Jump to content
-_-

OSP SMA 2007 Bagian Pertama

Recommended Posts

  1. 1.Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah $\ldots$
  2. Sejumlah uang terdiri dari koin pecahan Rp. 500, Rp. 200, dan Rp. 100 dengan nilai total Rp. 100.000. Jika nilai uang pecahan 500-an setengah dari nilai uang pecahan 200-an, tetapi tiga kali nilai uang pecahan 100-an, maka banyaknya koin adalah $\ldots$
  3. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali panjang sisi terpendeknya, sedangkan panjang sisi ketiga 1 satuan panjang lebih panjang dari panjang sisi terpendeknya. Luas segitiga itu adalah $\ldots$ satuan luas.
  4. Di antara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah $\ldots$
  5. Seorang pedagang mobil bekas menjual dua buah mobil dengan harga sama. Ia merugi 10% untuk mobil pertama, tetapi impas (kembali modal) untuk kedua mobil. Persentase keuntungan pedagang itu untuk mobil kedua adalah $\ldots$
  6. Dona menyusun lima buah persegi yang kongruen menjadi sebuah bangun datar. Tidak ada persegi yang menindih persegi lainnya. Jika luas bangun yang diperoleh Dona adalah 245 cm$^2$, keliling bangun tersebut paling sedikit adalah $\ldots$
  7. Empat tim sepakbola mengikuti sebuah turnamen. Setiap tim bertanding melawan masing-masing tim lainnya sekali. Setiap kali bertanding, sebuah tim memperoleh nilai 3 jika menang, 0 jika kalah dan 1 jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen salah satu tim memperoleh nilai total 4. Jumlah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit adalah $\ldots$
  8. Untuk bilangan asli $n$, didefinisikan $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$. Dalam bentuk sederhana, $1! \cdot 1 + 2! \cdot 2 + 3! \cdot 3 + \ldots + n! \cdot n = \ldots$
  9. Titik $P$ terletak di kuadran I pada garis $y = x$. Titik $Q$ terletak pada garis $y = 2x$ demikian sehingga $PQ$ tegak lurus terhadap garis $y = x$ dan $PQ = 2$. Maka koordinat $Q$ adalah $\ldots$
  10. Himpunan semua bilangan asli $n$ sehingga $6n + 30$ adalah kelipatan $2n + 1$ adalah $\ldots$
  11. Suku konstanta pada ekspansi $\left( 2x^2 - \dfrac{1}{x} \right) ^ 9$ adalah $\ldots$
  12. Absis titik potong garis $l$ dengan sumbu-$x$ dan ordinat titik potong $l$ dengan sumbu-$y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $l$ juga melalui titik $(3, 4)$, persamaan $l$ adalah $\ldots$
  13. Tujuh belas permen dikemas ke dalam kantong-kantong sehingga banyak permen dalam setiap dua kantong berselisih paling banyak 1. Banyaknya cara mengemas permen tersebut ke dalam paling sedikit dua kantong adalah $\ldots$
  14. Jika nilai maksimum $x + y$ pada himpunan $\{(x, y) \mid x \ge 0, y \ge 0, x + 3y \le 6, 3x + y \le a\}$ adalah 4, haruslah $a = \ldots$
  15. Sebuah kubus berukuran $5 \times 5 \times 5$ disusun dari 125 kubus satuan. Permukaan kubus besar lalu dicat. Rasio sisi (permukaan) ke-125 kubus satuan yang dicat terhadap yang tidak dicat adalah $\ldots$
  16. Sebuah papan persegi dibagi ke dalam $4 \times 4$ petak dan diwarnai seperti papan catur. Setiap petak diberi nomor dari 1 hingga 16. Andi ingin menutup petak-petak pada papan dengan 7 kartu seukuran $2 \times 1$ petak. Agar ke-7 kartunya dapat menutupi papan, ia harus membuang dua petak. Banyak cara ia membuang dua petak adalah $\ldots$
  17. Bilangan-bilangan asli 1, 2, $\ldots$ , $n$ dituliskan di papan tulis, kemudian salah satu bilangan dihapus. Rata-rata aritmatika bilangan yang tertinggal adalah $35\dfrac{7}{17}$. Bilangan $n$ yang memungkinkan ini terjadi adalah $\ldots$
  18. Diberikan segitiga $ABC$ siku-siku di $A$, titik $D$ pada $AC$ dan titik $F$ pada $BC$. Jika $AF \perp BC$ dan $BD = DC = FC = 1$, maka $AC = \ldots$
  19. Di antara semua solusi bilangan asli $(x, y)$ dari persamaan $\dfrac{x+y}{2} + \sqrt{xy} = 54$, solusi dengan $x$ terbesar adalah $(x, y) = \ldots$
  20. Misalkan $V$ adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat bilangan bulat dan $X$ adalah himpunan titik tengah dari semua pasangan titik pada himpunan $V$. Untuk memastikan bahwa ada angota $X$ yang juga memiliki koordinat bilangan bulat, banyak anggota $V$ paling sedikit harus $\ldots$

