Jump to content
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika - Desember 2016 - Bagian A

Recommended Posts

1. Misalkan $ABCD$ adalah persegi panjang dengan $AB = 12$ dan $AD = 14$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $AD$ dan $N$ adalah titik tengah $CD$. Tentukan luas $BCNM$.

 

2. Diberikan dua polinomial $P(x)=x^4+x^3-11x^2-30x-24$ dan $Q(x)=x^3-x^2-14x+8$. Katakan sebuah akar real dari $P(x)$ atau $Q(x)$ \textit{unik} bila akar tersebut hanya dimiliki oleh tepat satu dari $P(x)$ dan $Q(x)$. Tentukan hasil kali semua akar unik dari $P(x)$ dan $Q(x)$.

 

3. Adi memiliki sebuah kotak ajaib. Jika suatu bilangan dua-angka dimasukkan ke dalam kotak tersebut, kotak tersebut akan mengubah bilangan tersebut dengan cara meletakkan angka 0 di antara angka puluhan dan satuan bilangan tersebut. Sebagai contoh, ketika dimasukkan angka 18, kotak ajaib tersebut akan mengeluarkan angka 108.

 

Sebuah bilangan dimasukkan ke dalam kotak ajaib. Diketahui bahwa jumlah bilangan yang dimasukkan dan bilangan yang keluar adalah 666. Tentukan bilangan yang dimasukan ke dalam kotak ajaib.

 

4. Misalkan $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Definisikan $m$ sebagai banyaknya himpunan bagian tak-kosong dari $A$ yang hasil penjumlahan setiap elemennya adalah bilangan genap dan $n$ adalah banyaknya himpunan bagian tak-kosong dari $A$ yang hasil perkalian setiap elemennya adalah bilangan genap. Tentukan nilai dari $m+ n$.

 

5. Diberikan tiga bilangan real $x$, $y$, dan $z$ yang memenuhi persamaan $$\frac{x}{3y-2z}=\frac{x+y}{z}=\frac{y}{3x}=r,$$ di mana $r$ adalah bilangan real positif. Tentukan jumlah semua nilai yang mungkin untuk $r$.

 

6. Titik $D$, $E$, dan $F$ terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ dari $\triangle ABC$, berturut-turut, sehingga $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis berat. Titik $X$, $Y$, dan $Z$ terletak pada segmen $AD$, $BE$, dan $CF$, berturut-turut, sehingga $AX:XD=1:1$, $AY:YE=1:3$, dan $AZ:ZF=1:4$. Misalkan \[\frac{\text{luas }\triangle ABC}{\text{luas }\triangle XYZ}=\frac{m}{n},\] dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $m+n$.

 

7. Seseorang ingin membagikan 20 buah buku identik kepada keempat anaknya sehingga setiap anak memeproleh minimal 1 buah buku dan setiap anak memperoleh jumlah buku yang berbeda. Tentukan banyaknya cara untuk membagikan kedua puluh buku tersebut.

 

8. Sebanyak 100 bilangan asli yang semuanya berbeda memiliki jumlah 8064. Misalkan $m$ dan $n$ berturut-turut menyatakan banyak maksimum dan minimum bilangan ganjil yang mungkin dari 100 bilangan tersebut. Tentukan nilai dari $m-n$.

 

9. Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan real taknol yang memenuhi kedua persamaan berikut:

\[(x+y)(y+z)(z+x)=24xyz, (x+2y)(y+2z)(z+2x)=60xyz \]

Jika $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{m}{n}$ untuk bilangan asli $m$ dan $n$ yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$.

 

10. Misalkan $S$ adalah hasil penjumlahan semua bilangan berbentuk $2^x3^y5^z$ dengan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan bulat taknegatif yang memenuhi persamaan $x+y+z=20$. Tentukan sisa pembagian $S$ oleh 1001.

 

11. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $D$ titik tengah $BC$. Jika panjang $AC = 12$, $\angle{DAC} = 78^{\circ}$ dan $\angle{DAB} = 51^{\circ}$, tentukan panjang $AD$.

 

12. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $x+y=2$. Jika nilai minimum dari $\sqrt{16+3x^2}+2\sqrt{73+3y^2}$ adalah $m$, tentukan nilai dari $m^2$.

 

13. Misalkan titik $D$ adalah titik tengah busur $BC$ yang memuat titik $A$ di lingkaran luar $\triangle ABC$. Misalkan $\angle ABC=2\angle ACB$ pada $\triangle ABC$. Misalkan juga garis tegak lurus $AC$ yang melewati titik $D$ memotong $AC$ di titik $E$. Diketahui panjang $CE=100$ dan $\sin \angle ACB=\frac13$. Jika panjang jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{1}{23}\left(a\sqrt{2}-b\right)$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, tentukan nilai dari $a+b$.

