Jump to content
Someone

Trigonometri

Recommended Posts

Need Help o.0

Tentukan nilai dari ${\tan^2{10}}+{\cot^2{20}}+{\cot^2{40}}+1$

Thankyouu :* haha

Edited by Someone

Share this post


Link to post
Share on other sites

Karena $ \cot \theta =\tan \left( {90-\theta } \right)$ maka diperoleh

$$ S={{\tan }^{2}}10+{{\cot }^{2}}20+{{\cot }^{2}}40+1={{\tan }^{2}}10+{{\tan }^{2}}50+{{\tan }^{2}}70+1$$

Perhatikan bahwa untuk $ \theta =10{}^\circ ,50{}^\circ ,70{}^\circ $ kita memiliki $ {{\tan }^{2}}\left( {3\theta } \right)=1/3$ , selain itu kita juga memiliki

$$ \tan \left( {3\theta } \right)=\frac{{3\tan \theta -{{{\tan }}^{3}}\theta }}{{1-3{{{\tan }}^{2}}\theta }}$$

Sehingga $ {{\tan }^{2}}\left( {3\theta } \right)=1/3$ dapat dinyatakan sebagai

$${{\left( {1-3{{{\tan }}^{2}}\theta } \right)}^{2}}=3{{\left( {3\tan \theta -{{{\tan }}^{3}}\theta } \right)}^{2}}$$

Dengan sedikit manipulasi aljabar dan misalkan $ x=\tan \theta $ , diperoleh

$$ 3{{x}^{6}}-27{{x}^{4}}+33{{x}^{2}}-1=0$$

Dari definisi diatas, persamaan ini memiliki akar $ x=\tan 10{}^\circ $ , $ \tan 50{}^\circ $ dan $ \tan 70{}^\circ $. Karena semua pangkat dari $ x$ bernilai genap, ketiga akar lainnya haruslah $ x=-\tan 10{}^\circ $ , $ -\tan 50{}^\circ $ dan $ -\tan 70{}^\circ $. Jumlah kuadrat keenam akar tersebut adalah

$$ 2\left( {{{{\tan }}^{2}}10+{{{\tan }}^{2}}50+{{{\tan }}^{2}}70} \right)=2\left( {S-1} \right)=2S-2$$

Jika kita menuliskan keenam akar tersebut dengan $ {{x}_{1}},...,{{x}_{6}}$ ,dengan vieta formula kita  juga memperoleh

$$ 2S-2=\sum\limits_{i}{{{{x}_{i}}^{2}}}={{\left( {\sum\limits_{i}{{{{x}_{i}}}}} \right)}^{2}}-2\sum\limits_{{i<j}}{{{{x}_{i}}{{x}_{j}}}}={{0}^{2}}-2\left( {-27/3} \right)=18$$

Jadi kita simpulkan bahwa $ S=10$

Edited by Paryadi

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×