Share this post


Link to post
Share on other sites

1.
Misalkan bilangan itu adalah $\overline{abcd}$ dengan $d$ adalah bilangan ganjil dan $a+b+c+d=\text{prima}$. Kemungkinan nilai $d$ adalah $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Karena dicari bilangan yang terbesar, maka kita cek bilangan dalam bentuk $\overline{999d}$. Tidak ada yang memenuhi. Lalu kita cek bilangan dalam bentuk $\overline{998d}$. Maka nilai $d$ yang memenuhi agar diperoleh bilangan maksimum yang dimaksud adalah $d=5$. Jadi, bilangannya $9985$.

 

2.
Misalkan banyaknya koin $500$-an adalah $x$, $200$-an adalah $y$, dan $100$-an adalah $z$. Nilai uang pecahan $500$-an setengah dari nilai uang pecahan $200$-an dan tiga kali nilai uang pecahan $100$-an, maka $500x=\frac{1}{2}(200y)=3(100z)\implies y=5x$ dan $z=\frac{5}{3}x$. Nilai totalnya $100.000$, maka \begin{align*}500x+200y+100z&=100000\\5x+2y+z&=1000\\5x+2(5x)+\frac{5}{3}x&=1000\\x&=60\implies y=300,\,z=100\\x+y+z&=\boxed{460}.\end{align*}

 

3.
Misalkan sisi terpanjangnya $c$, sisi terpendeknya $a$, dan sisi yang ketiga adalah $b$. Panjang sisi miringnya dua kali panjang sisi terpendeknya, maka $c=2a$. Panjang sisi ketiga satu lebihnya dari panjang sisi terpendeknya, maka $b=a+1$. Pada segitiga siku-siku, berlaku \begin{align*}a^2+b^2&=c^2\\a^2+(a+1)^2&=(2a)^2\\2a^2-2a-1&=0\\a&=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\implies b=\frac{3+\sqrt{3}}{2},\, c=1+\sqrt{3}\\L&=\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)\\&=\boxed{\frac{3+2\sqrt{3}}{4}}.\end{align*}

 

4.
$2006=2\cdot17\cdot59$,
$2007=3^2\cdot223$,
$2008=2^3\cdot251$.

Bilangan yang mempunyai faktor prima berbeda terbanyak adalah $\boxed{2006}$.

 

5.

