka haruslah $A,D,E$ segaris.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×