-_-

OSP SMA 2009 Bagian Pertama

Recommended Posts

  1. Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak $\ldots$
  2. Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009 = 0$ adalah $\ldots$
  3. Bilangan rasional $a < b < c$ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan
    \[
    \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 3.
    \]
    Banyaknya bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah $\ldots$
  4. Misalkan $\mathbb{N}$ adalah himpunan semua bilangan bulat positif dan
    \[
    S = \left\lbrace n \in \mathbb{N} \left\lvert \dfrac{n^{2009}+2}{n+1} \in \mathbb{N} \right. \right\rbrace .
    \]
    Banyaknya himpunan bagian dari $S$ adalah $\ldots$
  5. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tan CAB = \dfrac{22}{7}$. Melalui titik sudut $A$ ditarik garis tinggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi $BC$ menjadi segmen-segmen dengan panjang 3 dan 17. Luas segitiga $ABC$ adalah $\ldots$
  6. Nilai minimum dari $f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$ adalah $\ldots$
  7. Diberikan segitiga dengan panjang dari ketiga garis tinggi segitiga itu merupakan bilangan bulat. Jika panjang kedua garis tingginya adalah 10 dan 6, maka panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah $\ldots$
  8. Suatu fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ mempunyai sifat $f(x + 1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$ untuk setiap
    $x \in \mathbb{Z}$. Jika $f(2) = 2$, maka nilai fungsi $f(2009)$ adalah $\ldots$
  9. Diketahui segitiga siku-siku $ABC$ dengan panjang sisi-sisinya $a$, $b$, dan $c$ serta
    $a < b < c$. Misalkan $r$ dan $R$ berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya. Jika $\dfrac{r(a + b + c)}{R^2} = \sqrt{3}$, maka nilai dari $\dfrac{r}{a+b+c}$ adalah $\ldots$
  10. Jika $\tan x + \tan y = 25$ dan $\cot x + \cot y = 30$, maka nilai $\tan(x + y)$ adalah $\ldots$
  11. Pada bagian kanan 100! terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak $\ldots$
  12. Ada empat pasang sepatu, akan diambil empat sepatu secara acak. Peluang bahwa yang terambil ada yang berpasangan adalah $\ldots$
  13. Diketahui $k$, $m$, dan $n$ adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi
    \[
    \dfrac{k}{m} + \dfrac{m}{4n} = \dfrac{1}{6}.
    \]
    Bilangan $m$ terkecil yang memenuhi adalah $\ldots$
  14. Bilangan prima $p$ yang memenuhi $(2p - 1)^3 + (3p)^2 = 6^p$ ada sebanyak $\ldots$
  15. Jika $x_1, x_2, \ldots , x_{2009}$ bilangan real, maka nilai terkecil dari
    \[
    \cos x_1 \sin x_2 + \cos x_2 \sin x_3 + \ldots + \cos x_{2009} \sin x_1
    \]
    adalah $\ldots$
  16. Misalkan $a$, $b$, $c$ adalah akar-akar polinom $x^3 - 8x^2 + 4x - 2$. Jika $f (x) = x^3+px^2+qx+r$ adalah polinomial dengan akar-akar $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$, maka $f (1) = \ldots$
  17. Banyaknya segitiga tumpul dengan sisi bilangan asli yang memiliki sisi terpanjang 10 adalah $\ldots$
    (Catatan: dua segitiga kongruen dianggap sama)
  18. Misalkan $n$ bilangan asli terkecil yang mempunyai tepat 2009 faktor dan $n$ merupakan kelipatan 2009. Faktor prima terkecil dari $n$ adalah $\ldots$
  19. Misalkan $p (x) = x^2 -6$ dan $A = \left\lbrace x \in \mathbb{R} \vert p(p(x)) = x \right\rbrace$. Nilai maksimal dari $\left\lbrace |x| : x \in A \right\rbrace$ adalah $\ldots$
  20. Misalkan $q = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ dan $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$. Nilai $\lfloor q \lfloor qn \rfloor \rfloor - \lfloor q^2n \rfloor$ untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ adalah $\ldots$

Share this post


Link to post
Share on other sites

1.