Misalkan harga jual mobil pertama dan kedua berturut-turut adalah $J_1$ dan $J_2$. Misalkan pula harga beli mobil pertama dan kedua berturut-turut adalah $M_1$ dan $M_2$. Harga jual kedua mobil sama, maka $$J_1=J_2.$$ Ia rugi $10\%$ pada mobil pertama, maka $$J_1=90\%M_1=\frac{9}{10}M_1.$$ Ia impas (kembali modal) untuk kedua mobil, maka $$J_1+J_2=100\%(M_1+M_2)=M_1+M_2.$$ Berarti, pedagang itu mengalami untung pada mobil kedua. Misalkan keuntungan mobil kedua adalah $x\%$. Maka $$J_2=(100+x)\%M_2=\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2.$$ Dengan substitusi persamaan 2 dan 4 ke persamaan 1, maka \begin{align*}J_1&=J_2\\\frac{9}{10}M_1&=\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2\\M_1&=\frac{10}{9}\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2.\end{align*} Dengan substitusi persamaan 1, 4, dan 5 ke persamaan 3, maka \begin{align*}J_1+J_2&=M_1+M_2\\2J_2&=\frac{10}{9}\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2+M_2\\2\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2&=\left[\frac{10}{9}\left(1+\frac{x}{100}\right)+1\right]M_2\\2+\frac{2x}{100}&=\frac{10}{9}+\frac{x}{90}+1\\x&=12,5.\end{align*} Jadi, keuntungan pada mobil kedua adalah $\boxed{12,5\%}$.

 

6.
Kelima persegi yang kongruen memiliki sisi yang sama panjang. Luas bangun yang diperoleh $245=5s^2\implies s=7$. Agar diperoleh keliling minimum, maka empat persegi disusun membentuk persegi baru yang besar, dan persegi yang kelima berhimpit pada pada persegi besar sehingga sisi persegi kelima yang menempel pada persegi besar tidak terlihat. Keliling minimum yang diperoleh adalah $7\times10=\boxed{70}$.

 

7.
Misalkan keempat tim itu adalah $A, B, C,$ dan $D$. Setiap tim bertanding melawan tim lainnya sekali. Maka kemungkinan pertandingannya adalah $(x, y)=\{(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D)\}$. Setiap kali bertanding, sebuah tim memperoleh nilai $3$ jika menang, $0$ jika kalah dan $1$ jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen salah satu tim memperoleh nilai total $4$. Misal tim yang memperoleh nilai $4$ adalah $A$. Perhatikan bahwa $A$ bertanding sebanyak tiga kali yaitu melawan $B$, $C$, dan $D$. Karena skornya $4$, maka $A$ kemungkinan menang sekali, seri sekali, dan kalah sekali, atau $4=3+1+0$. Misalkan $A$ menang melawan $B$, seri melawan $C$, dan kalah melawan $D$. Akan dicari nilai minimum total ketiga tim. Perhatikan bahwa agar minimum, maka hasil yang didapat tim yang bertanding adalah seri. Maka pertandingan antara $B$ dan $C$, $B$ dan $D$, serta $C$ dan $D$ harus seri. Maka himpunan nilai pertandingan yang diperoleh adalah \begin{align*}(x, y)&=\{(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D)\}\\&=\{(3, 0), (1, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 1), (1, 1)\}\\B&=0+1+1=2\\C&=1+1+1=3\\D&=3+1+1=5\\B+C+D&=2+3+5=\boxed{10}.\end{align*} Jadi total nilai ketiga tim lainnya paling sedikit adalah $10$.

 

8.
\begin{align*}1! \cdot 1 + 2! \cdot 2 + 3! \cdot 3 + \ldots + n! \cdot n &=\sum_{k=1}^{n}\left(k!\cdot k\right)\\&=\sum_{k=1}^{n}\left[k!\cdot\{(k+1)-1\}\right]\\&=\sum_{k=1}^{n}\left\{(k+1)!-k!\right\}\implies\text{deret teleskopik}\\&=-1!+2!-2!+3!-3!+4!-\dots-(n-1)!+n!-n!+(n+1)!\\&=\boxed{(n+1)!-1}\end{align*}

 