 

14. Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan asli sehingga \[(x^2+2)(y^2+3)(z^2+21)=120xyz.\] Misalkan $S$ adalah himpunan semua nilai $xyz$ yang mungkin Tentukan hasil penjumlahan semua anggota $S$.

Edited by KTO Matematika
latex
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 1

Spoiler

Misal \([XYZ]\) menyatakan luas daerah terkecil yang dibatasi oleh titik \(X, Y, Z\), maka

 

\([BCNM] = [ABCD] - [NMD] - [BCN] \)
\(= 12 \times 14 - \frac{6 \times 7}{2} - \frac{14 \times 6}{2}\)

\(= 168 - 21 - 42\)

\(= 105\)


Nomor 2

Spoiler

\(P(x) = x^4 + x^3 - 11x^2 - 30x - 24 = (x - 4)(x + 2)(x^2 + 3x + 3)\)

\(Q(x) = x^3 - x^2 - 14x + 8 = (x - 4)(x^2 + 3x - 2)\)

 

Dari sini, dapat disimpulkan bahwa hasil kali-kali akarnya yang \(unik\) dan \(real\) adalah \(4\)

 

Edited:

Thanks for correction kak Pebrudal Zanu :')

 

Nomor 3

Spoiler

Asumsikan bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk \(10A + B\), dengan demikian bilangan yang setelah keluar dari kotak ajaib adalah \(100A + B\).

\(10A + B + 100A + B = 666\)
\(\Rightarrow 110A + 2B = 666\)

 

Karena \(0 \leq A, B \leq 9\)

\(\Rightarrow 110A + 2B = 660 + 6\)

\(\Rightarrow A = 6, B = 3\)

 

Sehingga, bilangan yang dimasukkan ke dalam kotak ajaib adalah \(63\)

 

Nomor 5

Spoiler

\(\frac{x}{3y - 2z} = r\)

\(\Rightarrow x = (3y - 2z)r \dots (i)\)

 

\(\frac{x + y}{z} = r\)

\(\Rightarrow x + y = rz \dots (ii)\)

 

\(\frac{y}{3x} = r\)

\(\Rightarrow y = 3xr \dots (iii)\)

 

Subtitusi persamaan \((iii)\) ke persamaan \((ii)\), diperoleh

\(x + 3xr = rz \dots (iv)\)

 

Subtitusi persamaan \((iii)\) dan \((iv)\) ke persamaan \((i)\), diperoleh

\(x = (3(3xr))r - 2(x + y)\)

\(\Rightarrow x = 9xr^2 - 2x - 6xr\)

\(\Rightarrow 0 = x(9r^2 - 6r - 3)\)

\(\Rightarrow 0 = x(3r+1)(3r-3)\)

 

Karena \(r\) merupakan bilangan real positif, maka \(r\) yang memenuhi adalah \(1\), sehingga jumlah semua \(r\) yang memenuhi adalah \(1\).

 

Nomor 7

Spoiler

Kulinya lumayan, saya sih dapetnya \(552\). Kalau mau bukti (menurut saya)

Pembuktian matematika

Spoiler

Banyaknya semua kemungkinan tanpa syarat adalah

 

\(\left(\begin{array}{c}20-1 \\ 4-1\end{array}\!\right) = 969\)


Karena masing-masing orang minimal tepat mendapatkan satu, jadi maksud soal sama saja dengan membagi \(16\) buah buku identik kepada \(4\) orang anak.

 

Karena mencari pair yang benar lebih banyak daripada pair yang salah, kita tinggal mencari banyaknya pair yang salah.

 

\(\{7,7,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!} \times 1\) susunan \(\{A,B \neq 1\}\)

\(\{6,6,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!} \times 2\) susunan \(\{A,B \neq 2\}\)

\(\{5,5,5,1\}\) ada \(\frac{4!}{3!}\) susunan

\(\{5,5,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!} \times 3\) susunan \(\{A,B \neq 3\}\)

\(\{4,4,4,4\}\) ada \(1\) susunan

\(\{4,4,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!} \times 4\) susunan

\(\{3,3,3,7\}\) ada \(\frac{4!}{3!}\) susunan

\(\{3,3,5,5\}\) ada \(\frac{4!}{2! \times 2!}\) susunan

\(\{3,3,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!}\ \times 4\) susunan (selain 2 sebelumnya)

\(\{2,2,2,10\}\) ada \(\frac{4!}{3!}\) susunan

\(\{2,2,6,6\}\) ada \(\frac{4!}{2! \times 2!}\) susunan

\(\{2,2,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!}\ \times 5\) susunan (selain 2 sebelumnya)

\(\{1,1,1,13\}\) ada \(\frac{4!}{3!}\) susunan

\(\{1,1,7,7\}\) ada \(\frac{4!}{2! \times 2!}\) susunan

\(\{1,1,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!} \times 6\) susunan (selain 2 sebelumnya)

\(\{0,0,0,16\}\) ada \(\frac{4!}{3!}\) susunan

\(\{0,0,8,8\}\) ada \(\frac{4!}{2! \times 2!}\) susunan

\(\{0,0,A,B\}\) ada \(\frac{4!}{2!} \times 7\) susunan (selain 2 sebelumnya)

 

Pair yang salah ada sebanyak \(417\)

 

Sehingga, banyaknya cara ada sebanyak \(969 - 417 = 552\)

 

*NB : Kalau ada pair yang kurang, comment aja :'). 

