Jump to content
-_-

OSP SMA 2008 Bagian Pertama

Recommended Posts

  1. Banyaknya pembagi positif dari 2008 adalah $\ldots$
  2. Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak $\ldots$
  3. Jika $0 < b < a $ dan $ a^2 + b^2 = 6ab $, maka $ \dfrac{a+b}{a-b} = \ldots $
  4. Dua dari panjang garis tinggi segitiga lancip $ABC$, berturut-turut sama dengan 4 dan 12. Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut adalah $\ldots$
  5. Dalam bidang $XOY$, banyaknya garis yang memotong sumbu $X$ di titik dengan absis bilangan prima dan memotong sumbu $Y$ di titik dengan ordinat bilangan bulat positif serta melalui titik $(4, 3)$ adalah $\ldots$
  6. Diberikan segitiga $ABC$, $AD$ tegak lurus $BC$ sedemikian rupa sehingga $DC = 2$ dan $BD = 3$. Jika $\angle BAC = 45^\circ$, maka luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$
  7. Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat yang memenuhi $y^2 + 3x^2y^2 = 30x^2 + 517$, maka $3x^2y^2 = \ldots$
  8. Diberikan segitiga $ABC$, dengan $BC = a$, $AC = b$, dan $\angle C = 60^\circ$. Jika $\dfrac{a}{b} = 2 + \sqrt{3}$, maka besarnya sudut $B$ adalah $\ldots$
  9. Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut 50\% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor rata-rata siswa kelas III 50\% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II. Skor rata-rata siswa kelas III adalah $\ldots$
  10. Diberikan segitiga $ABC$, dengan $BC = 5$, $AC = 12$, dan $AB = 13$. Titik $D$ dan $E$ berturut-turut pada $AB$ dan $AC$ sedemikian rupa sehingga $DE$ membagi segitiga $ABC$ menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum $DE$ adalah $\ldots$
  11. Misalkan $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah bilangan rasional. Jika diketahui persamaan $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ mempunyai 4 akar real, dua di antaranya adalah $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2008}$. Nilai dari $a + b + c + d$ adalah $\ldots$
  12. Diberikan segitiga $ABC$ dengan sisi-sisi $a$, $b$, dan $c$. Nilai $a^2 + b^2 + c^2$ sama dengan 16 kali luas segitiga $ABC$. Besarnya nilai $\cot A + \cot B + \cot C$ adalah $\ldots$
  13. Diberikan $f(x) = x^2 + 4$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi $f(xy) + f(y - x) = f(y + x)$. Nilai minimum dari $x + y$ adalah $\ldots$
  14. Banyak bilangan bulat positif $n$ kurang dari 2008 yang mempunyai tepat $\dfrac{n}{2}$ bilangan kurang dari $n$ dan relatif prima terhadap $n$ adalah $\ldots$
  15. Suatu polinom $f(x)$ memenuhi persamaan $f(x^2) - x^3f(x) = 2(x^3 - 1)$ untuk setiap $x$ bilangan real. Derajat (pangkat tertinggi $x$) $f(x)$ adalah $\ldots$
  16. Anggap satu tahun 365 hari. Peluang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama adalah $\ldots$
  17. Tiga bilangan dipilih secara acak dari $\{1,2,3, \ldots,2008\}$. Peluang jumlah ketiganya genap adalah $\ldots$
  18. Misalkan $\lvert X \rvert$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X$. Jika $\lvert A \cup B \rvert = 10$ dan $\lvert A \rvert = 4$, maka nilai yang mungkin untuk $\lvert B \rvert$ adalah $\ldots$
  19. Diketahui $AD$ adalah garis tinggi dari segitiga $ABC$, $\angle DAB =\angle ACD$, $AD = 6$, $BD = 8$. Luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$
  20. Nilai dari $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{1004} 3^k \binom{1004}{k} = \ldots$

Share this post


Link to post
Share on other sites

1.

$2008=2^3\cdot 251$. Banyaknya pembagi positifnya adalah $(3+1)(1+1)=\boxed{8}$.

 

3.

$0<b<a$. \begin{align*}a^2+b^2&=6ab\\a^2+2ab+b^2&=8ab\\(a+b)^2&=8ab\\a+b&=\sqrt{8ab}.\end{align*} \begin{align*}a^2+b^2&=6ab\\a^2-2ab+b^2&=4ab\\(a-b)^2&=4ab\\a-b&=\sqrt{4ab}.\end{align*} Maka $\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sqrt{8ab}}{\sqrt{4ab}}=\boxed{\sqrt{2}}$.