Spoiler

 

Macam hasil lemparannya adalah

$(1, 1, 6)$ beserta permutasinya yaitu ada $\frac{3!}{2!}=3$,

$(1, 2, 5)$ beserta permutasinya yaitu ada $3!=6$,

$(1, 3, 4)$ beserta permutasinya yaitu ada $3!=6$,

$(2, 2, 4)$ beserta permutasinya yaitu ada $\frac{3!}{2!}=3$,

$(2, 3, 3)$ beserta permutasinya yaitu ada $\frac{3!}{2!}=3$.

Totalnya ada $\boxed{21}$.

 

 

2.

Spoiler

\begin{align*}x^4-2x^3+5x^2-176x+2009&=0\\x^2(x^2-2x+1)+4x^2-176x+2009&=0\\x^2(x-1)^2+4(x^2-44x+484)+73&=0\\\left(x(x-1)\right)^2+4(x-22)^2+73&=0\end{align*} yang merupakan definit positif. Jadi, banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{0}$.

 

8.

Spoiler

$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$
$f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)},\, \forall x\in\mathbb{Z}$
$f(2)=2$
$f(2)=\frac{1+f(1)}{1-f(1)}=2\implies f(1)=\frac{1}{3}$.
$f(3)=\frac{1+f(2)}{1-f(2)}=\frac{1+2}{1-2}=-3$.
$f(4)=\frac{1+f(3)}{1-f(3)}=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}$
$f(5)=\frac{1+f(4)}{1-f(4)}=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$
Maka fungsi itu periodik dengan periode $4$. $2009\equiv 1\pmod{4}$. Maka $f(2009)=f(1)=\boxed{\frac{1}{3}}$.

 

10.

Spoiler

$\tan x+\tan y=25$
\begin{align*}\cot x+\cot y&=30\\\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}&=30\\\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y}&=30\\\frac{25}{\tan x\tan y}&=30\\\tan x\tan y&=\frac{5}{6}\end{align*}
$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{25}{1-\frac{5}{6}}=\boxed{150}$.

 

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

 

No 6

Spoiler

$=\frac{9x^2\text{sin}^2x+4}{x\text{sin}x} \\ = \frac{9x^2\text{sin}^2x}{x\text{sin}x} + \frac{4}{x\text{sin}x} \\ = 9x\text{sin} x + \frac{4}{x\text{sin} x}$

Berdasarkan $AM \ge GM$,

$\frac{9x \text{sin x}+\frac{4}{x \text{sin x}}}{2} \ge \sqrt{9x \text{sin x} \cdot \frac{4}{x \text{sin x}}}$

$9x \text{sin x}+\frac{4}{x \text{sin x}} \ge 2\sqrt{36}$

$9x \text{sin x} + \frac{4}{x \text{sin x}} \ge 12$

Jadi, nilai minimumnya adalah $12$.

No 11

Spoiler

Banyak angka nol berurutan dari kanan pada $n!$ dengan $n \in \mathbb{N}$, dapat ditentukan dengan

\[\sum_{k=1}^{} \left \lfloor{\frac{n}{5^k}} \right \rfloor\]

Jadi, banyak angka nol berurutan dari kanan pada $100!$ adalah

$=\sum_{k=1}^{}\left \lfloor{\frac{100}{5^k}} \right \rfloor$

$=\left \lfloor{\frac{100}{5}} \right \rfloor+ \left  \lfloor{\frac{100}{25}} \right \rfloor + \left \lfloor{\frac{100}{125}} \right \rfloor+ \left \lfloor{\frac{100}{625}} \right \rfloor + ...$

$=20 + 4 + 0 + 0 + ...$

$= 24$

Jadi, banyak angka nol berurutan dari kanan pada $100!$ adalah $24$

No 18

Spoiler

Karena $2009 \in \text{Prima}$, maka bilangan tersebut adalah $k^{2008},k\in \text{Prima}$. Agar $2009|k^{2008}$, maka nilai $k=2009$. Jadi, faktor prima terkecil dari $2009^{2008}$ adalah $2009$

CMIIW

 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now