 

Nomor 8

Spoiler

Terdapat \(100\) buah bilangan asli berbeda sehingga jumlah semua bilangan tersebut adalah \(8064\). Tinjau penjumlahan \(100\) bilangan ganjil pertama yaitu
\(\frac{100 \times 200}{2} = 10000\)
Dari sini jelas bahwa \(100\) buah bilangan tersebut tidak mungkin bilangan ganjil.

cek penjumlahan n-bilangan ganjil pertama yaitu
\(\frac{n \times (2n)}{2} \leq 8064\)
\(\Rightarrow n^2 \leq 8064\)
\(\Rightarrow -89 \leq n \leq 89\)

banyaknya bilangan ganjil tidak lebih dari \(89\).

Cek banyaknya bilangan ganjil sebanyak \(89\). Jika kita menjumlahkan semua \(89\) bilangan ganjil pertama tersebut akan menghasilkan bilangan ganjil. Sehingga sisa jumlah yang belum terpakai akan sebanyak ganjil pula. Padahal kita hanya bisa menggunakan bilangan genap saja. (kontradiksi).
 

Jadi tidak mungkin banyaknya bilangan ganjil maksimum sebanyak \(89\).
 

Cek banyaknya maksimum adalah \(88\). Dari sini jumlah yang tersisa adalah \(8064 - 88^2 = 320\). Jumlah bilangan yang tersisa adalah \(12\) yang itu semuanya haruslah genap. Cek penjumlahan \(12\) bilangan genap pertama yaitu \(\frac{12 \times 26}{2} = 156 \leq 320\). Sehingga kita dapat mengonstruksi bilangan tersebut dengan banyaknya bilangan ganjil ada \(88\) dan bilangan genap ada \(12\).
 

Sekarang mari kita cek penjumlahan n-bilangan genap pertama yaitu
\(\frac{n \times (2n+2)}{2} \leq 8064\)
\(\Rightarrow n^2+n \leq 8064\)
\(\Rightarrow -90 \leq n \leq 89\)

banyaknya bilangan genap tidak lebih dari \(89\). Dengan analogi yang sama dengan sebelumnya, banyaknya bilangan genap tidak mungkin \(89\). Sehingga langsung cek banyaknya bilangan genap adalah \(88\). Cek penjumlahan \(12\) bilangan ganjil pertama itu \(\frac{12 \times 24}{2} = 144 \leq 232\). Sehingga kita dapat mengonstruksi bilangan tersebut dengan banyaknya bilangan ganjil ada \(12\) dan bilangan genap ada (\88\).
 

sehingga dari sini diperoleh \(m = 88\), dan \(n = 12\).
 

Sehingga, \(m - n = 88 - 12 = 76\).

 

Nomor 9

Spoiler

\(\begin{equation*}\label{eq1}\begin{split} (x + y)(y + z)(z + x) &= 24xyz \\ \frac{(x + y)(y + z)(z + x)}{xyz} &= 24 \end{split}\end{equation*}\)

\(\begin{equation*}\label{eq2}\begin{split} (x + 2y)(y + 2z)(z + 2x) &= 60xyz \\ \frac{(x + 2y)(y + 2z)(z + 2x)}{xyz} &= 60 \end{split}\end{equation*}\)

 

Edited by Jehian Norman Saviero
Add Nomor 9~~
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, stefanus gusega gunawan said:

akar unik maksudnya kayak gimana?

akar p(x) dan q(x) yang tidak sama.

jadi menurut soal akar yg tidak sama adalah :

p(x): (x+2)(x^2+3x+3)

q(x):(x^2+3x-2)

jadi hasil kali akar unik dari p(x) dan q(x) = -2 × 3 × -2 = 12

aku jawab nya gini.

tergantung pemahaman soal orang beda beda

Edited by Muhammad Hafizh
menambah penjelasan

Share this post


Link to post
Share on other sites
23 minutes ago, Muhammad Hafizh said:

akar p(x) dan q(x) yang tidak sama.

jadi menurut soal akar yg tidak sama adalah :

p(x): (x+2)(x^2+3x+3)

q(x):(x^2+3x-2)

jadi hasil kali akar unik dari p(x) dan q(x) = -2 × 3 × -2 = 12

aku jawab nya gini.

tergantung pemahaman soal orang beda beda

 

Dari penjelasan soal sih dibilang, tepat satu dari \(P(x)\) "DAN" \(Q(x)\). .-.