 

6.

$AD$ merupakan garis tinggi segitiga dari titik $A$. Misal $AD=t_a$. Misal juga $\angle BAC=\alpha$. Maka $\angle DAC=45-\alpha$. $\tan\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{t_a}$. \begin{align*}\tan(45-\alpha)&=\frac{CD}{AD}\\\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}&=\frac{2}{t_a}\\\frac{1-\frac{3}{t_a}}{1+\frac{3}{t_a}}&=\frac{2}{t_a}\\\frac{t_a-3}{t_a+3}&=\frac{2}{t_a}\\t_a^2-5t_a-6&=0\\(t_a-6)(t_a+1)&=0\\t_a&=6.\end{align*} Maka luas $\triangle ABC=\frac{1}{2}t_a\cdot a=\frac{1}{2}\cdot6\cdot5=\boxed{15}$.

 

7.

$x, y\in\mathbb{Z}$ \begin{align*}y^2 + 3x^2y^2 &= 30x^2 + 517\\3x^2y^2-30x^2+y^2&=517\\3x^2(y^2-10)+y^2-10&=507\\(y^2-10)(3x^2+1)&=507.\end{align*} Maka, $y^2-10$ dan $3x^2+1$ merupakan faktor dari $507$. Setelah dicek, agar $x$ dan $y$ bilangan bulat, maka $y^2-10=39\implies y^2=49$ dan $3x^2+1=13\implies x^2=4$. Maka $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=\boxed{588}$.

 

8.

Misal $AB=c,\, \angle B=\beta,\, \angle C=\gamma=60$. Menurut aturan cosinus, \begin{align*}c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\&=a^2+b^2-2ab\cdot\frac{1}{2}\\&=a^2+b^2-ab\\\left(\frac{c}{b}\right)^2&=\left(\frac{a}{b}\right)^2+1-\frac{a}{b}\\&=\left(2+\sqrt{3}\right)^2+1-\left(2+\sqrt{3}\right)\\&=6+3\sqrt{3}\\\frac{c}{b}&=\sqrt{6+3\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{2}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).\end{align*} \begin{align*}\cos\beta&=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\&=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2-1}{2(\frac{a}{b})(\frac{c}{b})}\\&=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+(6+3\sqrt{3})-1}{2\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{2}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\right)}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\\\beta&=\boxed{15^{\circ}}\end{align*}

 

9.
Total siswa yang ikut adalah $n=100$. Skor rata-ratanya adalah $\overline{x}=100$. Banyaknya siswa kelas II yang ikut 50\% lebih banyak dari siswa kelas III yang ikut, maka $n_2=150\%n_3=\frac{3}{2}n_3\implies n_2:n_3=3:2$. Maka $n_2=60$ dan $n_3=40$. Skor rata-rata kelas III $50\%$ lebih tinggi dari skor rata-rata kelas II, maka $\overline{x}_3=150\%\overline{x}_2=\frac{3}{2}\overline{x}_2\implies\overline{x}_2=\frac{2}{3}\overline{x}_3$. Nilai rata-rata keseluruhannya adalah \begin{align*}\frac{\overline{x}_2n_2+\overline{x}_3n_3}{n}&=100\\\frac{\frac{2}{3}\overline{x}_3\cdot60+\overline{x}_3\cdot40}{100}&=100\\\overline{x}_3&=\boxed{125}.\end{align*}

 

19.

$AD$ adalah garis tinggi, maka $AD\perp BC$. Misal $\angle DAB=\angle ACD=\alpha$. Maka $\tan\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{8}{6}=\frac{AD}{CD}=\frac{6}{CD}\implies CD=\frac{9}{2}$. Luas $\triangle ABC$ adalah $[ABC]=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\left(\frac{9}{2}+8\right)=\boxed{\frac{75}{2}}$.

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

20.

Berdasarkan

 

$ (a+b)^n = \binom{n}{0}a^nb^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + \binom{n}{n}a^0b^n \\ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

 

Maka kita dapatkan

$\begin{align*} \displaystyle (1+3)^x &= \sum_{k=0}^{1004} 3^k1^{1004-k}  \binom{x}{k} \\ \rightarrow 4^{1004} & = \sum_{k=0}^{1004}3^k \\ \therefore \sum_{k=0}^{1004} 3^k=2^{2008} \end{align*}$

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×