9.
Titik $P$ terletak di kuadran I pada garis $y=x$, maka koordinat titik $P$ dapat dimisalkan $P(x_P, y_P)=P(x_P, x_P)$. Titik $Q$ terletak pada garis $y=2x$, maka koordinat titik $Q$ dapat dimisalkan $Q(x_Q, y_Q)=Q(x_Q, 2x_Q)$. Ruas garis $PQ$  tegak lurus terhadap garis $y=x$, maka gradien garis $PQ$ adalah $m_{PQ}=-1$. Persamaan garis $PQ$ dapat dinyatakan dengan \begin{align*}y-y_Q&=m_{PQ}(x-x_Q)\implies\text{dilalui titik P, maka}\\y_P-y_Q&=-(x_P-x_Q)\\x_P-2x_Q&=-x_P+x_Q\\x_P&=\frac{3}{2}x_Q.\end{align*} $PQ=2$, maka \begin{align*}PQ&=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}\\4&=\left(x_Q-\frac{3}{2}x_Q\right)^2+\left(2x_Q-\frac{3}{2}x_Q\right)^2\\x_Q&=2\sqrt{2}\implies y_Q=4\sqrt{2}\\Q(x_Q, y_Q)&=\boxed{(2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})}.\end{align*}

 

10.
$n\in\mathbb{N},\, 2n+1\mid6n+30$. \begin{align*}\frac{6n+30}{2n+1}&=\frac{3(2n+1)+27}{2n+1}\\&=3+\frac{27}{2n+1}.\end{align*} Maka $2n+1$ adalah faktor dari $27$. Setelah dicek, yang memenuhi adalah $n=\boxed{\{1, 4, 13\}}$.

 

11.
\begin{align*}\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^9&=\sum_{k=0}^9\left\{\binom{9}{k}(2x^2)^{9-k}\left(-\frac{1}{x}\right)^k\right\}\\&=\sum_{k=0}^9\left\{\binom{9}{k}(-1)^k2^{9-k}x^{18-3k}\right\}.\end{align*} Suku berupa konstanta saat $x$ berpangkat $0$. Maka $18-3k=0\implies k=6$. Suku konstantanya adalah $$\binom{9}{6}(-1)^62^{9-6}=\frac{9!}{6!3!}\cdot8=\boxed{672}.$$

 

12.
Misal persamaan garis $l$ adalah $y=mx+c$. Titik potong garis $l$ dengan sumbu $x$ adalah $\left(-\frac{c}{m}, 0\right)$. Titik potong garis $l$ dengan sumbu $y$ adalah $(0, c)$. Absis titik potong garis $l$ dengan sumbu $x$ dan ordinat titik potong $l$ dengan sumbu $y$ adalah bilangan-bilangan prima. Maka $-\frac{c}{m}$ dan $c$ bilangan prima. Garis $l$ juga melalui $(3, 4)$, maka \begin{align*}4&=3m+c\\\frac{4}{m}&=3+\frac{c}{m}\\-\frac{c}{m}&=3-\frac{4}{m}.\end{align*} Maka $m$ haruslah faktor negatif dari $4$. Setelah dicek, yang memenuhi adalah $m=-1$ dan $c=7$. Maka persamaan garis $l$ adalah $\boxed{y=-x+7}$.

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

19. 

\begin{align*} \frac{x + y}{2} + \sqrt{xy} &=54 \\ x+y=2\sqrt{xy} &= 108 \\ \left (\sqrt{x} + \sqrt{y} \right )^2 &= 108 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} &= 6\sqrt{3} \end{align*} 

Diketahui $x,y \in \mathbb{N}$. Agar mendapatkan $6\sqrt{3}$, maka $x = a\sqrt{3}$ dan $y=b\sqrt{3}$.

\begin{align*} \sqrt{x} + \sqrt{y}& = 6\sqrt{3} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} &= 5\sqrt{3} + \sqrt{3} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} &= \sqrt{75} + \sqrt{3} \\ \therefore x &=75 \\ \therefore y &=3 \end{align*}

Maka diperoleh pasangan $(x,y)$ adalah $(75, 3)$.

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×