Jump to content
erwinekow

Persamaan Fungsi

Recommended Posts

Setelah hampir seharian mencoba..   Sepertinya ini bukan soal olimpiade... salah satu fungsi aneh yang memenuhi kondisi diatas dapat di "kontstruksi" (by Axiom of Choice) sebagai berikut:

 

Pandang $Q$ sebagai normal subgroup dari  $R$ ,  dari sini dengan Axiom Of Choice & (Hamel Basis) , kita bisa dapatkan representasi dari setiap coset dari $Q$.

 

Definisikan $f(x)=x$ untuk semua $x$ anggota $Q$ dan $f(x)=-x$ di setiap coset nya.  Fungsi ini memenuhi kondisi diatas.

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

Wah kok jadi nyambungnya ke grup ._.

Sebenernya iseng bikin soal. Awalnya mau $f(x+f(y))=f(x)+y$, tapi kayak pernah liat. Jadinya coba dikali 2.

 

Udah coba diskusi sama @Ricky TheIsing, cuma nemu sampe $f$ bijektif dan $f(x+f(0))=f(x)+f(0)$. Habis itu stuck. Tapi coba nebak solusi, $f(x)=x+f(0)$ memenuhi.

Share this post


Link to post
Share on other sites

No no, maksud saya: ini soalnya fungsinya bukan $x+k$ doang, ada uncountably many fungsi lain yang memenuhi, saya kasi salah satu fungsi aneh yg memenuhi ya.

 

sebenarnya fungsi yang saya kasi diatas juga memenuhi...   intinya fungsinya ada banyak, in fact ada uncountably many discontinuous functions yang memenuhi kondisi diatas. 

 

Makanya saya bilang ini bukan soal tipe olimpiade.

 

Konstruksi nya kayak yang saya bilang diatas.. saya coba jelasin lebih lanjut ya. Fakta berikut bisa dibuktikan:

Untuk setiap $x,y \in \mathbb{R}$. 
1. $f(f(x))=x + 2f(0)$. 

2. $f(-2f(0)) = -f(0)$.

3 $f(x-f(0)) = f(x)-f(0)$

4. $f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)$

 

Lalu dengan fakta diatas, dan melakukan substitusi $g(x)=f(x)-f(0)$. Maka diperoleh bahwa persamaan fungsi pada soal mengimplikasikan:

 

\[g(x+y)=g(x)+g(y) \qquad g(g(x))=x \qquad (1) \]

 

untuk setiap $x,y  \in \mathbb{R}$. 

 

TERNYATA, persamaan (1) diatas juga bisa dibalikin lagi ke persamaan soal, sehingga persamaan (1) berlaku jika dan hanya jika  persamaan soal berlaku.

 

 

Sekarang akan dibuktikan bahwa persamaan (1) mempunyai UNCOUNTABLY MANY solusi tak-kontinu. (dengan kata lain, ini sama aja klo kamu ngerjain fungsi Cauchy tapi ga dikasi monoton atau kekontinuan)

 

By Zermelo-Frankel Axiom, terdapat basis dari bilangan real ketika dipandang sebagai $\mathbb{Q}$-vector space.  Basis ini biasa kita sebut sebagai Hamel-Basis (silahkan Google)

Sebutlah Hamel Basis tersebut $\mathcal{B}= \{r_\alpha : \alpha \in I \}$ dimana $I$ adalah uncountable index set.

 

Ambil sebuah anggota di $\mathcal{B}$, say ambil $r_0$. Definisikan fungsi additive $g(x)$ yang memenuhi

 

$g(r_0)=r_0$  dan $g(x)=-x$  jika $x \in \mathcal{B} \ \{r_0\}$.

 

Untuk setiap $w \in \mathbb{R}$, karena $\mathcal{B}$ basis dalam $\mathbb{Q}$-vector space, maka terdapat bilangan rasional $q_1$, $q_2$, .. , $q_k$, ... sedemikian sehingg

 

\[w = q_1 r_{n_1}  + q_2 r_{n_2} + \cdots + q_k r_{n_k} \] 

 

[yes, Hamel Basis merepresentasikan $w$ hanya dengan finitely many chosen  elements ]

 

By additivity kita peroleh $g(w)= q_1 g(r_{n_1}) + \cdots + q_{n_k} g(r_{n_k})$ , perhatikan bahwa $g(r_{n_i})=-r_{n_i}$ hanya jika $n_i=0$, tapi walaupun demikian, tetap saja  $g(g(r_0)) = r_0$. Jadi kondisi $g(g(w))=w$ juga tetap terpenuhi,

 

Sehingga fungsi ga jelas diatas memenuhi soal.

 

 

 

 

 

 

    

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×