Jump to content
Sign in to follow this  
Adri

Geomeri yang susah digambar

Recommended Posts

Ruas garis  $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi dari segitiga lancip dan scalene $ABC$. Titik $X$, $Y$, dan $Z$ adalah titik singgung dari sisi-sisi segitiga $ABC$ dengan masing-masing excircle dari segitga $ABC$. Misalkan garis $EF$ menyinggung lingkaran dalam dari segitiga $ABC$. Buktikan bahwa  $A$, $X$, $Y$, dan $Z$  konsiklik. 

Share this post


Link to post
Share on other sites

hore masih bisa geo

Spoiler

misalkan $BC=b+c, AB=a+b, AC=a+c$. Perhatikan kalau $EF$ menyinggung lingkaran dalam dari segitiga $ABC$ berarti $EF+BC=CE+BF$. Karena $BECF$ siklis perhatikan kalau persamaan itu sama dengan $1+\cos A=\cos B +\cos C$. Dengan menggunakan identitas $\cos A=\frac{(a+b)^2+(a+c)^2-(c+b)^2}{2(a+c)(b+c)}=1-\frac{2bc}{(a+b)(a+c)}$ dan teman-temannya untuk $B,C$ diperoleh $1+\cos A=\cos B+\cos C \iff\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{ac}{(b+a)(b+c)}=\frac{bc}{(a+b)(a+c)}\iff\frac{a(a+b)}{c}+\frac{a(a+c)}{b}=b+c$. 

 

W.L.O.G $Y$ yang di $AB$, $X$ yang di $BC$

 

Kalau kita buat titik $T'$ di $BC$ sehingga $AYXT'$ siklis maka menurut power of point di $B$ diperolah $BT'=\frac{a(a+b)}{c}$ similarly kalau kita bikin $T''$ di $BC$ sehingga $AZXT''$ siklis maka $CT''=\frac{a(a+c)}{b}$. Namun dari persamaan sebelumnya diperoleh kalau $CT''+T'B=CB$, maka $T'=T''$. Berarti $AXYZ$ siklis hore.

 

Edited by sayakalah

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×