15 hours ago, KTO Matematika said:

2. Diberikan dua polinomial \(P(x) = x^4 + x^3 - 11x^2 - 30x - 24\) dan \(Q(x) = x^3 - x^2 - 14x + 8\) . Katakan sebuah akar real dari P(x) atau Q(x) \(\textit{unik}\) bila akar tersebut hanya dimiliki oleh tepat satu dari "P(x) dan Q(x)." Tentukan hasil kali semua akar unik dari P(x) dan Q(x) .

 

 

Ngomong-ngomong, akarnya juga diminta real ._.

Edited by Jehian Norman Saviero

Share this post


Link to post
Share on other sites
Just now, stefanus gusega gunawan said:

rancu di sini

 

Hmm, intepretasi orang beda-beda ya, wkwkwk..

Tapi seharusnya kalo maksudnya akarnya tidak kembar pada polinom tersebut, seharusnya dia cukup menuliskannya seperti ini
 

Diberikan dua polinomial \(P(x) = x^4 +  x^3 - 11x^2 - 30x - 24\) dan \(Q(x) = x^3 - x^2 - 14x + 8 .\) Katakan sebuah akar real dari polinomial tersebut \(\textit{unik}\) bila akar tersebut hanya dimiliki oleh tepat satu dari polinomial tersebut. Tentukan hasil kali semua akar unik dari \(P(x)\) dan \(Q(x)\) .

Share this post


Link to post
Share on other sites
28 minutes ago, Muhammad Hafizh said:

akar p(x) dan q(x) yang tidak sama.

jadi menurut soal akar yg tidak sama adalah :

p(x): (x+2)(x^2+3x+3)

q(x):(x^2+3x-2)

jadi hasil kali akar unik dari p(x) dan q(x) = -2 × 3 × -2 = 12

aku jawab nya gini.

tergantung pemahaman soal orang beda beda

\(kalo aku sih liatnya, unik jika akar dimiliki masing-masing satu p(x) dan q(x)\)kalo aku sih liatnya, unik jika akar dimiliki masing-masing p(x) dan q(x)

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 minute ago, Jehian Norman Saviero said:

 

Hmm, intepretasi orang beda-beda ya, wkwkwk..

Tapi seharusnya kalo maksudnya akarnya tidak kembar pada polinom tersebut, seharusnya dia cukup menuliskannya seperti ini
 

Diberikan dua polinomial \(P(x) = x^4 +  x^3 - 11x^2 - 30x - 24\) dan \(Q(x) = x^3 - x^2 - 14x + 8 .\) Katakan sebuah akar real dari polinomial tersebut \(\textit{unik}\) bila akar tersebut hanya dimiliki oleh tepat satu dari polinomial tersebut. Tentukan hasil kali semua akar unik dari \(P(x)\) dan \(Q(x)\) .

nah, setuju. jadi unik itu kalau sama2 memiliki(?)

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, stefanus gusega gunawan said:

rancu di sini

Memang sih.. Bahasanya sedikit susah dimengerti.. Butuh berulang kali untuk mengerti.. 
Jawabannya sih 4 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Caraku no. 5 valid gak yah...

Spoiler

Pertama, kita ambil $\frac{x}{3y-2z} = \frac{y}{3x}$

Persamaan tersebut ekuivalen dengan 
$3x^2 = 3y^2 -2yz $ ........................... (*)

 Lalu dari $\frac{x + y}{z} = \frac{y}{3x}$ 

persamaan tersebut ekuivalen dengan 
$3x^2 + 3xy = yz$

$3x^2 = yz -3xy$ ..............................(**)

Substitusi persamaan (*) ke (**) diperoleh 
$3y^2 - 2yz = yz - 3xy$

$3y^2 + 3xy = 3yz$
kedua ruas dibagi dengan 3y diperoleh 

$y + x = z$

 jadi diperoleh 
$r = \frac{x+y}{z} = 1$ 
 

 

Edited by Muh. Fadlan

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 10 sih rasanya aku seperti ini.

 

 

 


$S = \sum_{i = 0}^{20} 2^i \sum_{j = 0}^{20 - i} 3^j 5^{(20 - i) - j} = \sum_{i = 0}^{20} 2^i \left( 5^{20 - i} \frac{1 - (\frac{3}{5})^{20 - i}}{1 - \frac{3}{5}} = \sum_{i = 0}^{20} 2^i \cdot \frac{5}{2} \cdot (5^{20 - i} - 3^{20 - i}) = \frac{5}{2} ( \sum 2^i5^{20 - i} - \sum 2^i3^{20 - i} ).

 

Sisanya kan tinggal deret geometri saja :)
 

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×