Jump to content
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika - Desember 2016 - Bagian B Nomor 3

Recommended Posts

Hello

 

 


Jika $m$ negatif, maka ruas kanan tidak bulat. Jika $m=0$, kita peroleh $n=0$. Jika $m$ positif, yaudah. Dapat ditunjukkan bahwa $n$ adalah bilangan genap. Misal $n=2k$. Ruas kanan dalam modulo 8 ekivalen dengan: $4k+1\pmod{8}$. Dapat ditunjukkan bahwa ruas kanan jika dibagi 8 bersisa 1 atau 5, sedangkan ruas kiri bersisa 1 atau 7. Kesamaan mungkin dicapai saat $m$ genap, atau ruas kanan adalah bilangan kuadrat. Jika $n>0$, maka $(n^3)^2<n^6 +6n+1<(n^3+1)^2$. Jika $n<0$, maka $(n^3+1)^2<n^6 +6n+1<(n^3)^2$. Dari kedua kasus tersebut, diperoleh ruas kanan tidak mungkin bilangan kuadrat. Jadi solusinya hanya yang ada di kalimat kedua.

 

Salam Harambe

Edited by MalesOSN

Share this post


Link to post
Share on other sites
11 hours ago, MalesOSN said:

Hello

  Hide contents

 


Karena ruas kiri positif, dapat ditunjukkan bahwa nn bernilai positif. Jika m=0m=0 , kita peroleh n=0n=0 . Jika mm positif, yaudah. Dapat ditunjukkan bahwa nn adalah bilangan genap. Misal n=2kn=2k . Ruas kiri dalam modulo 8 ekivalen dengan: 4k+1(mod8)4k+1(mod8) . Dapat ditunjukkan bahwa ruas kiri jika dibagi 8 bersisa 1 atau 5, sedangkan ruas kanan bersisa 1 atau 7. Kesamaan mungkin dicapai saat mm genap, atau ruas kiri adalah bilangan kuadrat. Padahal (n3)2<n6+6n+1<(n3+1)2(n3)2<n6+6n+1<(n3+1)2

Salam Harambe

" Karena ruas kiri positif, dapat ditunjukkan bahwa n bernilai positif.  " Kenapa begini ya? Kalau $n=-100$ ruas kanan masih positif loh :)

Edited by sayakalah

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, sayakalah said:

" Karena ruas kiri positif, dapat ditunjukkan bahwa n bernilai positif.  " Kenapa begini ya? Kalau n=100n=−100 ruas kanan masih positif loh :)

Hello,
Terima kasih koreksinya. Silahkan dicek kembali.

Salam Harambe

Share this post


Link to post
Share on other sites

saya ada cara yg sedikit berbeda untuk buktikan m>0 tidak mememuhi.

perhatikan bahwa

7^m=n^6 + 6n + 1 

7^m - 1^m = n^6 + 6n

perhatikan bahwa dengan menggunakan bentuk a^x - b^x = (a-b)(a^(x-1) + a^(x-2)*b + ... + a*b^(x-2) + b^(x-1)) , kita akan peroleh

7^m - 1^m = 0 mod 6 .

sehingga haruslah n^6 + 6n = 0 mod 6 , misalkan bil.n berbentuk 6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5 untuk k€bil.bulat

setelah kita coba-coba , n yg memenuhi hanyalah n=6k. maka jelas bahwa n bilangan genap

 

sehingga kita peroleh 

n^6 + 6n + 1 = (6k)^6 + 6*6k + 1 = 6^6*k^6 + 36k + 1 = 7^m 

karena 7^m = 7*7*...*7 ( ada m 7)

maka pastilah 6^6*k^6 + 36k + 1 = 0 mod 7 , sehingga didapat

6^6*k^6 + 36k + 1 = 0 mod 7 , 

k^6 + k + 1 = 0 mod 7

untuk meudahkannya misalkan k=7a ,  7a+1,7a+2,7a+3,7a+4,7a+5,7a+6 dengan a€bil.bulat non negatif , setelah di cek ternyata tidak ada nilai k yg mememuhi untuk a>=1 .

untuk a=0 , kita peroleh bahwa untuk k=5 memenuhi ,sehingga n=6*5=30 .

perhatikan bahwa harualah

30^6 + 180 + 1 = 7^m , untuk m>0

729000181=7^m , karena 7^10 < 729000181< 7^11 maka tidak ada nilai m yg memenuhi.

jadi untuk m>0 tidak ada nilai n yg memenuhi

Edited by steffen123
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
9 hours ago, steffen123 said:

udah saya edit kak , 

Hello

Tapi kan k nya bisa sembarang bilangan berbentuk 7a+5, bukan 5 saja. Anda hanya menunjukkan untuk kasus k=5.

Salam Harambe

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×